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1Fórmulas e métodos
Ponte de Wheatstone e extensômetros
Tensões dos divisores
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
Saídas
Vab = Va − Vb
Balanço
R1/R2 = R3/R4
Ponte de fio
R/Rx = l/(100 − l)
Resistência de Thévenin
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
Fator do extensômetro
ΔR/R = GF·ε
Saída da ponte
quarto Vs·GF·ε/4, meia Vs·GF·ε/2, completa Vs·GF·ε
Pequena variação, um braço
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
Tensão
σ = E·ε
Método
Trate a ponte como dois divisores de tensão sobre a mesma alimentação.
Para o equilíbrio, faça R₁/R₂ = R₃/R₄ e resolva para o resistor desconhecido.
Para uma ponte desequilibrada, encontre Va e Vb a partir dos divisores e subtraia; use o equivalente de Thévenin quando um medidor carrega a saída.
Para extensômetros, converta a deformação em ΔR/R = GF·ε e use Vs·GF·ε/4, /2 ou ×1 para um quarto, meia ponte ou ponte completa.
Aquisição de dados e amostragem
Critério de Nyquist
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Frequência de aliasing
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Tamanho do passo
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Erro de quantização (arredondamento)
±½ LSB
Código do ADC com truncamento
D = ⌊Vin/LSB⌋
Bits para uma resolução r
2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideal, senoide de fundo de escala
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Taxa de dados
canais × fs × N bit/s
ADC multiplexado
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 10 bits por byte; bytes/s = baud/bits por quadro
Divisor da taxa de baud
baud = fclk/(16·D)
Método
Anote o que é dado: taxa de amostragem, frequências do sinal, número de bits, faixa de entrada, taxa de baud.
Em questões de amostragem, compare cada frequência com fs/2; uma frequência mais alta aparece em fa = |f − k·fs|, com o múltiplo de fs mais próximo.
Em questões de resolução, determine 1 LSB = VFSR/2ᴺ ou o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/resolução.
Para taxas de dados e enlaces UART, conte tudo o que é enviado: canais, amostras por segundo, bits ou bytes inteiros por amostra e os bits de início, de paridade e de parada de cada quadro.
Circuitos com amplificadores operacionais
Amplificador inversor
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Amplificador não inversor
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Amplificador somador
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Amplificador operacional ideal
V+ = V−, Iin = 0
Resistores em série e paralelo
Resistências em série
Req = R1 + R2 + …
Resistências em paralelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dois em paralelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Lei de Ohm
V = I·R
Potência
P = V·I = I²R = V²/R
Método
Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.
Thévenin e Norton
Tensão de Thévenin
Vth = Vopen circuit
Resistência de Thévenin
Rth: todas as fontes desligadas, vista de a–b
Corrente de Norton
IN = Vth/Rth
Corrente na carga
IL = Vth/(Rth + RL)
Máxima transferência de potência
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
Método
Retire a carga e marque os dois terminais a e b.
Encontre a tensão de circuito aberto entre a e b: essa é Vth.
Desligue todas as fontes independentes e encontre a resistência vista de a–b: essa é Rth.
Recoloque a carga no circuito equivalente: Vth em série com Rth.
Para o equivalente de Norton, converta: IN = Vth/Rth, com RN = Rth em paralelo.
2Exercícios
1.Ponte de Wheatstone e extensômetrosMédia
Uma ponte com quatro braços de 150 Ω é alimentada com 12 V. Quando o sensor R₂ varia, a saída marca Vab = 117,7 mV. Encontre a variação exata ΔR de R₂.
Vs = 12 VR = 150 ΩVab = 117,7 mV
ΔR = Ω
2.Ponte de Wheatstone e extensômetrosDifícil
Uma ponte com braços de 120 Ω é excitada com 3 V e tem quatro extensômetros ativos, dois sob tração e dois sob compressão (ponte completa). O fator do extensômetro é 2,1 e a deformação é 600 µε. Encontre a saída da ponte Vo em mV.
Vs = 3 VGF = 2,1ε = 600 µε
Vo = mV
3.Aquisição de dados e amostragemMédia
Um sensor mede pressão em uma faixa de 250 kPa, e sua saída preenche toda a faixa de entrada de um ADC. A leitura deve resolver 1 kPa. Encontre o menor número de bits N de que o ADC precisa.
faixa = 250 kParesolução = 1 kPa
N =
4.Aquisição de dados e amostragemDifícil
Um sensor de temperatura fornece 10 mV/°C (0 V a 0 °C). Seu sinal é amplificado 5 vezes e entra em um ADC de 10 bits com faixa de 0 a 2,5 V (1 LSB = VFSR/2ᴺ). Encontre a variação de temperatura ΔTLSB que corresponde a um LSB.
S = 10 mV/°CG = 5N = 10VFSR = 2,5 V
ΔTLSB = °C
5.Circuitos com amplificadores operacionaisMédia
Escolha o resistor de realimentação Rf que dá a este amplificador não inversor um ganho de tensão de 8.
R1 = 100 kΩAv = 8
Rf = kΩ
6.Circuitos com amplificadores operacionaisDifícil
O amplificador somador usa um amplificador operacional ideal alimentado com ±15 V. Encontre a tensão de saída Vout.
Ponte de Wheatstone: dois divisores de tensão compartilham uma mesma alimentação Vs. O divisor da esquerda R1–R2 dá Va = Vs·R2/(R1 + R2) e o divisor da direita R3–R4 dá Vb = Vs·R4/(R3 + R4); a saída é Vab = Va − Vb. A ponte está equilibrada (Vab = 0, sem corrente no medidor) quando R1/R2 = R3/R4, isto é, R1·R4 = R2·R3. Vista da saída, a ponte é uma fonte de Thévenin com Rth = R1∥R2 + R3∥R4.
Tensão do nó
Va = 6 + 0,1177 = 6,118 V
Resolva o divisor
R₂ = 150·6,118/(12 − 6,118) = 156 Ω
ΔR = 156 − 150 = 6 Ω
Resposta
ΔR = 6 Ω
2.Ponte de Wheatstone e extensômetros
Resposta: Vo = 3,78 mV
Extensômetros: um extensômetro altera sua resistência com a deformação: ΔR/R = GF·ε, onde o fator do extensômetro GF é cerca de 2 para folha metálica. Em uma ponte com todos os braços iguais a R, um extensômetro ativo (um quarto de ponte) dá Vo ≈ Vs·GF·ε/4. Dois extensômetros ativos com deformações opostas em braços adjacentes (meia ponte) dão Vs·GF·ε/2, e quatro (ponte completa) dão Vs·GF·ε. A tensão mecânica segue da lei de Hooke, σ = E·ε. As células de carga indicam sua sensibilidade em mV/V: a saída a plena carga por volt de excitação.
Variação relativa da resistência
ΔR/R = 2,1·600·10⁻⁶ = 0,00126
Saída da ponte
Vo = Vs·GF·ε = 3·0,00126 = 3,78 mV
Resposta
Vo = 3,78 mV
3.Aquisição de dados e amostragem
Resposta: N = 8
Resolução do ADC: um conversor de N bits divide sua faixa de fundo de escala VFSR em 2ᴺ códigos, de 0 a 2ᴺ − 1. Um passo é 1 LSB = VFSR/2ᴺ: a menor variação que o conversor consegue mostrar. Um ADC com truncamento dá o código ⌊Vin/LSB⌋; um ADC com arredondamento nunca fica a mais de ½ LSB do valor verdadeiro, seu erro de quantização. Cada bit a mais reduz o LSB à metade e acrescenta cerca de 6 dB à relação sinal-ruído de quantização ideal SQNR = 6,02·N + 1,76 dB para uma senoide de fundo de escala. Para alcançar uma resolução r em uma faixa, escolha o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/r.
Passos necessários
250/1 = 250
Bits
log₂(250) = 7,966
27 = 128 < 250 ≤ 28 = 256
N = 8
Resposta
N = 8
4.Aquisição de dados e amostragem
Resposta: ΔTLSB = 0,04883 °C
Resolução do ADC: um conversor de N bits divide sua faixa de fundo de escala VFSR em 2ᴺ códigos, de 0 a 2ᴺ − 1. Um passo é 1 LSB = VFSR/2ᴺ: a menor variação que o conversor consegue mostrar. Um ADC com truncamento dá o código ⌊Vin/LSB⌋; um ADC com arredondamento nunca fica a mais de ½ LSB do valor verdadeiro, seu erro de quantização. Cada bit a mais reduz o LSB à metade e acrescenta cerca de 6 dB à relação sinal-ruído de quantização ideal SQNR = 6,02·N + 1,76 dB para uma senoide de fundo de escala. Para alcançar uma resolução r em uma faixa, escolha o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/r.
Tamanho do passo
1 LSB = 2500/1024 = 2,441 mV
Sensibilidade no ADC
10·5 = 50 mV/°C
Resolução de temperatura
ΔTLSB = 2,441/50 = 0,04883 °C
Resposta
ΔTLSB = 0,04883 °C
O ADC atinge o fundo de escala a 50 °C.
5.Circuitos com amplificadores operacionais
Resposta: Rf = 700 kΩ
Regras do amplificador operacional ideal: com realimentação negativa, o amplificador ajusta sua saída para que as duas entradas fiquem na mesma tensão (V₋ = V₊), e nenhuma corrente entra em qualquer entrada. Escrever a LKC na entrada inversora com esses dois fatos dá a saída.
Ganho de um amplificador não inversor
V₋ = V₊ = Vin, e a corrente em R₁ também passa por Rf, então Vout = Vin·(1 + Rf/R₁).
Av = 1 + Rf/R1
Rf = (8 − 1)·100 = 700 kΩ
Resposta
Rf = 700 kΩ
6.Circuitos com amplificadores operacionais
Resposta: Vout = −4,035 V
Regras do amplificador operacional ideal: com realimentação negativa, o amplificador ajusta sua saída para que as duas entradas fiquem na mesma tensão (V₋ = V₊), e nenhuma corrente entra em qualquer entrada. Escrever a LKC na entrada inversora com esses dois fatos dá a saída.
Correntes de entrada
V₋ = 0, então cada resistor de entrada tem toda a sua tensão de entrada sobre ele.
I1 = V1/R1 = 1,1/47 = 0,0234 mA
I2 = V2/R2 = 1,6/10 = 0,16 mA
If = I1 + I2 = 0,1834 mA
Tensão de saída
Vout = −Rf·If = −22·0,1834 = −4,035 V
Resposta
Vout = −4,035 V
7.Resistores em série e paralelo
Resposta: IR2 = 0,2045 A
Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.
Combine os resistores a partir da extremidade mais distante
Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.
R3 + R4 = 5 + 5 = 10 Ω
R2 ∥ 10 = 20·10/(20+10) = 6,667 Ω
Req = R1 + 6,667 = 8 + 6,667 = 14,67 Ω
Corrente da fonte
A fonte vê só Req, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.
IR1 = V1/Req = 9/14,67 = 0,6136 A
Corrente em R₂
Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 9 − 0,6136·8 = 4,091 V
IR2 = VA/R2 = 4,091/20 = 0,2045 A
Resposta
IR2 = 0,2045 A
8.Resistores em série e paralelo
Resposta: Req = 14,98 Ω
Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.
Combine os resistores a partir da extremidade mais distante
Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.
R5 + R6 = 4 + 4 = 8 Ω
R4 ∥ 8 = 5,714 Ω
R3 + 5,714 = 11,71 Ω
R2 ∥ 11,71 = 2,982 Ω
Req = R1 + 2,982 = 12 + 2,982 = 14,98 Ω
Resposta
Req = 14,98 Ω
9.Thévenin e Norton
Resposta: Rth = 3,2 Ω
Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão Vth em série com uma resistência Rth. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente IN = Vth/Rth em paralelo com Rth.
Encontre Rth com todas as fontes desligadas
Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.
R1 ∥ R2 = 2·3/(2+3) = 1,2 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,2 + 2 = 3,2 Ω
10.Thévenin e Norton
Resposta: IL = 0,9923 A
Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão Vth em série com uma resistência Rth. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente IN = Vth/Rth em paralelo com Rth.
Encontre Rth com todas as fontes desligadas
Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.
R1 ∥ R2 = 25·10/(25+10) = 7,143 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 7,143 + 10 = 17,14 Ω
Encontre Vth, a tensão de circuito aberto
Com a–b aberto, o único caminho para Iₛ é por R₃ até o nó A. Encontre V_A por superposição de V₁ e Iₛ, depois some a queda em R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 2,571 + 2·7,143 = 16,86 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 16,86 + 2·10 = 36,86 V
Ligue a carga ao equivalente de Thévenin
A fonte de Thévenin e R_th em série se comportam exatamente como o circuito original em a–b, então a carga vê uma malha simples em série.
IL = Vth/(Rth + RL) = 36,86/(17,14 + 20) = 0,9923 A