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1Fórmulas e métodos
Ponte de Wheatstone e extensômetros
Tensões dos divisores
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
Saídas
Vab = Va − Vb
Balanço
R1/R2 = R3/R4
Ponte de fio
R/Rx = l/(100 − l)
Resistência de Thévenin
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
Fator do extensômetro
ΔR/R = GF·ε
Saída da ponte
quarto Vs·GF·ε/4, meia Vs·GF·ε/2, completa Vs·GF·ε
Pequena variação, um braço
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
Tensão
σ = E·ε
Método
Trate a ponte como dois divisores de tensão sobre a mesma alimentação.
Para o equilíbrio, faça R₁/R₂ = R₃/R₄ e resolva para o resistor desconhecido.
Para uma ponte desequilibrada, encontre Va e Vb a partir dos divisores e subtraia; use o equivalente de Thévenin quando um medidor carrega a saída.
Para extensômetros, converta a deformação em ΔR/R = GF·ε e use Vs·GF·ε/4, /2 ou ×1 para um quarto, meia ponte ou ponte completa.
Aquisição de dados e amostragem
Critério de Nyquist
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Frequência de aliasing
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Tamanho do passo
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Erro de quantização (arredondamento)
±½ LSB
Código do ADC com truncamento
D = ⌊Vin/LSB⌋
Bits para uma resolução r
2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideal, senoide de fundo de escala
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Taxa de dados
canais × fs × N bit/s
ADC multiplexado
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 10 bits por byte; bytes/s = baud/bits por quadro
Divisor da taxa de baud
baud = fclk/(16·D)
Método
Anote o que é dado: taxa de amostragem, frequências do sinal, número de bits, faixa de entrada, taxa de baud.
Em questões de amostragem, compare cada frequência com fs/2; uma frequência mais alta aparece em fa = |f − k·fs|, com o múltiplo de fs mais próximo.
Em questões de resolução, determine 1 LSB = VFSR/2ᴺ ou o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/resolução.
Para taxas de dados e enlaces UART, conte tudo o que é enviado: canais, amostras por segundo, bits ou bytes inteiros por amostra e os bits de início, de paridade e de parada de cada quadro.
Circuitos com amplificadores operacionais
Amplificador inversor
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Amplificador não inversor
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Amplificador somador
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Amplificador operacional ideal
V+ = V−, Iin = 0
Resistores em série e paralelo
Resistências em série
Req = R1 + R2 + …
Resistências em paralelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dois em paralelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Lei de Ohm
V = I·R
Potência
P = V·I = I²R = V²/R
Método
Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.
Thévenin e Norton
Tensão de Thévenin
Vth = Vopen circuit
Resistência de Thévenin
Rth: todas as fontes desligadas, vista de a–b
Corrente de Norton
IN = Vth/Rth
Corrente na carga
IL = Vth/(Rth + RL)
Máxima transferência de potência
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
Método
Retire a carga e marque os dois terminais a e b.
Encontre a tensão de circuito aberto entre a e b: essa é Vth.
Desligue todas as fontes independentes e encontre a resistência vista de a–b: essa é Rth.
Recoloque a carga no circuito equivalente: Vth em série com Rth.
Para o equivalente de Norton, converta: IN = Vth/Rth, com RN = Rth em paralelo.
2Exercícios
1.Ponte de Wheatstone e extensômetrosMédia
Um galvanômetro com resistência de 50 Ω é ligado entre a e b da ponte mostrada (Vs = 10 V). Encontre a corrente do galvanômetro Ig de a para b, em µA.
Uma ponte com braços de 120 Ω é excitada com 2,5 V e tem dois extensômetros ativos em braços adjacentes, um sob tração e outro sob compressão (meia ponte). O fator do extensômetro é 2,1 e a deformação é 600 µε. Encontre a saída da ponte Vo em mV.
Vs = 2,5 VGF = 2,1ε = 600 µε
Vo = mV
3.Aquisição de dados e amostragemMédia
Um ADC de 12 bits com faixa de entrada de 0 a 2,5 V trunca: seu código de saída é ⌊Vin/LSB⌋ com 1 LSB = VFSR/2ᴺ. Encontre o código de saída decimal D para uma entrada de 0,552 V.
N = 12VFSR = 2,5 VVin = 0,552 V
D =
4.Aquisição de dados e amostragemDifícil
Um multiplexador de 16 canais alimenta um único ADC. Cada conversão leva 8 µs e, após cada troca de canal, a entrada precisa de 2 µs para se estabilizar. Os canais são varridos em sequência, sem pausa. Encontre a taxa de amostragem fs de cada canal, em kHz.
n = 16tc = 8 µstset = 2 µs
fs = kHz
5.Circuitos com amplificadores operacionaisMédia
O amplificador operacional é ideal e alimentado com ±15 V; sua saída satura em ±13 V. O amplificador não inversor é alimentado por uma onda senoidal. Encontre a maior amplitude de entrada Vin,max (valor de pico) para a qual a saída não é ceifada.
R1 = 22 kΩRf = 47 kΩVsat = ±13 V
Vin,max = V
6.Circuitos com amplificadores operacionaisDifícil
O integrador usa um amplificador operacional ideal alimentado com ±15 V; sua saída satura em ±14 V. O capacitor está descarregado quando uma entrada constante Vin = −2 V é aplicada em t = 0. Encontre a tensão de saída Vout em t = 20 ms.
Encontre a corrente de Norton IN: a corrente que flui de a para b se os terminais forem curto-circuitados.
V1 = 18 VR1 = 2 ΩR2 = 4 ΩR3 = 6 Ω
IN = A
10.Thévenin e NortonDifícil
Encontre a tensão de Thévenin Vth vista dos terminais a–b.
V1 = 36 VIs = 1,5 AR1 = 10 ΩR2 = 4 ΩR3 = 15 Ω
Vth = V
3Soluções
1.Ponte de Wheatstone e extensômetros
Resposta: Ig = 7852 µA
Ponte de Wheatstone: dois divisores de tensão compartilham uma mesma alimentação Vs. O divisor da esquerda R1–R2 dá Va = Vs·R2/(R1 + R2) e o divisor da direita R3–R4 dá Vb = Vs·R4/(R3 + R4); a saída é Vab = Va − Vb. A ponte está equilibrada (Vab = 0, sem corrente no medidor) quando R1/R2 = R3/R4, isto é, R1·R4 = R2·R3. Vista da saída, a ponte é uma fonte de Thévenin com Rth = R1∥R2 + R3∥R4.
Tensão de Thévenin
Vth = 10·(500/900 − 100/350) = 2,698 V
Resistência de Thévenin
Rth = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ = 293,7 Ω
Corrente do galvanômetro
Ig = 2,698/(293,7 + 50) = 7852 µA
Resposta
Ig = 7852 µA
2.Ponte de Wheatstone e extensômetros
Resposta: Vo = 1,575 mV
Extensômetros: um extensômetro altera sua resistência com a deformação: ΔR/R = GF·ε, onde o fator do extensômetro GF é cerca de 2 para folha metálica. Em uma ponte com todos os braços iguais a R, um extensômetro ativo (um quarto de ponte) dá Vo ≈ Vs·GF·ε/4. Dois extensômetros ativos com deformações opostas em braços adjacentes (meia ponte) dão Vs·GF·ε/2, e quatro (ponte completa) dão Vs·GF·ε. A tensão mecânica segue da lei de Hooke, σ = E·ε. As células de carga indicam sua sensibilidade em mV/V: a saída a plena carga por volt de excitação.
Variação relativa da resistência
ΔR/R = 2,1·600·10⁻⁶ = 0,00126
Saída da ponte
Vo = Vs·GF·ε/2 = 2,5·0,00126/2 = 1,575 mV
Resposta
Vo = 1,575 mV
3.Aquisição de dados e amostragem
Resposta: D = 904
Resolução do ADC: um conversor de N bits divide sua faixa de fundo de escala VFSR em 2ᴺ códigos, de 0 a 2ᴺ − 1. Um passo é 1 LSB = VFSR/2ᴺ: a menor variação que o conversor consegue mostrar. Um ADC com truncamento dá o código ⌊Vin/LSB⌋; um ADC com arredondamento nunca fica a mais de ½ LSB do valor verdadeiro, seu erro de quantização. Cada bit a mais reduz o LSB à metade e acrescenta cerca de 6 dB à relação sinal-ruído de quantização ideal SQNR = 6,02·N + 1,76 dB para uma senoide de fundo de escala. Para alcançar uma resolução r em uma faixa, escolha o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/r.
Tamanho do passo
1 LSB = 2,5/212 = 0,6104 mV
Código
Vin/LSB = 552/0,6104 = 904,4
código = ⌊904,4⌋ = 904
Resposta
D = 904
Em binário, isso é 001110001000.
4.Aquisição de dados e amostragem
Resposta: fs = 6,25 kHz
Taxas de dados: cada canal fornece fs amostras por segundo de N bits, então a taxa bruta é canais × fs × N bit/s. Na memória, uma amostra ocupa bytes inteiros (uma amostra de 12 bits é armazenada em 2 bytes), então a memória para uma gravação é canais × fs × bytes por amostra × tempo. Um ADC multiplexado converte os canais um após o outro: cada conversão (com o tempo de estabilização) leva t, então uma rodada de n canais leva n·t e cada canal é amostrado a 1/(n·t).
Tempo por canal
8 + 2 = 10 µs
Tempo por varredura
16·10 = 160 µs
Taxa de amostragem por canal
fs = 1/160 µs = 6,25 kHz
Resposta
fs = 6,25 kHz
5.Circuitos com amplificadores operacionais
Resposta: Vin,max = 4,145 V
Regras do amplificador operacional ideal: com realimentação negativa, o amplificador ajusta sua saída para que as duas entradas fiquem na mesma tensão (V₋ = V₊), e nenhuma corrente entra em qualquer entrada. Escrever a LKC na entrada inversora com esses dois fatos dá a saída.
Ganho
Av = 1 + Rf/R1 = 1 + 47/22 = 3,136
Maior entrada antes do ceifamento
Vin,max = Vsat/|Av| = 13/3,136 = 4,145 V
Resposta
Vin,max = 4,145 V
6.Circuitos com amplificadores operacionais
Resposta: Vout = 1,811 V
Regras do amplificador operacional ideal: com realimentação negativa, o amplificador ajusta sua saída para que as duas entradas fiquem na mesma tensão (V₋ = V₊), e nenhuma corrente entra em qualquer entrada. Escrever a LKC na entrada inversora com esses dois fatos dá a saída.
Corrente de entrada e taxa da rampa
kΩ vezes µF dá milissegundos.
RC = 47 kΩ · 0,47 µF = 22,09 ms
taxa da rampa = −Vin/(RC) = −(−2)/22,09 = 0,09054 V/ms
Saída no instante dado
O valor ideal fica dentro de ±Vsat, então o integrador ainda não saturou.
Vout = −Vin·t/(RC) = −(−2)·20/22,09 = 1,811 V
Resposta
Vout = 1,811 V
7.Resistores em série e paralelo
Resposta: IR1 = 1,556 A
Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.
Combine os resistores a partir da extremidade mais distante
Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.
R3 + R4 = 20 + 10 = 30 Ω
R2 ∥ 30 = 5·30/(5+30) = 4,286 Ω
Req = R1 + 4,286 = 15 + 4,286 = 19,29 Ω
Corrente da fonte
A fonte vê só Req, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.
IR1 = V1/Req = 30/19,29 = 1,556 A
Resposta
IR1 = 1,556 A
8.Resistores em série e paralelo
Resposta: IR2 = 0,2571 A
Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.
Combine os resistores a partir da extremidade mais distante
Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.
R5 + R6 = 5 + 2 = 7 Ω
R4 ∥ 7 = 3,231 Ω
R3 + 3,231 = 9,231 Ω
R2 ∥ 9,231 = 4,8 Ω
Req = R1 + 4,8 = 12 + 4,8 = 16,8 Ω
Corrente da fonte
A fonte vê só Req, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.
IR1 = V1/Req = 9/16,8 = 0,5357 A
Corrente em R₂
Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 9 − 0,5357·12 = 2,571 V
IR2 = VA/R2 = 2,571/10 = 0,2571 A
Resposta
IR2 = 0,2571 A
9.Thévenin e Norton
Resposta: IN = 1,636 A
Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão Vth em série com uma resistência Rth. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente IN = Vth/Rth em paralelo com Rth.
Encontre Rth com todas as fontes desligadas
Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.
R1 ∥ R2 = 2·4/(2+4) = 1,333 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,333 + 6 = 7,333 Ω
Encontre Vth, a tensão de circuito aberto
Com a–b aberto, não passa corrente por R₃, então não há queda nele e V_b = V_A. R₁ e R₂ formam um divisor de tensão.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 18·4/(2+4) = 12 V
Equivalente de Norton
Uma fonte de Norton é o mesmo circuito visto como uma fonte de corrente em paralelo com R_th. Sua corrente é a corrente de curto-circuito em a–b.
IN = Vth/Rth = 12/7,333 = 1,636 A
10.Thévenin e Norton
Resposta: Vth = 37,07 V
Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão Vth em série com uma resistência Rth. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente IN = Vth/Rth em paralelo com Rth.
Encontre Rth com todas as fontes desligadas
Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.
R1 ∥ R2 = 10·4/(10+4) = 2,857 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,857 + 15 = 17,86 Ω
Encontre Vth, a tensão de circuito aberto
Com a–b aberto, o único caminho para Iₛ é por R₃ até o nó A. Encontre V_A por superposição de V₁ e Iₛ, depois some a queda em R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 10,29 + 1,5·2,857 = 14,57 V