Medição e Instrumentação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Ponte de Wheatstone e extensômetros

Tensões dos divisores: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Saídas: V_ab = V_a − V_b
Balanço: R₁/R₂ = R₃/R₄
Ponte de fio: R/R_x = l/(100 − l)
Resistência de Thévenin: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Fator do extensômetro: ΔR/R = GF·ε
Saída da ponte: quarto V_s·GF·ε/4, meia V_s·GF·ε/2, completa V_s·GF·ε
Pequena variação, um braço: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Tensão: σ = E·ε

Método

Trate a ponte como dois divisores de tensão sobre a mesma alimentação.
Para o equilíbrio, faça R₁/R₂ = R₃/R₄ e resolva para o resistor desconhecido.
Para uma ponte desequilibrada, encontre V_a e V_b a partir dos divisores e subtraia; use o equivalente de Thévenin quando um medidor carrega a saída.
Para extensômetros, converta a deformação em ΔR/R = GF·ε e use V_s·GF·ε/4, /2 ou ×1 para um quarto, meia ponte ou ponte completa.

Aquisição de dados e amostragem

Critério de Nyquist: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Frequência de aliasing: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Tamanho do passo: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Erro de quantização (arredondamento): ±½ LSB
Código do ADC com truncamento: D = ⌊V_in/LSB⌋
Bits para uma resolução r: 2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideal, senoide de fundo de escala: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Taxa de dados: canais × f_s × N bit/s
ADC multiplexado: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bits por byte; bytes/s = baud/bits por quadro
Divisor da taxa de baud: baud = f_clk/(16·D)

Método

Anote o que é dado: taxa de amostragem, frequências do sinal, número de bits, faixa de entrada, taxa de baud.
Em questões de amostragem, compare cada frequência com f_s/2; uma frequência mais alta aparece em f_a = |f − k·f_s|, com o múltiplo de f_s mais próximo.
Em questões de resolução, determine 1 LSB = V_FSR/2ᴺ ou o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/resolução.
Para taxas de dados e enlaces UART, conte tudo o que é enviado: canais, amostras por segundo, bits ou bytes inteiros por amostra e os bits de início, de paridade e de parada de cada quadro.

Circuitos com amplificadores operacionais

Amplificador inversor: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Amplificador não inversor: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Amplificador somador: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Amplificador operacional ideal: V₊ = V₋, I_in = 0

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Thévenin e Norton

Tensão de Thévenin: V_th = V_{open circuit}
Resistência de Thévenin: R_th: todas as fontes desligadas, vista de a–b
Corrente de Norton: I_N = V_th/R_th
Corrente na carga: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Máxima transferência de potência: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Método

Retire a carga e marque os dois terminais a e b.
Encontre a tensão de circuito aberto entre a e b: essa é V_th.
Desligue todas as fontes independentes e encontre a resistência vista de a–b: essa é R_th.
Recoloque a carga no circuito equivalente: V_th em série com R_th.
Para o equivalente de Norton, converta: I_N = V_th/R_th, com R_N = R_th em paralelo.

2Exercícios

1.Ponte de Wheatstone e extensômetrosMédia

Uma ponte com quatro braços de 500 Ω é alimentada com 6 V. Quando o sensor R₂ varia, a saída marca V_ab = 169,8 mV. Encontre a variação exata ΔR de R₂.

V_s = 6 VR = 500 ΩV_ab = 169,8 mV

ΔR = Ω

2.Ponte de Wheatstone e extensômetrosDifícil

Uma célula de carga (uma ponte completa de extensômetros) tem uma saída nominal de 2,5 mV/V na carga nominal de 100 kg. Ela é excitada com 5 V. Encontre sua saída V_o sob uma carga de 20 kg.

2,5 mV/VF_rated = 100 kgV_s = 5 VF = 20 kg

V_o = mV

3.Aquisição de dados e amostragemMédia

Encontre a relação sinal-ruído de quantização ideal SQNR de um ADC de 12 bits para uma senoide de fundo de escala.

N = 12

SQNR = dB

4.Aquisição de dados e amostragemDifícil

Um sensor de temperatura fornece 1 mV/°C (0 V a 0 °C). Seu sinal é amplificado 10 vezes e entra em um ADC de 12 bits com faixa de 0 a 3,3 V (1 LSB = V_FSR/2ᴺ). Encontre a variação de temperatura ΔT_LSB que corresponde a um LSB.

S = 1 mV/°CG = 10N = 12V_FSR = 3,3 V

ΔT_LSB = °C

5.Circuitos com amplificadores operacionaisMédia

O amplificador operacional é ideal e alimentado com ±15 V. Encontre a tensão de saída V_out.

V_in = −4,5 VR_a = 10 kΩR_b = 4,7 kΩR₁ = 47 kΩR_f = 100 kΩ

V_out = V

6.Circuitos com amplificadores operacionaisDifícil

O amplificador somador usa um amplificador operacional ideal alimentado com ±15 V. Encontre a corrente I_f no resistor de realimentação, fluindo em direção à saída.

V₁ = −1,1 VV₂ = −1 VR₁ = 47 kΩR₂ = 10 kΩR_f = 4,7 kΩ

I_f = mA

7.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 15 VR₁ = 5 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 4 Ω

R_eq = Ω

8.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 24 VR₁ = 15 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 15 Ω

I_R1 = A

9.Thévenin e NortonMédia

Encontre a resistência de Thévenin R_th vista dos terminais a–b.

V₁ = 10 VR₁ = 8 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 6 Ω

R_th = Ω

10.Thévenin e NortonDifícil

Uma carga R_L = 10 Ω é ligada entre a–b. Use um equivalente de Thévenin para encontrar a potência P_L entregue à carga.

V₁ = 24 VI_s = 2,5 AR₁ = 25 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 30 ΩR_L = 10 Ω

P_L = W

3Soluções

1.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: ΔR = 60 Ω

Ponte de Wheatstone: dois divisores de tensão compartilham uma mesma alimentação V_s. O divisor da esquerda R₁–R₂ dá V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂) e o divisor da direita R₃–R₄ dá V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); a saída é V_ab = V_a − V_b. A ponte está equilibrada (V_ab = 0, sem corrente no medidor) quando R₁/R₂ = R₃/R₄, isto é, R₁·R₄ = R₂·R₃. Vista da saída, a ponte é uma fonte de Thévenin com R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Tensão do nó

V_a = 3 + 0,1698 = 3,17 V

Resolva o divisor

R₂ = 500·3,17/(6 − 3,17) = 560 Ω

ΔR = 560 − 500 = 60 Ω

Resposta

ΔR = 60 Ω

2.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: V_o = 2,5 mV

Extensômetros: um extensômetro altera sua resistência com a deformação: ΔR/R = GF·ε, onde o fator do extensômetro GF é cerca de 2 para folha metálica. Em uma ponte com todos os braços iguais a R, um extensômetro ativo (um quarto de ponte) dá V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Dois extensômetros ativos com deformações opostas em braços adjacentes (meia ponte) dão V_s·GF·ε/2, e quatro (ponte completa) dão V_s·GF·ε. A tensão mecânica segue da lei de Hooke, σ = E·ε. As células de carga indicam sua sensibilidade em mV/V: a saída a plena carga por volt de excitação.

Saída em fundo de escala

2,5·5 = 12,5 mV

Saída nesta carga

V_o = 12,5·20/100 = 2,5 mV

Resposta

V_o = 2,5 mV

3.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: SQNR = 74 dB

Resolução do ADC: um conversor de N bits divide sua faixa de fundo de escala V_FSR em 2ᴺ códigos, de 0 a 2ᴺ − 1. Um passo é 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: a menor variação que o conversor consegue mostrar. Um ADC com truncamento dá o código ⌊V_in/LSB⌋; um ADC com arredondamento nunca fica a mais de ½ LSB do valor verdadeiro, seu erro de quantização. Cada bit a mais reduz o LSB à metade e acrescenta cerca de 6 dB à relação sinal-ruído de quantização ideal SQNR = 6,02·N + 1,76 dB para uma senoide de fundo de escala. Para alcançar uma resolução r em uma faixa, escolha o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/r.

SQNR ideal

SQNR = 6,02·12 + 1,76 = 74 dB

Resposta

SQNR = 74 dB

4.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: ΔT_LSB = 0,08057 °C

Tamanho do passo

1 LSB = 3300/4096 = 0,8057 mV

Sensibilidade no ADC

1·10 = 10 mV/°C

Resolução de temperatura

ΔT_LSB = 0,8057/10 = 0,08057 °C

Resposta

ΔT_LSB = 0,08057 °C

O ADC atinge o fundo de escala a 330 °C.

5.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: V_out = −4,5 V

Regras do amplificador operacional ideal: com realimentação negativa, o amplificador ajusta sua saída para que as duas entradas fiquem na mesma tensão (V₋ = V₊), e nenhuma corrente entra em qualquer entrada. Escrever a LKC na entrada inversora com esses dois fatos dá a saída.

Tensão na entrada +

V₊ = V_in·R_b/(R_a + R_b) = −4,5·4,7/(10 + 4,7) = −1,439 V

Ganho não inversor

V₋ = V₊, e a corrente em R₁ também passa por R_f.

V_out = V₊·(1 + R_f/R₁) = −1,439·(1 + 100/47) = −4,5 V

Resposta

V_out = −4,5 V

6.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: I_f = −0,1234 mA

Correntes de entrada

V₋ = 0, então cada resistor de entrada tem toda a sua tensão de entrada sobre ele.

I₁ = V₁/R₁ = −1,1/47 = −0,0234 mA

I₂ = V₂/R₂ = −1/10 = −0,1 mA

I_f = I₁ + I₂ = −0,1234 mA

Resposta

I_f = −0,1234 mA

7.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 7,526 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 12 + 4 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 3·16/(3+16) = 2,526 Ω

R_eq = R₁ + 2,526 = 5 + 2,526 = 7,526 Ω

Resposta

R_eq = 7,526 Ω

8.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 1,365 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 5 + 15 = 20 Ω

R₄ ∥ 20 = 3,333 Ω

R₃ + 3,333 = 18,33 Ω

R₂ ∥ 18,33 = 2,578 Ω

R_eq = R₁ + 2,578 = 15 + 2,578 = 17,58 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/17,58 = 1,365 A

Resposta

I_R1 = 1,365 A

9.Thévenin e Norton

Resposta: R_th = 11,22 Ω

Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão V_th em série com uma resistência R_th. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente I_N = V_th/R_th em paralelo com R_th.

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R₁ ∥ R₂ = 8·15/(8+15) = 5,217 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 5,217 + 6 = 11,22 Ω

10.Thévenin e Norton

Resposta: P_L = 45,89 W

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R₁ ∥ R₂ = 25·12/(25+12) = 8,108 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 8,108 + 30 = 38,11 Ω

Encontre V_th, a tensão de circuito aberto

Com a–b aberto, o único caminho para Iₛ é por R₃ até o nó A. Encontre V_A por superposição de V₁ e Iₛ, depois some a queda em R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 7,784 + 2,5·8,108 = 28,05 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 28,05 + 2,5·30 = 103,1 V

Ligue a carga ao equivalente de Thévenin

A fonte de Thévenin e R_th em série se comportam exatamente como o circuito original em a–b, então a carga vê uma malha simples em série.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 103,1/(38,11 + 10) = 2,142 A

P_L = I_L²·R_L = 2,142²·10 = 45,89 W

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Medição e Instrumentação: pacote de revisão

1Fórmulas e métodos

Ponte de Wheatstone e extensômetros

Método

Aquisição de dados e amostragem

Método

Circuitos com amplificadores operacionais

Resistores em série e paralelo

Método

Thévenin e Norton

Método

2Exercícios

3Soluções

Tensão do nó

Resolva o divisor

Resposta

Saída em fundo de escala

Saída nesta carga

Resposta

SQNR ideal

Resposta

Tamanho do passo

Sensibilidade no ADC

Resolução de temperatura

Resposta

Tensão na entrada +

Ganho não inversor

Resposta

Correntes de entrada

Resposta

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Resposta

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Corrente da fonte

Resposta

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Encontre Vth, a tensão de circuito aberto

Ligue a carga ao equivalente de Thévenin

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Encontre V_th, a tensão de circuito aberto