Medição e Instrumentação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercíciosVoltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Ponte de Wheatstone e extensômetros

Tensões dos divisores
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
Saídas
Vab = Va − Vb
Balanço
R1/R2 = R3/R4
Ponte de fio
R/Rx = l/(100 − l)
Resistência de Thévenin
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
Fator do extensômetro
ΔR/R = GF·ε
Saída da ponte
quarto Vs·GF·ε/4, meia Vs·GF·ε/2, completa Vs·GF·ε
Pequena variação, um braço
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
Tensão
σ = E·ε

Método

  1. Trate a ponte como dois divisores de tensão sobre a mesma alimentação.
  2. Para o equilíbrio, faça R₁/R₂ = R₃/R₄ e resolva para o resistor desconhecido.
  3. Para uma ponte desequilibrada, encontre Va e Vb a partir dos divisores e subtraia; use o equivalente de Thévenin quando um medidor carrega a saída.
  4. Para extensômetros, converta a deformação em ΔR/R = GF·ε e use Vs·GF·ε/4, /2 ou ×1 para um quarto, meia ponte ou ponte completa.

Aquisição de dados e amostragem

Critério de Nyquist
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Frequência de aliasing
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Tamanho do passo
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Erro de quantização (arredondamento)
±½ LSB
Código do ADC com truncamento
D = ⌊Vin/LSB⌋
Bits para uma resolução r
2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideal, senoide de fundo de escala
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Taxa de dados
canais × fs × N bit/s
ADC multiplexado
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 10 bits por byte; bytes/s = baud/bits por quadro
Divisor da taxa de baud
baud = fclk/(16·D)

Método

  1. Anote o que é dado: taxa de amostragem, frequências do sinal, número de bits, faixa de entrada, taxa de baud.
  2. Em questões de amostragem, compare cada frequência com fs/2; uma frequência mais alta aparece em fa = |f − k·fs|, com o múltiplo de fs mais próximo.
  3. Em questões de resolução, determine 1 LSB = VFSR/2ᴺ ou o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/resolução.
  4. Para taxas de dados e enlaces UART, conte tudo o que é enviado: canais, amostras por segundo, bits ou bytes inteiros por amostra e os bits de início, de paridade e de parada de cada quadro.

Circuitos com amplificadores operacionais

Amplificador inversor
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Amplificador não inversor
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Amplificador somador
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Amplificador operacional ideal
V+ = V−, Iin = 0

Resistores em série e paralelo

Resistências em série
Req = R1 + R2 + …
Resistências em paralelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dois em paralelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Lei de Ohm
V = I·R
Potência
P = V·I = I²R = V²/R

Método

  1. Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
  2. Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Redesenhe o circuito após cada passo.
  4. Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Thévenin e Norton

Tensão de Thévenin
Vth = Vopen circuit
Resistência de Thévenin
Rth: todas as fontes desligadas, vista de a–b
Corrente de Norton
IN = Vth/Rth
Corrente na carga
IL = Vth/(Rth + RL)
Máxima transferência de potência
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Método

  1. Retire a carga e marque os dois terminais a e b.
  2. Encontre a tensão de circuito aberto entre a e b: essa é Vth.
  3. Desligue todas as fontes independentes e encontre a resistência vista de a–b: essa é Rth.
  4. Recoloque a carga no circuito equivalente: Vth em série com Rth.
  5. Para o equivalente de Norton, converta: IN = Vth/Rth, com RN = Rth em paralelo.

2Exercícios

1.Ponte de Wheatstone e extensômetrosMédia
+−6 V300 Ω300 Ω300 Ω300 Ωab+−

Um extensômetro de 300 Ω é um braço (R₂) de uma ponte com quatro braços iguais de 300 Ω e uma excitação de 6 V. Encontre a potência Pg dissipada no extensômetro, em mW. O autoaquecimento limita a excitação.

Vs = 6 VR = 300 Ω
Pg = mW
2.Ponte de Wheatstone e extensômetrosDifícil
+−2,5 V1000 Ω1000 Ω + ΔR1000 Ω1000 Ωab+−0,75 mV

Um extensômetro (GF = 2) em um elemento com E = 70 GPa forma um quarto de ponte excitado com 2,5 V. A saída marca 0,75 mV. Encontre a tensão mecânica axial σ em MPa.

Vs = 2,5 VGF = 2Vo = 0,75 mVE = 70 GPa
σ = MPa
3.Aquisição de dados e amostragemMédia
SD0​D1​D2​D3​D4​D5​D6​D7​Tb​11·Tb​1200 Bd, 8N2

Uma UART envia bytes a 1200 baud no formato 8N2: 8 bits de dados, sem paridade e 2 bit(s) de parada, além do bit de início. Encontre o maior número de bytes de dados por segundo que ela consegue transferir.

baud = 1200 Bd8N2
RB = B/s
4.Aquisição de dados e amostragemDifícil
T1 mV/°C×2,5∿01N = 10, 3,3 V? °C/LSB

Um sensor de temperatura fornece 1 mV/°C (0 V a 0 °C). Seu sinal é amplificado 2,5 vezes e entra em um ADC de 10 bits com faixa de 0 a 3,3 V (1 LSB = VFSR/2ᴺ). Encontre a variação de temperatura ΔTLSB que corresponde a um LSB.

S = 1 mV/°CG = 2,5N = 10VFSR = 3,3 V
ΔTLSB = °C
5.Circuitos com amplificadores operacionaisMédia
−+Vout​Rf​ = 10 kΩR1​ = 1 kΩVin​ = −2 VRa​ = 100 kΩRb​ = 100 kΩ

O amplificador operacional é ideal e alimentado com ±15 V. Encontre a tensão de saída Vout.

Vin = −2 VRa = 100 kΩRb = 100 kΩR1 = 1 kΩRf = 10 kΩ
Vout = V
6.Circuitos com amplificadores operacionaisDifícil
−+Vout​Rf​ = 10 kΩV1​ = 0,9 VR1​ = 4,7 kΩV2​ = 1,5 VR2​ = 22 kΩIf​

O amplificador somador usa um amplificador operacional ideal alimentado com ±15 V. Encontre a corrente If no resistor de realimentação, fluindo em direção à saída.

V1 = 0,9 VV2 = 1,5 VR1 = 4,7 kΩR2 = 22 kΩRf = 10 kΩ
If = mA
7.Resistores em série e paraleloMédia
R1​ = 10 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​6 VR2​5 ΩIR2​AR4​6 ΩB

Encontre a corrente IR2 em R2.

V1 = 6 VR1 = 10 ΩR2 = 5 ΩR3 = 6 ΩR4 = 6 Ω
IR2 = A
8.Resistores em série e paraleloDifícil
R1​ = 8 ΩIR1​R3​ = 25 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​9 VR2​2 ΩAR4​12 ΩBR6​20 Ω

Encontre a corrente IR1 fornecida pela fonte, que passa por R1.

V1 = 9 VR1 = 8 ΩR2 = 2 ΩR3 = 25 ΩR4 = 12 ΩR5 = 2 ΩR6 = 20 Ω
IR1 = A
9.Thévenin e NortonMédia
R1​ = 15 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​15 VR2​6 ΩARL​3 ΩIL​B

Uma carga RL = 3 Ω é ligada entre a–b. Substitua o resto do circuito pelo seu equivalente de Thévenin e encontre a corrente na carga IL.

V1 = 15 VR1 = 15 ΩR2 = 6 ΩR3 = 5 ΩRL = 3 Ω
IL = A
10.Thévenin e NortonDifícil
R1​ = 30 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​5 VR2​8 ΩAIs​0,5 ABRL​25 ΩIL​

Uma carga RL = 25 Ω é ligada entre a–b. Substitua o resto do circuito pelo seu equivalente de Thévenin e encontre a corrente na carga IL.

V1 = 5 VIs = 0,5 AR1 = 30 ΩR2 = 8 ΩR3 = 15 ΩRL = 25 Ω
IL = A

3Soluções

1.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: Pg = 30 mW

Ponte de Wheatstone: dois divisores de tensão compartilham uma mesma alimentação Vs. O divisor da esquerda R1–R2 dá Va = Vs·R2/(R1 + R2) e o divisor da direita R3–R4 dá Vb = Vs·R4/(R3 + R4); a saída é Vab = Va − Vb. A ponte está equilibrada (Vab = 0, sem corrente no medidor) quando R1/R2 = R3/R4, isto é, R1·R4 = R2·R3. Vista da saída, a ponte é uma fonte de Thévenin com Rth = R1∥R2 + R3∥R4.

Tensão sobre o extensômetro

V = 6/2 = 3 V

Potência

Pg = 3²/300 = 30 mW

Resposta

Pg = 30 mW
2.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: σ = 42 MPa

Extensômetros: um extensômetro altera sua resistência com a deformação: ΔR/R = GF·ε, onde o fator do extensômetro GF é cerca de 2 para folha metálica. Em uma ponte com todos os braços iguais a R, um extensômetro ativo (um quarto de ponte) dá Vo ≈ Vs·GF·ε/4. Dois extensômetros ativos com deformações opostas em braços adjacentes (meia ponte) dão Vs·GF·ε/2, e quatro (ponte completa) dão Vs·GF·ε. A tensão mecânica segue da lei de Hooke, σ = E·ε. As células de carga indicam sua sensibilidade em mV/V: a saída a plena carga por volt de excitação.

Deformação

ε = 4·0,00075/(2,5·2) = 0,0006

Tensão

σ = 70·10³ MPa·0,0006 = 42 MPa

Resposta

σ = 42 MPa
3.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: RB = 109,1 B/s

UART: um enlace serial assíncrono envia cada byte como um quadro: um bit de início (baixo), os bits de dados, um bit de paridade opcional e um ou dois bits de parada (alto). A taxa de baud é o número de bits por segundo, então um bit dura Tb = 1/baud e um quadro de n bits dura n/baud. O formato comum 8N1 tem 10 bits por byte. O gerador de baud divide o clock: baud = fclk/(16·D) com um número inteiro D, então a taxa de baud real difere um pouco da desejada; um erro abaixo de cerca de 2 % costuma ser aceitável.

Bits por quadro

1 + 8 + 0 + 2 = 11

Taxa de bytes

1200/11 = 109,1 B/s

Resposta

RB = 109,1 B/s
4.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: ΔTLSB = 1,289 °C

Resolução do ADC: um conversor de N bits divide sua faixa de fundo de escala VFSR em 2ᴺ códigos, de 0 a 2ᴺ − 1. Um passo é 1 LSB = VFSR/2ᴺ: a menor variação que o conversor consegue mostrar. Um ADC com truncamento dá o código ⌊Vin/LSB⌋; um ADC com arredondamento nunca fica a mais de ½ LSB do valor verdadeiro, seu erro de quantização. Cada bit a mais reduz o LSB à metade e acrescenta cerca de 6 dB à relação sinal-ruído de quantização ideal SQNR = 6,02·N + 1,76 dB para uma senoide de fundo de escala. Para alcançar uma resolução r em uma faixa, escolha o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/r.

Tamanho do passo

1 LSB = 3300/1024 = 3,223 mV

Sensibilidade no ADC

1·2,5 = 2,5 mV/°C

Resolução de temperatura

ΔTLSB = 3,223/2,5 = 1,289 °C

Resposta

ΔTLSB = 1,289 °C

O ADC atinge o fundo de escala a 1320 °C.

5.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: Vout = −11 V

Regras do amplificador operacional ideal: com realimentação negativa, o amplificador ajusta sua saída para que as duas entradas fiquem na mesma tensão (V₋ = V₊), e nenhuma corrente entra em qualquer entrada. Escrever a LKC na entrada inversora com esses dois fatos dá a saída.

Tensão na entrada +

V₊ = Vin·Rb/(Ra + Rb) = −2·100/(100 + 100) = −1 V

Ganho não inversor

V₋ = V₊, e a corrente em R₁ também passa por Rf.

Vout = V₊·(1 + Rf/R1) = −1·(1 + 10/1) = −11 V

Resposta

Vout = −11 V
6.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: If = 0,2597 mA

Regras do amplificador operacional ideal: com realimentação negativa, o amplificador ajusta sua saída para que as duas entradas fiquem na mesma tensão (V₋ = V₊), e nenhuma corrente entra em qualquer entrada. Escrever a LKC na entrada inversora com esses dois fatos dá a saída.

Correntes de entrada

V₋ = 0, então cada resistor de entrada tem toda a sua tensão de entrada sobre ele.

I1 = V1/R1 = 0,9/4,7 = 0,1915 mA
I2 = V2/R2 = 1,5/22 = 0,06818 mA
If = I1 + I2 = 0,2597 mA

Resposta

If = 0,2597 mA
7.Resistores em série e paralelo

Resposta: IR2 = 0,313 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

R1​ = 10 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​6 VR2​5 ΩAR4​6 ΩB

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R3 + R4 = 6 + 6 = 12 Ω
R2 ∥ 12 = 5·12/(5+12) = 3,529 Ω
Req = R1 + 3,529 = 10 + 3,529 = 13,53 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só Req, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

IR1 = V1/Req = 6/13,53 = 0,4435 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 6 − 0,4435·10 = 1,565 V
IR2 = VA/R2 = 1,565/5 = 0,313 A

Resposta

IR2 = 0,313 A
8.Resistores em série e paralelo

Resposta: IR1 = 0,9105 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

R1​ = 8 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​9 VR2​2 ΩAR4​12 ΩBR6​20 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R5 + R6 = 2 + 20 = 22 Ω
R4 ∥ 22 = 7,765 Ω
R3 + 7,765 = 32,76 Ω
R2 ∥ 32,76 = 1,885 Ω
Req = R1 + 1,885 = 8 + 1,885 = 9,885 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só Req, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

IR1 = V1/Req = 9/9,885 = 0,9105 A

Resposta

IR1 = 0,9105 A
9.Thévenin e Norton

Resposta: IL = 0,3488 A

Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão Vth em série com uma resistência Rth. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente IN = Vth/Rth em paralelo com Rth.

R1​ = 15 ΩR3​ = 5 ΩCURTOR2​6 ΩAabRth​

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R1 ∥ R2 = 15·6/(15+6) = 4,286 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4,286 + 5 = 9,286 Ω
R1​ = 15 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​15 VR2​6 ΩAab+−Vth​

Encontre Vth, a tensão de circuito aberto

Com a–b aberto, não passa corrente por R₃, então não há queda nele e V_b = V_A. R₁ e R₂ formam um divisor de tensão.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 15·6/(15+6) = 4,286 V
Rth​ = 9,286 Ω+−Vth​4,286 VRL​3 ΩIL​

Ligue a carga ao equivalente de Thévenin

A fonte de Thévenin e R_th em série se comportam exatamente como o circuito original em a–b, então a carga vê uma malha simples em série.

IL = Vth/(Rth + RL) = 4,286/(9,286 + 3) = 0,3488 A
10.Thévenin e Norton

Resposta: IL = 0,2528 A

Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão Vth em série com uma resistência Rth. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente IN = Vth/Rth em paralelo com Rth.

R1​ = 30 ΩR3​ = 15 ΩCURTOR2​8 ΩAABERTOBabRth​

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R1 ∥ R2 = 30·8/(30+8) = 6,316 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6,316 + 15 = 21,32 Ω
R1​ = 30 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​5 VR2​8 ΩAIs​0,5 ABab+−Vth​

Encontre Vth, a tensão de circuito aberto

Com a–b aberto, o único caminho para Iₛ é por R₃ até o nó A. Encontre V_A por superposição de V₁ e Iₛ, depois some a queda em R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 1,053 + 0,5·6,316 = 4,211 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 4,211 + 0,5·15 = 11,71 V
Rth​ = 21,32 Ω+−Vth​11,71 VRL​25 ΩIL​

Ligue a carga ao equivalente de Thévenin

A fonte de Thévenin e R_th em série se comportam exatamente como o circuito original em a–b, então a carga vê uma malha simples em série.

IL = Vth/(Rth + RL) = 11,71/(21,32 + 25) = 0,2528 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation