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1Fórmulas e métodos
Ponte de Wheatstone e extensômetros
Tensões dos divisores
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
Saídas
Vab = Va − Vb
Balanço
R1/R2 = R3/R4
Ponte de fio
R/Rx = l/(100 − l)
Resistência de Thévenin
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
Fator do extensômetro
ΔR/R = GF·ε
Saída da ponte
quarto Vs·GF·ε/4, meia Vs·GF·ε/2, completa Vs·GF·ε
Pequena variação, um braço
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
Tensão
σ = E·ε
Método
Trate a ponte como dois divisores de tensão sobre a mesma alimentação.
Para o equilíbrio, faça R₁/R₂ = R₃/R₄ e resolva para o resistor desconhecido.
Para uma ponte desequilibrada, encontre Va e Vb a partir dos divisores e subtraia; use o equivalente de Thévenin quando um medidor carrega a saída.
Para extensômetros, converta a deformação em ΔR/R = GF·ε e use Vs·GF·ε/4, /2 ou ×1 para um quarto, meia ponte ou ponte completa.
Aquisição de dados e amostragem
Critério de Nyquist
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Frequência de aliasing
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Tamanho do passo
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Erro de quantização (arredondamento)
±½ LSB
Código do ADC com truncamento
D = ⌊Vin/LSB⌋
Bits para uma resolução r
2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideal, senoide de fundo de escala
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Taxa de dados
canais × fs × N bit/s
ADC multiplexado
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 10 bits por byte; bytes/s = baud/bits por quadro
Divisor da taxa de baud
baud = fclk/(16·D)
Método
Anote o que é dado: taxa de amostragem, frequências do sinal, número de bits, faixa de entrada, taxa de baud.
Em questões de amostragem, compare cada frequência com fs/2; uma frequência mais alta aparece em fa = |f − k·fs|, com o múltiplo de fs mais próximo.
Em questões de resolução, determine 1 LSB = VFSR/2ᴺ ou o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/resolução.
Para taxas de dados e enlaces UART, conte tudo o que é enviado: canais, amostras por segundo, bits ou bytes inteiros por amostra e os bits de início, de paridade e de parada de cada quadro.
Circuitos com amplificadores operacionais
Amplificador inversor
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Amplificador não inversor
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Amplificador somador
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Amplificador operacional ideal
V+ = V−, Iin = 0
Resistores em série e paralelo
Resistências em série
Req = R1 + R2 + …
Resistências em paralelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dois em paralelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Lei de Ohm
V = I·R
Potência
P = V·I = I²R = V²/R
Método
Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.
Thévenin e Norton
Tensão de Thévenin
Vth = Vopen circuit
Resistência de Thévenin
Rth: todas as fontes desligadas, vista de a–b
Corrente de Norton
IN = Vth/Rth
Corrente na carga
IL = Vth/(Rth + RL)
Máxima transferência de potência
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
Método
Retire a carga e marque os dois terminais a e b.
Encontre a tensão de circuito aberto entre a e b: essa é Vth.
Desligue todas as fontes independentes e encontre a resistência vista de a–b: essa é Rth.
Recoloque a carga no circuito equivalente: Vth em série com Rth.
Para o equivalente de Norton, converta: IN = Vth/Rth, com RN = Rth em paralelo.
2Exercícios
1.Ponte de Wheatstone e extensômetrosMédia
Um galvanômetro com resistência de 200 Ω é ligado entre a e b da ponte mostrada (Vs = 15 V). Encontre a corrente do galvanômetro Ig de a para b, em µA.
Um quarto de ponte com um extensômetro ativo (GF = 2,05) é excitado com 5 V. Sob carga a saída marca 2,563 mV. Encontre a deformação ε em µε.
Vs = 5 VGF = 2,05Vo = 2,563 mV
ε = µε
3.Aquisição de dados e amostragemMédia
Um ADC com faixa de entrada de 0 a 5 V deve resolver passos de 2 mV ou menores. Encontre o menor número de bits N.
VFSR = 5 Vresolução = 2 mV
N =
4.Aquisição de dados e amostragemDifícil
Um multiplexador de 4 canais alimenta um único ADC. Cada conversão leva 8 µs e, após cada troca de canal, a entrada precisa de 5 µs para se estabilizar. Os canais são varridos em sequência, sem pausa. Encontre a taxa de amostragem fs de cada canal, em kHz.
n = 4tc = 8 µstset = 5 µs
fs = kHz
5.Circuitos com amplificadores operacionaisMédia
O amplificador operacional é ideal e alimentado com ±15 V. Encontre a tensão de saída Vout.
Ponte de Wheatstone: dois divisores de tensão compartilham uma mesma alimentação Vs. O divisor da esquerda R1–R2 dá Va = Vs·R2/(R1 + R2) e o divisor da direita R3–R4 dá Vb = Vs·R4/(R3 + R4); a saída é Vab = Va − Vb. A ponte está equilibrada (Vab = 0, sem corrente no medidor) quando R1/R2 = R3/R4, isto é, R1·R4 = R2·R3. Vista da saída, a ponte é uma fonte de Thévenin com Rth = R1∥R2 + R3∥R4.
Tensão de Thévenin
Vth = 15·(120/200 − 600/1400) = 2,571 V
Resistência de Thévenin
Rth = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ = 390,9 Ω
Corrente do galvanômetro
Ig = 2,571/(390,9 + 200) = 4352 µA
Resposta
Ig = 4352 µA
2.Ponte de Wheatstone e extensômetros
Resposta: ε = 1000 µε
Extensômetros: um extensômetro altera sua resistência com a deformação: ΔR/R = GF·ε, onde o fator do extensômetro GF é cerca de 2 para folha metálica. Em uma ponte com todos os braços iguais a R, um extensômetro ativo (um quarto de ponte) dá Vo ≈ Vs·GF·ε/4. Dois extensômetros ativos com deformações opostas em braços adjacentes (meia ponte) dão Vs·GF·ε/2, e quatro (ponte completa) dão Vs·GF·ε. A tensão mecânica segue da lei de Hooke, σ = E·ε. As células de carga indicam sua sensibilidade em mV/V: a saída a plena carga por volt de excitação.
Resolva a equação do quarto de ponte
ε = 4·0,002563/(5·2,05) = 0,001
Em microdeformação
ε = 1000 µε
Resposta
ε = 1000 µε
3.Aquisição de dados e amostragem
Resposta: N = 12
Resolução do ADC: um conversor de N bits divide sua faixa de fundo de escala VFSR em 2ᴺ códigos, de 0 a 2ᴺ − 1. Um passo é 1 LSB = VFSR/2ᴺ: a menor variação que o conversor consegue mostrar. Um ADC com truncamento dá o código ⌊Vin/LSB⌋; um ADC com arredondamento nunca fica a mais de ½ LSB do valor verdadeiro, seu erro de quantização. Cada bit a mais reduz o LSB à metade e acrescenta cerca de 6 dB à relação sinal-ruído de quantização ideal SQNR = 6,02·N + 1,76 dB para uma senoide de fundo de escala. Para alcançar uma resolução r em uma faixa, escolha o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/r.
Passos necessários
5000 mV/2 mV = 2500
Bits
log₂(2500) = 11,29
211 = 2048 < 2500 ≤ 212 = 4096
N = 12
Resposta
N = 12
4.Aquisição de dados e amostragem
Resposta: fs = 19,23 kHz
Taxas de dados: cada canal fornece fs amostras por segundo de N bits, então a taxa bruta é canais × fs × N bit/s. Na memória, uma amostra ocupa bytes inteiros (uma amostra de 12 bits é armazenada em 2 bytes), então a memória para uma gravação é canais × fs × bytes por amostra × tempo. Um ADC multiplexado converte os canais um após o outro: cada conversão (com o tempo de estabilização) leva t, então uma rodada de n canais leva n·t e cada canal é amostrado a 1/(n·t).
Tempo por canal
8 + 5 = 13 µs
Tempo por varredura
4·13 = 52 µs
Taxa de amostragem por canal
fs = 1/52 µs = 19,23 kHz
Resposta
fs = 19,23 kHz
5.Circuitos com amplificadores operacionais
Resposta: Vout = −8,182 V
Regras do amplificador operacional ideal: com realimentação negativa, o amplificador ajusta sua saída para que as duas entradas fiquem na mesma tensão (V₋ = V₊), e nenhuma corrente entra em qualquer entrada. Escrever a LKC na entrada inversora com esses dois fatos dá a saída.
Regras do amplificador operacional ideal: com realimentação negativa, o amplificador ajusta sua saída para que as duas entradas fiquem na mesma tensão (V₋ = V₊), e nenhuma corrente entra em qualquer entrada. Escrever a LKC na entrada inversora com esses dois fatos dá a saída.
Correntes de entrada
V₋ = 0, então cada resistor de entrada tem toda a sua tensão de entrada sobre ele.
I1 = V1/R1 = 0,1/100 = 0,001 mA
I2 = V2/R2 = −1/22 = −0,04545 mA
If = I1 + I2 = −0,04445 mA
Tensão de saída
Vout = −Rf·If = −47·(−0,04445) = 2,089 V
Resposta
Vout = 2,089 V
7.Resistores em série e paralelo
Resposta: Req = 17,09 Ω
Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.
Combine os resistores a partir da extremidade mais distante
Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.
R3 + R4 = 4 + 10 = 14 Ω
R2 ∥ 14 = 8·14/(8+14) = 5,091 Ω
Req = R1 + 5,091 = 12 + 5,091 = 17,09 Ω
Resposta
Req = 17,09 Ω
8.Resistores em série e paralelo
Resposta: Req = 26,79 Ω
Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.
Combine os resistores a partir da extremidade mais distante
Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.
R5 + R6 = 20 + 8 = 28 Ω
R4 ∥ 28 = 14,48 Ω
R3 + 14,48 = 17,48 Ω
R2 ∥ 17,48 = 1,795 Ω
Req = R1 + 1,795 = 25 + 1,795 = 26,79 Ω
Resposta
Req = 26,79 Ω
9.Thévenin e Norton
Resposta: Rth = 8,4 Ω
Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão Vth em série com uma resistência Rth. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente IN = Vth/Rth em paralelo com Rth.
Encontre Rth com todas as fontes desligadas
Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.
R1 ∥ R2 = 4·6/(4+6) = 2,4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,4 + 6 = 8,4 Ω
10.Thévenin e Norton
Resposta: IL = 0,1266 A
Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão Vth em série com uma resistência Rth. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente IN = Vth/Rth em paralelo com Rth.
Encontre Rth com todas as fontes desligadas
Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.
R1 ∥ R2 = 2·25/(2+25) = 1,852 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,852 + 8 = 9,852 Ω
Encontre Vth, a tensão de circuito aberto
Com a–b aberto, o único caminho para Iₛ é por R₃ até o nó A. Encontre V_A por superposição de V₁ e Iₛ, depois some a queda em R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 33,33 + (−3)·1,852 = 27,78 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 27,78 + (−3)·8 = 3,778 V
Ligue a carga ao equivalente de Thévenin
A fonte de Thévenin e R_th em série se comportam exatamente como o circuito original em a–b, então a carga vê uma malha simples em série.
IL = Vth/(Rth + RL) = 3,778/(9,852 + 20) = 0,1266 A