Medição e Instrumentação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Ponte de Wheatstone e extensômetros

Tensões dos divisores: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Saídas: V_ab = V_a − V_b
Balanço: R₁/R₂ = R₃/R₄
Ponte de fio: R/R_x = l/(100 − l)
Resistência de Thévenin: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Fator do extensômetro: ΔR/R = GF·ε
Saída da ponte: quarto V_s·GF·ε/4, meia V_s·GF·ε/2, completa V_s·GF·ε
Pequena variação, um braço: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Tensão: σ = E·ε

Método

Trate a ponte como dois divisores de tensão sobre a mesma alimentação.
Para o equilíbrio, faça R₁/R₂ = R₃/R₄ e resolva para o resistor desconhecido.
Para uma ponte desequilibrada, encontre V_a e V_b a partir dos divisores e subtraia; use o equivalente de Thévenin quando um medidor carrega a saída.
Para extensômetros, converta a deformação em ΔR/R = GF·ε e use V_s·GF·ε/4, /2 ou ×1 para um quarto, meia ponte ou ponte completa.

Aquisição de dados e amostragem

Critério de Nyquist: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Frequência de aliasing: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Tamanho do passo: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Erro de quantização (arredondamento): ±½ LSB
Código do ADC com truncamento: D = ⌊V_in/LSB⌋
Bits para uma resolução r: 2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideal, senoide de fundo de escala: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Taxa de dados: canais × f_s × N bit/s
ADC multiplexado: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bits por byte; bytes/s = baud/bits por quadro
Divisor da taxa de baud: baud = f_clk/(16·D)

Método

Anote o que é dado: taxa de amostragem, frequências do sinal, número de bits, faixa de entrada, taxa de baud.
Em questões de amostragem, compare cada frequência com f_s/2; uma frequência mais alta aparece em f_a = |f − k·f_s|, com o múltiplo de f_s mais próximo.
Em questões de resolução, determine 1 LSB = V_FSR/2ᴺ ou o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/resolução.
Para taxas de dados e enlaces UART, conte tudo o que é enviado: canais, amostras por segundo, bits ou bytes inteiros por amostra e os bits de início, de paridade e de parada de cada quadro.

Circuitos com amplificadores operacionais

Amplificador inversor: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Amplificador não inversor: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Amplificador somador: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Amplificador operacional ideal: V₊ = V₋, I_in = 0

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Thévenin e Norton

Tensão de Thévenin: V_th = V_{open circuit}
Resistência de Thévenin: R_th: todas as fontes desligadas, vista de a–b
Corrente de Norton: I_N = V_th/R_th
Corrente na carga: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Máxima transferência de potência: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Método

Retire a carga e marque os dois terminais a e b.
Encontre a tensão de circuito aberto entre a e b: essa é V_th.
Desligue todas as fontes independentes e encontre a resistência vista de a–b: essa é R_th.
Recoloque a carga no circuito equivalente: V_th em série com R_th.
Para o equivalente de Norton, converta: I_N = V_th/R_th, com R_N = R_th em paralelo.

2Exercícios

1.Ponte de Wheatstone e extensômetrosMédia

Uma ponte com quatro braços de 220 Ω é alimentada com 10 V. Quando o sensor R₂ varia, a saída marca V_ab = 192,3 mV. Encontre a variação exata ΔR de R₂.

V_s = 10 VR = 220 ΩV_ab = 192,3 mV

ΔR = Ω

2.Ponte de Wheatstone e extensômetrosDifícil

Um quarto de ponte (um extensômetro ativo, GF = 2,12) é excitado com 10 V. A maior deformação a ser medida é 400 µε, e ela deve resultar em 10 V na entrada de um conversor analógico-digital. Encontre o ganho do amplificador G.

V_s = 10 VGF = 2,12ε_max = 400 µεV_FS = 10 V

G =

3.Aquisição de dados e amostragemMédia

Encontre a relação sinal-ruído de quantização ideal SQNR de um ADC de 10 bits para uma senoide de fundo de escala.

N = 10

SQNR = dB

4.Aquisição de dados e amostragemDifícil

Um ADC de 10 bits transmite cada amostra por uma UART a 230400 baud, formato 8N1 (bit de início, 8 bits de dados, 1 bit de parada). Cada amostra é enviada como 2 byte(s) inteiro(s) e o enlace fica ocupado o tempo todo. Encontre a maior frequência de sinal f_max que pode ser amostrada sem aliasing, em Hz.

baud = 230400 BdN = 108N1

f_max = Hz

5.Circuitos com amplificadores operacionaisMédia

O amplificador operacional é ideal e alimentado com ±15 V. Encontre a tensão de saída V_out.

V_in = 0,1 VR₁ = 1 kΩR_f = 2 kΩ

V_out = V

6.Circuitos com amplificadores operacionaisDifícil

Dois estágios com amplificador operacional ideal estão ligados em cascata: um amplificador inversor (R₁, R_f1) seguido de um amplificador não inversor (R₂ para o terra, R_f2 na realimentação). Os dois são alimentados com ±15 V. A entrada é V_in = 0,25 V. Encontre a tensão de saída V_out.

R₁ = 10 kΩR_f1 = 10 kΩR₂ = 4,7 kΩR_f2 = 47 kΩV_in = 0,25 V

V_out = V

7.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 6 VR₁ = 2 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 12 Ω

I_R1 = A

8.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 24 VR₁ = 8 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 30 Ω

R_eq = Ω

9.Thévenin e NortonMédia

Encontre a corrente de Norton I_N: a corrente que flui de a para b se os terminais forem curto-circuitados.

V₁ = 10 VR₁ = 4 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 6 Ω

I_N = A

10.Thévenin e NortonDifícil

Encontre a corrente de Norton I_N: a corrente que flui de a para b se os terminais forem curto-circuitados.

V₁ = 12 VI_s = 3 AR₁ = 3 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 15 Ω

I_N = A

3Soluções

1.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: ΔR = 17,6 Ω

Ponte de Wheatstone: dois divisores de tensão compartilham uma mesma alimentação V_s. O divisor da esquerda R₁–R₂ dá V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂) e o divisor da direita R₃–R₄ dá V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); a saída é V_ab = V_a − V_b. A ponte está equilibrada (V_ab = 0, sem corrente no medidor) quando R₁/R₂ = R₃/R₄, isto é, R₁·R₄ = R₂·R₃. Vista da saída, a ponte é uma fonte de Thévenin com R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Tensão do nó

V_a = 5 + 0,1923 = 5,192 V

Resolva o divisor

R₂ = 220·5,192/(10 − 5,192) = 237,6 Ω

ΔR = 237,6 − 220 = 17,6 Ω

Resposta

ΔR = 17,6 Ω

2.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: G = 4717

Extensômetros: um extensômetro altera sua resistência com a deformação: ΔR/R = GF·ε, onde o fator do extensômetro GF é cerca de 2 para folha metálica. Em uma ponte com todos os braços iguais a R, um extensômetro ativo (um quarto de ponte) dá V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Dois extensômetros ativos com deformações opostas em braços adjacentes (meia ponte) dão V_s·GF·ε/2, e quatro (ponte completa) dão V_s·GF·ε. A tensão mecânica segue da lei de Hooke, σ = E·ε. As células de carga indicam sua sensibilidade em mV/V: a saída a plena carga por volt de excitação.

Saída da ponte em fundo de escala

V_o = 2,12 mV

Ganho

G = 10/0,00212 = 4717

Resposta

G = 4717

3.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: SQNR = 61,96 dB

Resolução do ADC: um conversor de N bits divide sua faixa de fundo de escala V_FSR em 2ᴺ códigos, de 0 a 2ᴺ − 1. Um passo é 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: a menor variação que o conversor consegue mostrar. Um ADC com truncamento dá o código ⌊V_in/LSB⌋; um ADC com arredondamento nunca fica a mais de ½ LSB do valor verdadeiro, seu erro de quantização. Cada bit a mais reduz o LSB à metade e acrescenta cerca de 6 dB à relação sinal-ruído de quantização ideal SQNR = 6,02·N + 1,76 dB para uma senoide de fundo de escala. Para alcançar uma resolução r em uma faixa, escolha o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/r.

SQNR ideal

SQNR = 6,02·10 + 1,76 = 61,96 dB

Resposta

SQNR = 61,96 dB

4.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: f_max = 5760 Hz

UART: um enlace serial assíncrono envia cada byte como um quadro: um bit de início (baixo), os bits de dados, um bit de paridade opcional e um ou dois bits de parada (alto). A taxa de baud é o número de bits por segundo, então um bit dura T_b = 1/baud e um quadro de n bits dura n/baud. O formato comum 8N1 tem 10 bits por byte. O gerador de baud divide o clock: baud = f_clk/(16·D) com um número inteiro D, então a taxa de baud real difere um pouco da desejada; um erro abaixo de cerca de 2 % costuma ser aceitável.

Bits por amostra na linha

2·10 = 20 bit

Maior taxa de amostragem

f_s,max = 230400/20 = 11520 Hz

Limite de Nyquist

f_max = 11520/2 = 5760 Hz

Resposta

f_max = 5760 Hz

5.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: V_out = 0,3 V

Regras do amplificador operacional ideal: com realimentação negativa, o amplificador ajusta sua saída para que as duas entradas fiquem na mesma tensão (V₋ = V₊), e nenhuma corrente entra em qualquer entrada. Escrever a LKC na entrada inversora com esses dois fatos dá a saída.

A entrada inversora segue a entrada

V₋ = V₊ = 0,1 V

I = V₋/R₁ = 0,1/1 = 0,1 mA

Tensão de saída

A corrente em R₁ também passa por R_f.

V_out = V₋ + I·R_f = 0,1 + 0,1·2 = 0,3 V

Resposta

V_out = 0,3 V

6.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: V_out = −2,75 V

Ganho de cada estágio

A₁ = −R_f1/R₁ = −10/10 = −1

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 47/4,7 = 11

Estágio por estágio

V₁ = −1·0,25 = −0,25 V

V_out = 11·(−0,25) = −2,75 V

Resposta

V_out = −2,75 V

7.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 1,114 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 10 + 12 = 22 Ω

R₂ ∥ 22 = 4·22/(4+22) = 3,385 Ω

R_eq = R₁ + 3,385 = 2 + 3,385 = 5,385 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/5,385 = 1,114 A

Resposta

I_R1 = 1,114 A

8.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 13,9 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 25 + 30 = 55 Ω

R₄ ∥ 55 = 3,729 Ω

R₃ + 3,729 = 7,729 Ω

R₂ ∥ 7,729 = 5,904 Ω

R_eq = R₁ + 5,904 = 8 + 5,904 = 13,9 Ω

Resposta

R_eq = 13,9 Ω

9.Thévenin e Norton

Resposta: I_N = 0,7692 A

Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão V_th em série com uma resistência R_th. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente I_N = V_th/R_th em paralelo com R_th.

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R₁ ∥ R₂ = 4·8/(4+8) = 2,667 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,667 + 6 = 8,667 Ω

Encontre V_th, a tensão de circuito aberto

Com a–b aberto, não passa corrente por R₃, então não há queda nele e V_b = V_A. R₁ e R₂ formam um divisor de tensão.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 10·8/(4+8) = 6,667 V

Equivalente de Norton

Uma fonte de Norton é o mesmo circuito visto como uma fonte de corrente em paralelo com R_th. Sua corrente é a corrente de curto-circuito em a–b.

I_N = V_th/R_th = 6,667/8,667 = 0,7692 A

10.Thévenin e Norton

Resposta: I_N = 3,41 A

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R₁ ∥ R₂ = 3·4/(3+4) = 1,714 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,714 + 15 = 16,71 Ω

Encontre V_th, a tensão de circuito aberto

Com a–b aberto, o único caminho para Iₛ é por R₃ até o nó A. Encontre V_A por superposição de V₁ e Iₛ, depois some a queda em R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 6,857 + 3·1,714 = 12 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 12 + 3·15 = 57 V

Equivalente de Norton

Uma fonte de Norton é o mesmo circuito visto como uma fonte de corrente em paralelo com R_th. Sua corrente é a corrente de curto-circuito em a–b.

I_N = V_th/R_th = 57/16,71 = 3,41 A

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1Fórmulas e métodos

Ponte de Wheatstone e extensômetros

Método

Aquisição de dados e amostragem

Método

Circuitos com amplificadores operacionais

Resistores em série e paralelo

Método

Thévenin e Norton

Método

2Exercícios

3Soluções

Tensão do nó

Resolva o divisor

Resposta

Saída da ponte em fundo de escala

Ganho

Resposta

SQNR ideal

Resposta

Bits por amostra na linha

Maior taxa de amostragem

Limite de Nyquist

Resposta

A entrada inversora segue a entrada

Tensão de saída

Resposta

Ganho de cada estágio

Estágio por estágio

Resposta

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Corrente da fonte

Resposta

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Resposta

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Encontre Vth, a tensão de circuito aberto

Equivalente de Norton

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Encontre Vth, a tensão de circuito aberto

Equivalente de Norton

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Encontre V_th, a tensão de circuito aberto

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Encontre V_th, a tensão de circuito aberto