Medição e Instrumentação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Ponte de Wheatstone e extensômetros

Tensões dos divisores: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Saídas: V_ab = V_a − V_b
Balanço: R₁/R₂ = R₃/R₄
Ponte de fio: R/R_x = l/(100 − l)
Resistência de Thévenin: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Fator do extensômetro: ΔR/R = GF·ε
Saída da ponte: quarto V_s·GF·ε/4, meia V_s·GF·ε/2, completa V_s·GF·ε
Pequena variação, um braço: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Tensão: σ = E·ε

Método

Trate a ponte como dois divisores de tensão sobre a mesma alimentação.
Para o equilíbrio, faça R₁/R₂ = R₃/R₄ e resolva para o resistor desconhecido.
Para uma ponte desequilibrada, encontre V_a e V_b a partir dos divisores e subtraia; use o equivalente de Thévenin quando um medidor carrega a saída.
Para extensômetros, converta a deformação em ΔR/R = GF·ε e use V_s·GF·ε/4, /2 ou ×1 para um quarto, meia ponte ou ponte completa.

Aquisição de dados e amostragem

Critério de Nyquist: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Frequência de aliasing: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Tamanho do passo: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Erro de quantização (arredondamento): ±½ LSB
Código do ADC com truncamento: D = ⌊V_in/LSB⌋
Bits para uma resolução r: 2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideal, senoide de fundo de escala: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Taxa de dados: canais × f_s × N bit/s
ADC multiplexado: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bits por byte; bytes/s = baud/bits por quadro
Divisor da taxa de baud: baud = f_clk/(16·D)

Método

Anote o que é dado: taxa de amostragem, frequências do sinal, número de bits, faixa de entrada, taxa de baud.
Em questões de amostragem, compare cada frequência com f_s/2; uma frequência mais alta aparece em f_a = |f − k·f_s|, com o múltiplo de f_s mais próximo.
Em questões de resolução, determine 1 LSB = V_FSR/2ᴺ ou o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/resolução.
Para taxas de dados e enlaces UART, conte tudo o que é enviado: canais, amostras por segundo, bits ou bytes inteiros por amostra e os bits de início, de paridade e de parada de cada quadro.

Circuitos com amplificadores operacionais

Amplificador inversor: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Amplificador não inversor: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Amplificador somador: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Amplificador operacional ideal: V₊ = V₋, I_in = 0

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Thévenin e Norton

Tensão de Thévenin: V_th = V_{open circuit}
Resistência de Thévenin: R_th: todas as fontes desligadas, vista de a–b
Corrente de Norton: I_N = V_th/R_th
Corrente na carga: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Máxima transferência de potência: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Método

Retire a carga e marque os dois terminais a e b.
Encontre a tensão de circuito aberto entre a e b: essa é V_th.
Desligue todas as fontes independentes e encontre a resistência vista de a–b: essa é R_th.
Recoloque a carga no circuito equivalente: V_th em série com R_th.
Para o equivalente de Norton, converta: I_N = V_th/R_th, com R_N = R_th em paralelo.

2Exercícios

1.Ponte de Wheatstone e extensômetrosMédia

Uma ponte tem quatro braços de 200 Ω e V_s = 10 V. O sensor R₂ aumenta de ΔR = 10 Ω. Encontre a saída exata V_ab em mV.

V_s = 10 VR = 200 ΩΔR = 10 Ω

V_ab = mV

2.Ponte de Wheatstone e extensômetrosDifícil

Um extensômetro (GF = 2) em um elemento com E = 200 GPa forma um quarto de ponte excitado com 10 V. A saída marca 2,5 mV. Encontre a tensão mecânica axial σ em MPa.

V_s = 10 VGF = 2V_o = 2,5 mVE = 200 GPa

σ = MPa

3.Aquisição de dados e amostragemMédia

Encontre a relação sinal-ruído de quantização ideal SQNR de um ADC de 20 bits para uma senoide de fundo de escala.

N = 20

SQNR = dB

4.Aquisição de dados e amostragemDifícil

Uma medição de áudio exige uma relação sinal-ruído de quantização ideal de pelo menos 70 dB para uma senoide de fundo de escala. Encontre o menor número de bits N do ADC.

SQNR ≥ 70 dB

N =

5.Circuitos com amplificadores operacionaisMédia

Escolha o resistor de realimentação R_f que dá a este amplificador não inversor um ganho de tensão de 6.

R₁ = 22 kΩA_v = 6

R_f = kΩ

6.Circuitos com amplificadores operacionaisDifícil

Dois estágios com amplificador operacional ideal estão ligados em cascata: um amplificador inversor (R₁, R_f1) seguido de um amplificador não inversor (R₂ para o terra, R_f2 na realimentação). Os dois são alimentados com ±15 V. Encontre o ganho de tensão total A_v = V_out/V_in.

R₁ = 1 kΩR_f1 = 1 kΩR₂ = 47 kΩR_f2 = 10 kΩ

A_v =

7.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 12 VR₁ = 4 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 15 Ω

I_R2 = A

8.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 12 VR₁ = 15 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 20 Ω

R_eq = Ω

9.Thévenin e NortonMédia

Encontre a corrente de Norton I_N: a corrente que flui de a para b se os terminais forem curto-circuitados.

V₁ = 9 VR₁ = 20 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 4 Ω

I_N = A

10.Thévenin e NortonDifícil

Uma carga R_L = 12 Ω é ligada entre a–b. Substitua o resto do circuito pelo seu equivalente de Thévenin e encontre a corrente na carga I_L.

V₁ = 18 VI_s = 0,5 AR₁ = 6 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 4 ΩR_L = 12 Ω

I_L = A

3Soluções

1.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: V_ab = 122 mV

Ponte de Wheatstone: dois divisores de tensão compartilham uma mesma alimentação V_s. O divisor da esquerda R₁–R₂ dá V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂) e o divisor da direita R₃–R₄ dá V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); a saída é V_ab = V_a − V_b. A ponte está equilibrada (V_ab = 0, sem corrente no medidor) quando R₁/R₂ = R₃/R₄, isto é, R₁·R₄ = R₂·R₃. Vista da saída, a ponte é uma fonte de Thévenin com R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Tensões dos nós

V_a = 10·210/410 = 5,122 V

V_b = 5 V

Saídas

V_ab = 122 mV

Resposta

V_ab = 122 mV

A estimativa linear V_s·ΔR/(4R) = 125 mV está 2,5 % alta demais: um quarto de ponte não é perfeitamente linear.

2.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: σ = 100 MPa

Extensômetros: um extensômetro altera sua resistência com a deformação: ΔR/R = GF·ε, onde o fator do extensômetro GF é cerca de 2 para folha metálica. Em uma ponte com todos os braços iguais a R, um extensômetro ativo (um quarto de ponte) dá V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Dois extensômetros ativos com deformações opostas em braços adjacentes (meia ponte) dão V_s·GF·ε/2, e quatro (ponte completa) dão V_s·GF·ε. A tensão mecânica segue da lei de Hooke, σ = E·ε. As células de carga indicam sua sensibilidade em mV/V: a saída a plena carga por volt de excitação.

Deformação

ε = 4·0,0025/(10·2) = 0,0005

Tensão

σ = 200·10³ MPa·0,0005 = 100 MPa

Resposta

σ = 100 MPa

3.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: SQNR = 122,2 dB

Resolução do ADC: um conversor de N bits divide sua faixa de fundo de escala V_FSR em 2ᴺ códigos, de 0 a 2ᴺ − 1. Um passo é 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: a menor variação que o conversor consegue mostrar. Um ADC com truncamento dá o código ⌊V_in/LSB⌋; um ADC com arredondamento nunca fica a mais de ½ LSB do valor verdadeiro, seu erro de quantização. Cada bit a mais reduz o LSB à metade e acrescenta cerca de 6 dB à relação sinal-ruído de quantização ideal SQNR = 6,02·N + 1,76 dB para uma senoide de fundo de escala. Para alcançar uma resolução r em uma faixa, escolha o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/r.

SQNR ideal

SQNR = 6,02·20 + 1,76 = 122,2 dB

Resposta

SQNR = 122,2 dB

4.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: N = 12

Resolva para N

N ≥ (70 − 1,76)/6,02 = 11,34

Arredondar para cima

N = 12

verificação: 6,02·12 + 1,76 = 74 dB ≥ 70 dB

Resposta

N = 12

5.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: R_f = 110 kΩ

Regras do amplificador operacional ideal: com realimentação negativa, o amplificador ajusta sua saída para que as duas entradas fiquem na mesma tensão (V₋ = V₊), e nenhuma corrente entra em qualquer entrada. Escrever a LKC na entrada inversora com esses dois fatos dá a saída.

Ganho de um amplificador não inversor

V₋ = V₊ = V_in, e a corrente em R₁ também passa por R_f, então V_out = V_in·(1 + R_f/R₁).

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (6 − 1)·22 = 110 kΩ

Resposta

R_f = 110 kΩ

6.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: A_v = −1,213

Ganho de cada estágio

A₁ = −R_f1/R₁ = −1/1 = −1

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 10/47 = 1,213

Ganho total

A_v = A₁·A₂ = −1·1,213 = −1,213

Resposta

A_v = −1,213

7.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 1,342 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 2 + 15 = 17 Ω

R₂ ∥ 17 = 4·17/(4+17) = 3,238 Ω

R_eq = R₁ + 3,238 = 4 + 3,238 = 7,238 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/7,238 = 1,658 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 1,658·4 = 5,368 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5,368/4 = 1,342 A

Resposta

I_R2 = 1,342 A

8.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 19,73 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 2 + 20 = 22 Ω

R₄ ∥ 22 = 1,833 Ω

R₃ + 1,833 = 5,833 Ω

R₂ ∥ 5,833 = 4,73 Ω

R_eq = R₁ + 4,73 = 15 + 4,73 = 19,73 Ω

Resposta

R_eq = 19,73 Ω

9.Thévenin e Norton

Resposta: I_N = 0,1776 A

Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão V_th em série com uma resistência R_th. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente I_N = V_th/R_th em paralelo com R_th.

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R₁ ∥ R₂ = 20·3/(20+3) = 2,609 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,609 + 4 = 6,609 Ω

Encontre V_th, a tensão de circuito aberto

Com a–b aberto, não passa corrente por R₃, então não há queda nele e V_b = V_A. R₁ e R₂ formam um divisor de tensão.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 9·3/(20+3) = 1,174 V

Equivalente de Norton

Uma fonte de Norton é o mesmo circuito visto como uma fonte de corrente em paralelo com R_th. Sua corrente é a corrente de curto-circuito em a–b.

I_N = V_th/R_th = 1,174/6,609 = 0,1776 A

10.Thévenin e Norton

Resposta: I_L = 0,5 A

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R₁ ∥ R₂ = 6·3/(6+3) = 2 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2 + 4 = 6 Ω

Encontre V_th, a tensão de circuito aberto

Com a–b aberto, o único caminho para Iₛ é por R₃ até o nó A. Encontre V_A por superposição de V₁ e Iₛ, depois some a queda em R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 6 + 0,5·2 = 7 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 7 + 0,5·4 = 9 V

Ligue a carga ao equivalente de Thévenin

A fonte de Thévenin e R_th em série se comportam exatamente como o circuito original em a–b, então a carga vê uma malha simples em série.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 9/(6 + 12) = 0,5 A

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Medição e Instrumentação: pacote de revisão

1Fórmulas e métodos

Ponte de Wheatstone e extensômetros

Método

Aquisição de dados e amostragem

Método

Circuitos com amplificadores operacionais

Resistores em série e paralelo

Método

Thévenin e Norton

Método

2Exercícios

3Soluções

Tensões dos nós

Saídas

Resposta

Deformação

Tensão

Resposta

SQNR ideal

Resposta

Resolva para N

Arredondar para cima

Resposta

Ganho de um amplificador não inversor

Resposta

Ganho de cada estágio

Ganho total

Resposta

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Corrente da fonte

Corrente em R₂

Resposta

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Resposta

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Encontre Vth, a tensão de circuito aberto

Equivalente de Norton

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Encontre Vth, a tensão de circuito aberto

Ligue a carga ao equivalente de Thévenin

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Encontre V_th, a tensão de circuito aberto

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Encontre V_th, a tensão de circuito aberto