Medição e Instrumentação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Ponte de Wheatstone e extensômetros

Tensões dos divisores
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
Saídas
Vab = Va − Vb
Balanço
R1/R2 = R3/R4
Ponte de fio
R/Rx = l/(100 − l)
Resistência de Thévenin
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
Fator do extensômetro
ΔR/R = GF·ε
Saída da ponte
quarto Vs·GF·ε/4, meia Vs·GF·ε/2, completa Vs·GF·ε
Pequena variação, um braço
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
Tensão
σ = E·ε

Método

  1. Trate a ponte como dois divisores de tensão sobre a mesma alimentação.
  2. Para o equilíbrio, faça R₁/R₂ = R₃/R₄ e resolva para o resistor desconhecido.
  3. Para uma ponte desequilibrada, encontre Va e Vb a partir dos divisores e subtraia; use o equivalente de Thévenin quando um medidor carrega a saída.
  4. Para extensômetros, converta a deformação em ΔR/R = GF·ε e use Vs·GF·ε/4, /2 ou ×1 para um quarto, meia ponte ou ponte completa.

Aquisição de dados e amostragem

Critério de Nyquist
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Frequência de aliasing
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Tamanho do passo
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Erro de quantização (arredondamento)
±½ LSB
Código do ADC com truncamento
D = ⌊Vin/LSB⌋
Bits para uma resolução r
2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideal, senoide de fundo de escala
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Taxa de dados
canais × fs × N bit/s
ADC multiplexado
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 10 bits por byte; bytes/s = baud/bits por quadro
Divisor da taxa de baud
baud = fclk/(16·D)

Método

  1. Anote o que é dado: taxa de amostragem, frequências do sinal, número de bits, faixa de entrada, taxa de baud.
  2. Em questões de amostragem, compare cada frequência com fs/2; uma frequência mais alta aparece em fa = |f − k·fs|, com o múltiplo de fs mais próximo.
  3. Em questões de resolução, determine 1 LSB = VFSR/2ᴺ ou o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/resolução.
  4. Para taxas de dados e enlaces UART, conte tudo o que é enviado: canais, amostras por segundo, bits ou bytes inteiros por amostra e os bits de início, de paridade e de parada de cada quadro.

Circuitos com amplificadores operacionais

Amplificador inversor
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Amplificador não inversor
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Amplificador somador
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Amplificador operacional ideal
V+ = V−, Iin = 0

Resistores em série e paralelo

Resistências em série
Req = R1 + R2 + …
Resistências em paralelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dois em paralelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Lei de Ohm
V = I·R
Potência
P = V·I = I²R = V²/R

Método

  1. Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
  2. Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Redesenhe o circuito após cada passo.
  4. Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Thévenin e Norton

Tensão de Thévenin
Vth = Vopen circuit
Resistência de Thévenin
Rth: todas as fontes desligadas, vista de a–b
Corrente de Norton
IN = Vth/Rth
Corrente na carga
IL = Vth/(Rth + RL)
Máxima transferência de potência
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Método

  1. Retire a carga e marque os dois terminais a e b.
  2. Encontre a tensão de circuito aberto entre a e b: essa é Vth.
  3. Desligue todas as fontes independentes e encontre a resistência vista de a–b: essa é Rth.
  4. Recoloque a carga no circuito equivalente: Vth em série com Rth.
  5. Para o equivalente de Norton, converta: IN = Vth/Rth, com RN = Rth em paralelo.

2Exercícios

1.Ponte de Wheatstone e extensômetrosMédia
+−3 V100 Ω100 Ω + ΔR100 Ω100 Ωab+−36,59 mV

Uma ponte com quatro braços de 100 Ω é alimentada com 3 V. Quando o sensor R₂ varia, a saída marca Vab = 36,59 mV. Encontre a variação exata ΔR de R₂.

Vs = 3 VR = 100 ΩVab = 36,59 mV
ΔR = Ω
2.Ponte de Wheatstone e extensômetrosDifícil
+−10 V1000 Ω − ΔR1000 Ω + ΔR1000 Ω1000 Ωab+−Vo​ = ?

Uma ponte com braços de 1000 Ω é excitada com 10 V e tem dois extensômetros ativos em braços adjacentes, um sob tração e outro sob compressão (meia ponte). O fator do extensômetro é 2,1 e a deformação é 1500 µε. Encontre a saída da ponte Vo em mV.

Vs = 10 VGF = 2,1ε = 1500 µε
Vo = mV
3.Aquisição de dados e amostragemMédia
Vin​N = 18VFSR​2ᴺ − 101 LSB

Encontre a relação sinal-ruído de quantização ideal SQNR de um ADC de 18 bits para uma senoide de fundo de escala.

N = 18
SQNR = dB
4.Aquisição de dados e amostragemDifícil
SD0​D1​D2​D3​D4​D5​D6​D7​1/fbaud​12 MHz / (16·D)

Um microcontrolador com clock de 12 MHz define sua taxa de baud da UART como fclk/(16·D), com D um número inteiro arredondado para o valor mais próximo. O alvo é 19200 baud. Encontre o erro percentual da taxa de baud real (positivo quando ela é rápida demais).

fclk = 12 MHzalvo = 19200 Bd
e = %
5.Circuitos com amplificadores operacionaisMédia
−+Vout​Rf​ = 4,7 kΩR1​ = 1 kΩVin​ = −3 VRa​ = 47 kΩRb​ = 10 kΩ

O amplificador operacional é ideal e alimentado com ±15 V. Encontre a tensão de saída Vout.

Vin = −3 VRa = 47 kΩRb = 10 kΩR1 = 1 kΩRf = 4,7 kΩ
Vout = V
6.Circuitos com amplificadores operacionaisDifícil
−+Vout​Rf​ = 2 kΩV1​ = −0,4 VR1​ = 2 kΩV2​ = −0,3 VR2​ = 4,7 kΩIf​

O amplificador somador usa um amplificador operacional ideal alimentado com ±15 V. Encontre a corrente If no resistor de realimentação, fluindo em direção à saída.

V1 = −0,4 VV2 = −0,3 VR1 = 2 kΩR2 = 4,7 kΩRf = 2 kΩ
If = mA
7.Resistores em série e paraleloMédia
R1​ = 20 ΩIR1​R3​ = 3 Ω+−V1​10 VR2​10 ΩAR4​6 ΩB

Encontre a corrente IR1 fornecida pela fonte, que passa por R1.

V1 = 10 VR1 = 20 ΩR2 = 10 ΩR3 = 3 ΩR4 = 6 Ω
IR1 = A
8.Resistores em série e paraleloDifícil
R1​ = 30 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​10 VR2​8 ΩAR4​2 ΩBR6​5 Ω

Encontre a resistência equivalente Req vista pela fonte V1.

V1 = 10 VR1 = 30 ΩR2 = 8 ΩR3 = 6 ΩR4 = 2 ΩR5 = 6 ΩR6 = 5 Ω
Req = Ω
9.Thévenin e NortonMédia
R1​ = 8 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​30 VR2​3 ΩAab

Encontre a tensão de Thévenin Vth vista dos terminais a–b.

V1 = 30 VR1 = 8 ΩR2 = 3 ΩR3 = 5 Ω
Vth = V
10.Thévenin e NortonDifícil
R1​ = 30 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​30 VR2​5 ΩAIs​1 ABab

Encontre a tensão de Thévenin Vth vista dos terminais a–b.

V1 = 30 VIs = 1 AR1 = 30 ΩR2 = 5 ΩR3 = 5 Ω
Vth = V

3Soluções

1.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: ΔR = 5,001 Ω

Ponte de Wheatstone: dois divisores de tensão compartilham uma mesma alimentação Vs. O divisor da esquerda R1–R2 dá Va = Vs·R2/(R1 + R2) e o divisor da direita R3–R4 dá Vb = Vs·R4/(R3 + R4); a saída é Vab = Va − Vb. A ponte está equilibrada (Vab = 0, sem corrente no medidor) quando R1/R2 = R3/R4, isto é, R1·R4 = R2·R3. Vista da saída, a ponte é uma fonte de Thévenin com Rth = R1∥R2 + R3∥R4.

Tensão do nó

Va = 1,5 + 0,03659 = 1,537 V

Resolva o divisor

R₂ = 100·1,537/(3 − 1,537) = 105 Ω
ΔR = 105 − 100 = 5,001 Ω

Resposta

ΔR = 5,001 Ω
2.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: Vo = 15,75 mV

Extensômetros: um extensômetro altera sua resistência com a deformação: ΔR/R = GF·ε, onde o fator do extensômetro GF é cerca de 2 para folha metálica. Em uma ponte com todos os braços iguais a R, um extensômetro ativo (um quarto de ponte) dá Vo ≈ Vs·GF·ε/4. Dois extensômetros ativos com deformações opostas em braços adjacentes (meia ponte) dão Vs·GF·ε/2, e quatro (ponte completa) dão Vs·GF·ε. A tensão mecânica segue da lei de Hooke, σ = E·ε. As células de carga indicam sua sensibilidade em mV/V: a saída a plena carga por volt de excitação.

Variação relativa da resistência

ΔR/R = 2,1·1500·10⁻⁶ = 0,00315

Saída da ponte

Vo = Vs·GF·ε/2 = 10·0,00315/2 = 15,75 mV

Resposta

Vo = 15,75 mV
3.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: SQNR = 110,1 dB

Resolução do ADC: um conversor de N bits divide sua faixa de fundo de escala VFSR em 2ᴺ códigos, de 0 a 2ᴺ − 1. Um passo é 1 LSB = VFSR/2ᴺ: a menor variação que o conversor consegue mostrar. Um ADC com truncamento dá o código ⌊Vin/LSB⌋; um ADC com arredondamento nunca fica a mais de ½ LSB do valor verdadeiro, seu erro de quantização. Cada bit a mais reduz o LSB à metade e acrescenta cerca de 6 dB à relação sinal-ruído de quantização ideal SQNR = 6,02·N + 1,76 dB para uma senoide de fundo de escala. Para alcançar uma resolução r em uma faixa, escolha o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/r.

SQNR ideal

SQNR = 6,02·18 + 1,76 = 110,1 dB

Resposta

SQNR = 110,1 dB
4.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: e = 0,1603 %

UART: um enlace serial assíncrono envia cada byte como um quadro: um bit de início (baixo), os bits de dados, um bit de paridade opcional e um ou dois bits de parada (alto). A taxa de baud é o número de bits por segundo, então um bit dura Tb = 1/baud e um quadro de n bits dura n/baud. O formato comum 8N1 tem 10 bits por byte. O gerador de baud divide o clock: baud = fclk/(16·D) com um número inteiro D, então a taxa de baud real difere um pouco da desejada; um erro abaixo de cerca de 2 % costuma ser aceitável.

Divisor

D = 12·10⁶/(16·19200) = 39,06 → 39

Taxa de baud real

12·10⁶/(16·39) = 19231 Bd

Erro

(19231 − 19200)/19200·100 = 0,1603 %

Resposta

e = 0,1603 %

Um erro abaixo de cerca de 2 % costuma ser aceitável.

5.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: Vout = −3 V

Regras do amplificador operacional ideal: com realimentação negativa, o amplificador ajusta sua saída para que as duas entradas fiquem na mesma tensão (V₋ = V₊), e nenhuma corrente entra em qualquer entrada. Escrever a LKC na entrada inversora com esses dois fatos dá a saída.

Tensão na entrada +

V₊ = Vin·Rb/(Ra + Rb) = −3·10/(47 + 10) = −0,5263 V

Ganho não inversor

V₋ = V₊, e a corrente em R₁ também passa por Rf.

Vout = V₊·(1 + Rf/R1) = −0,5263·(1 + 4,7/1) = −3 V

Resposta

Vout = −3 V
6.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: If = −0,2638 mA

Regras do amplificador operacional ideal: com realimentação negativa, o amplificador ajusta sua saída para que as duas entradas fiquem na mesma tensão (V₋ = V₊), e nenhuma corrente entra em qualquer entrada. Escrever a LKC na entrada inversora com esses dois fatos dá a saída.

Correntes de entrada

V₋ = 0, então cada resistor de entrada tem toda a sua tensão de entrada sobre ele.

I1 = V1/R1 = −0,4/2 = −0,2 mA
I2 = V2/R2 = −0,3/4,7 = −0,06383 mA
If = I1 + I2 = −0,2638 mA

Resposta

If = −0,2638 mA
7.Resistores em série e paralelo

Resposta: IR1 = 0,4043 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

R1​ = 20 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​10 VR2​10 ΩAR4​6 ΩB

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R3 + R4 = 3 + 6 = 9 Ω
R2 ∥ 9 = 10·9/(10+9) = 4,737 Ω
Req = R1 + 4,737 = 20 + 4,737 = 24,74 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só Req, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

IR1 = V1/Req = 10/24,74 = 0,4043 A

Resposta

IR1 = 0,4043 A
8.Resistores em série e paralelo

Resposta: Req = 33,92 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

R1​ = 30 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​10 VR2​8 ΩAR4​2 ΩBR6​5 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R5 + R6 = 6 + 5 = 11 Ω
R4 ∥ 11 = 1,692 Ω
R3 + 1,692 = 7,692 Ω
R2 ∥ 7,692 = 3,922 Ω
Req = R1 + 3,922 = 30 + 3,922 = 33,92 Ω

Resposta

Req = 33,92 Ω
9.Thévenin e Norton

Resposta: Vth = 8,182 V

Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão Vth em série com uma resistência Rth. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente IN = Vth/Rth em paralelo com Rth.

R1​ = 8 ΩR3​ = 5 ΩCURTOR2​3 ΩAabRth​

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R1 ∥ R2 = 8·3/(8+3) = 2,182 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,182 + 5 = 7,182 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​30 VR2​3 ΩAab+−Vth​

Encontre Vth, a tensão de circuito aberto

Com a–b aberto, não passa corrente por R₃, então não há queda nele e V_b = V_A. R₁ e R₂ formam um divisor de tensão.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 30·3/(8+3) = 8,182 V
10.Thévenin e Norton

Resposta: Vth = −5 V

Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão Vth em série com uma resistência Rth. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente IN = Vth/Rth em paralelo com Rth.

R1​ = 30 ΩR3​ = 5 ΩCURTOR2​5 ΩAABERTOBabRth​

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R1 ∥ R2 = 30·5/(30+5) = 4,286 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4,286 + 5 = 9,286 Ω
R1​ = 30 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​30 VR2​5 ΩAIs​1 ABab+−Vth​

Encontre Vth, a tensão de circuito aberto

Com a–b aberto, o único caminho para Iₛ é por R₃ até o nó A. Encontre V_A por superposição de V₁ e Iₛ, depois some a queda em R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 4,286 + (−1)·4,286 = 0 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 0 + (−1)·5 = −5 V

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