Medição e Instrumentação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Ponte de Wheatstone e extensômetros

Tensões dos divisores: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Saídas: V_ab = V_a − V_b
Balanço: R₁/R₂ = R₃/R₄
Ponte de fio: R/R_x = l/(100 − l)
Resistência de Thévenin: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Fator do extensômetro: ΔR/R = GF·ε
Saída da ponte: quarto V_s·GF·ε/4, meia V_s·GF·ε/2, completa V_s·GF·ε
Pequena variação, um braço: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Tensão: σ = E·ε

Método

Trate a ponte como dois divisores de tensão sobre a mesma alimentação.
Para o equilíbrio, faça R₁/R₂ = R₃/R₄ e resolva para o resistor desconhecido.
Para uma ponte desequilibrada, encontre V_a e V_b a partir dos divisores e subtraia; use o equivalente de Thévenin quando um medidor carrega a saída.
Para extensômetros, converta a deformação em ΔR/R = GF·ε e use V_s·GF·ε/4, /2 ou ×1 para um quarto, meia ponte ou ponte completa.

Aquisição de dados e amostragem

Critério de Nyquist: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Frequência de aliasing: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Tamanho do passo: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Erro de quantização (arredondamento): ±½ LSB
Código do ADC com truncamento: D = ⌊V_in/LSB⌋
Bits para uma resolução r: 2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideal, senoide de fundo de escala: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Taxa de dados: canais × f_s × N bit/s
ADC multiplexado: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bits por byte; bytes/s = baud/bits por quadro
Divisor da taxa de baud: baud = f_clk/(16·D)

Método

Anote o que é dado: taxa de amostragem, frequências do sinal, número de bits, faixa de entrada, taxa de baud.
Em questões de amostragem, compare cada frequência com f_s/2; uma frequência mais alta aparece em f_a = |f − k·f_s|, com o múltiplo de f_s mais próximo.
Em questões de resolução, determine 1 LSB = V_FSR/2ᴺ ou o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/resolução.
Para taxas de dados e enlaces UART, conte tudo o que é enviado: canais, amostras por segundo, bits ou bytes inteiros por amostra e os bits de início, de paridade e de parada de cada quadro.

Circuitos com amplificadores operacionais

Amplificador inversor: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Amplificador não inversor: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Amplificador somador: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Amplificador operacional ideal: V₊ = V₋, I_in = 0

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Thévenin e Norton

Tensão de Thévenin: V_th = V_{open circuit}
Resistência de Thévenin: R_th: todas as fontes desligadas, vista de a–b
Corrente de Norton: I_N = V_th/R_th
Corrente na carga: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Máxima transferência de potência: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Método

Retire a carga e marque os dois terminais a e b.
Encontre a tensão de circuito aberto entre a e b: essa é V_th.
Desligue todas as fontes independentes e encontre a resistência vista de a–b: essa é R_th.
Recoloque a carga no circuito equivalente: V_th em série com R_th.
Para o equivalente de Norton, converta: I_N = V_th/R_th, com R_N = R_th em paralelo.

2Exercícios

1.Ponte de Wheatstone e extensômetrosMédia

Uma ponte tem quatro braços de 100 Ω e V_s = 10 V. O sensor R₂ aumenta de ΔR = 25 Ω. Encontre a saída exata V_ab em mV.

V_s = 10 VR = 100 ΩΔR = 25 Ω

V_ab = mV

2.Ponte de Wheatstone e extensômetrosDifícil

Um extensômetro (GF = 2) em um elemento com E = 110 GPa forma um quarto de ponte excitado com 2,5 V. A saída marca 1,875 mV. Encontre a tensão mecânica axial σ em MPa.

V_s = 2,5 VGF = 2V_o = 1,875 mVE = 110 GPa

σ = MPa

3.Aquisição de dados e amostragemMédia

Uma UART envia bytes a 1200 baud no formato 8E1: 8 bits de dados, um bit de paridade par e 1 bit(s) de parada, além do bit de início. Encontre o maior número de bytes de dados por segundo que ela consegue transferir.

baud = 1200 Bd8E1

R_B = B/s

4.Aquisição de dados e amostragemDifícil

Um multiplexador de 2 canais alimenta um único ADC. Cada conversão leva 4 µs e, após cada troca de canal, a entrada precisa de 5 µs para se estabilizar. Os canais são varridos em sequência, sem pausa. Encontre a taxa de amostragem f_s de cada canal, em kHz.

n = 2t_c = 4 µst_set = 5 µs

f_s = kHz

5.Circuitos com amplificadores operacionaisMédia

O amplificador operacional é ideal e alimentado com ±15 V; sua saída satura em ±13 V. O amplificador inversor é alimentado por uma onda senoidal. Encontre a maior amplitude de entrada V_in,max (valor de pico) para a qual a saída não é ceifada.

R₁ = 1 kΩR_f = 47 kΩV_sat = ±13 V

V_in,max = V

6.Circuitos com amplificadores operacionaisDifícil

O amplificador operacional é ideal e alimentado com ±15 V. As razões dos resistores não estão casadas. Encontre a tensão de saída V_out.

V₁ = 0,6 VV₂ = −1,9 VR₁ = 4,7 kΩR₂ = 10 kΩR₃ = 22 kΩR₄ = 4,7 kΩ

V_out = V

7.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 15 VR₁ = 15 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 8 Ω

I_R1 = A

8.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 9 VR₁ = 20 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 12 Ω

I_R2 = A

9.Thévenin e NortonMédia

Encontre a tensão de Thévenin V_th vista dos terminais a–b.

V₁ = 15 VR₁ = 6 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 8 Ω

V_th = V

10.Thévenin e NortonDifícil

Uma carga R_L = 3 Ω é ligada entre a–b. Substitua o resto do circuito pelo seu equivalente de Thévenin e encontre a corrente na carga I_L.

V₁ = 5 VI_s = 0,5 AR₁ = 20 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 12 ΩR_L = 3 Ω

I_L = A

3Soluções

1.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: V_ab = 555,6 mV

Ponte de Wheatstone: dois divisores de tensão compartilham uma mesma alimentação V_s. O divisor da esquerda R₁–R₂ dá V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂) e o divisor da direita R₃–R₄ dá V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); a saída é V_ab = V_a − V_b. A ponte está equilibrada (V_ab = 0, sem corrente no medidor) quando R₁/R₂ = R₃/R₄, isto é, R₁·R₄ = R₂·R₃. Vista da saída, a ponte é uma fonte de Thévenin com R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Tensões dos nós

V_a = 10·125/225 = 5,556 V

V_b = 5 V

Saídas

V_ab = 555,6 mV

Resposta

V_ab = 555,6 mV

A estimativa linear V_s·ΔR/(4R) = 625 mV está 12,5 % alta demais: um quarto de ponte não é perfeitamente linear.

2.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: σ = 165 MPa

Extensômetros: um extensômetro altera sua resistência com a deformação: ΔR/R = GF·ε, onde o fator do extensômetro GF é cerca de 2 para folha metálica. Em uma ponte com todos os braços iguais a R, um extensômetro ativo (um quarto de ponte) dá V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Dois extensômetros ativos com deformações opostas em braços adjacentes (meia ponte) dão V_s·GF·ε/2, e quatro (ponte completa) dão V_s·GF·ε. A tensão mecânica segue da lei de Hooke, σ = E·ε. As células de carga indicam sua sensibilidade em mV/V: a saída a plena carga por volt de excitação.

Deformação

ε = 4·0,001875/(2,5·2) = 0,0015

Tensão

σ = 110·10³ MPa·0,0015 = 165 MPa

Resposta

σ = 165 MPa

3.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: R_B = 109,1 B/s

UART: um enlace serial assíncrono envia cada byte como um quadro: um bit de início (baixo), os bits de dados, um bit de paridade opcional e um ou dois bits de parada (alto). A taxa de baud é o número de bits por segundo, então um bit dura T_b = 1/baud e um quadro de n bits dura n/baud. O formato comum 8N1 tem 10 bits por byte. O gerador de baud divide o clock: baud = f_clk/(16·D) com um número inteiro D, então a taxa de baud real difere um pouco da desejada; um erro abaixo de cerca de 2 % costuma ser aceitável.

Bits por quadro

1 + 8 + 1 + 1 = 11

Taxa de bytes

1200/11 = 109,1 B/s

Resposta

R_B = 109,1 B/s

4.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: f_s = 55,56 kHz

Taxas de dados: cada canal fornece f_s amostras por segundo de N bits, então a taxa bruta é canais × f_s × N bit/s. Na memória, uma amostra ocupa bytes inteiros (uma amostra de 12 bits é armazenada em 2 bytes), então a memória para uma gravação é canais × f_s × bytes por amostra × tempo. Um ADC multiplexado converte os canais um após o outro: cada conversão (com o tempo de estabilização) leva t, então uma rodada de n canais leva n·t e cada canal é amostrado a 1/(n·t).

Tempo por canal

4 + 5 = 9 µs

Tempo por varredura

2·9 = 18 µs

Taxa de amostragem por canal

f_s = 1/18 µs = 55,56 kHz

Resposta

f_s = 55,56 kHz

5.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: V_in,max = 0,2766 V

Regras do amplificador operacional ideal: com realimentação negativa, o amplificador ajusta sua saída para que as duas entradas fiquem na mesma tensão (V₋ = V₊), e nenhuma corrente entra em qualquer entrada. Escrever a LKC na entrada inversora com esses dois fatos dá a saída.

Ganho

|A_v| = R_f/R₁ = 47/1 = 47

Maior entrada antes do ceifamento

V_in,max = V_sat/|A_v| = 13/47 = 0,2766 V

Resposta

V_in,max = 0,2766 V

6.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: V_out = −2,323 V

Tensão na entrada +

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = −1,9·4,7/(22 + 4,7) = −0,3345 V

Superponha as duas entradas

Com V₂ = 0, V₁ vê um amplificador inversor. Com V₁ = 0, V₊ é amplificada pelo ganho não inversor 1 + R₂/R₁.

V_out = −(10/4,7)·0,6 + (1 + 10/4,7)·(−0,3345) = −1,277 + (−1,046) = −2,323 V

Resposta

V_out = −2,323 V

7.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 0,8282 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 6 + 8 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 4·14/(4+14) = 3,111 Ω

R_eq = R₁ + 3,111 = 15 + 3,111 = 18,11 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/18,11 = 0,8282 A

Resposta

I_R1 = 0,8282 A

8.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 0,1196 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 3 + 12 = 15 Ω

R₄ ∥ 15 = 3,75 Ω

R₃ + 3,75 = 23,75 Ω

R₂ ∥ 23,75 = 13,26 Ω

R_eq = R₁ + 13,26 = 20 + 13,26 = 33,26 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/33,26 = 0,2706 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0,2706·20 = 3,587 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3,587/30 = 0,1196 A

Resposta

I_R2 = 0,1196 A

9.Thévenin e Norton

Resposta: V_th = 5 V

Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão V_th em série com uma resistência R_th. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente I_N = V_th/R_th em paralelo com R_th.

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R₁ ∥ R₂ = 6·3/(6+3) = 2 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2 + 8 = 10 Ω

Encontre V_th, a tensão de circuito aberto

Com a–b aberto, não passa corrente por R₃, então não há queda nele e V_b = V_A. R₁ e R₂ formam um divisor de tensão.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 15·3/(6+3) = 5 V

10.Thévenin e Norton

Resposta: I_L = 0,4378 A

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R₁ ∥ R₂ = 20·2/(20+2) = 1,818 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,818 + 12 = 13,82 Ω

Encontre V_th, a tensão de circuito aberto

Com a–b aberto, o único caminho para Iₛ é por R₃ até o nó A. Encontre V_A por superposição de V₁ e Iₛ, depois some a queda em R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 0,4545 + 0,5·1,818 = 1,364 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 1,364 + 0,5·12 = 7,364 V

Ligue a carga ao equivalente de Thévenin

A fonte de Thévenin e R_th em série se comportam exatamente como o circuito original em a–b, então a carga vê uma malha simples em série.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 7,364/(13,82 + 3) = 0,4378 A

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1Fórmulas e métodos

Ponte de Wheatstone e extensômetros

Método

Aquisição de dados e amostragem

Método

Circuitos com amplificadores operacionais

Resistores em série e paralelo

Método

Thévenin e Norton

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Tensões dos nós

Saídas

Resposta

Deformação

Tensão

Resposta

Bits por quadro

Taxa de bytes

Resposta

Tempo por canal

Tempo por varredura

Taxa de amostragem por canal

Resposta

Ganho

Maior entrada antes do ceifamento

Resposta

Tensão na entrada +

Superponha as duas entradas

Resposta

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Corrente da fonte

Resposta

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Corrente da fonte

Corrente em R₂

Resposta

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Encontre Vth, a tensão de circuito aberto

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Encontre Vth, a tensão de circuito aberto

Ligue a carga ao equivalente de Thévenin

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Encontre V_th, a tensão de circuito aberto

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Encontre V_th, a tensão de circuito aberto