Medição e Instrumentação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Ponte de Wheatstone e extensômetros

Tensões dos divisores
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
Saídas
Vab = Va − Vb
Balanço
R1/R2 = R3/R4
Ponte de fio
R/Rx = l/(100 − l)
Resistência de Thévenin
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
Fator do extensômetro
ΔR/R = GF·ε
Saída da ponte
quarto Vs·GF·ε/4, meia Vs·GF·ε/2, completa Vs·GF·ε
Pequena variação, um braço
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
Tensão
σ = E·ε

Método

  1. Trate a ponte como dois divisores de tensão sobre a mesma alimentação.
  2. Para o equilíbrio, faça R₁/R₂ = R₃/R₄ e resolva para o resistor desconhecido.
  3. Para uma ponte desequilibrada, encontre Va e Vb a partir dos divisores e subtraia; use o equivalente de Thévenin quando um medidor carrega a saída.
  4. Para extensômetros, converta a deformação em ΔR/R = GF·ε e use Vs·GF·ε/4, /2 ou ×1 para um quarto, meia ponte ou ponte completa.

Aquisição de dados e amostragem

Critério de Nyquist
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Frequência de aliasing
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Tamanho do passo
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Erro de quantização (arredondamento)
±½ LSB
Código do ADC com truncamento
D = ⌊Vin/LSB⌋
Bits para uma resolução r
2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideal, senoide de fundo de escala
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Taxa de dados
canais × fs × N bit/s
ADC multiplexado
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 10 bits por byte; bytes/s = baud/bits por quadro
Divisor da taxa de baud
baud = fclk/(16·D)

Método

  1. Anote o que é dado: taxa de amostragem, frequências do sinal, número de bits, faixa de entrada, taxa de baud.
  2. Em questões de amostragem, compare cada frequência com fs/2; uma frequência mais alta aparece em fa = |f − k·fs|, com o múltiplo de fs mais próximo.
  3. Em questões de resolução, determine 1 LSB = VFSR/2ᴺ ou o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/resolução.
  4. Para taxas de dados e enlaces UART, conte tudo o que é enviado: canais, amostras por segundo, bits ou bytes inteiros por amostra e os bits de início, de paridade e de parada de cada quadro.

Circuitos com amplificadores operacionais

Amplificador inversor
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Amplificador não inversor
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Amplificador somador
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Amplificador operacional ideal
V+ = V−, Iin = 0

Resistores em série e paralelo

Resistências em série
Req = R1 + R2 + …
Resistências em paralelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dois em paralelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Lei de Ohm
V = I·R
Potência
P = V·I = I²R = V²/R

Método

  1. Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
  2. Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Redesenhe o circuito após cada passo.
  4. Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Thévenin e Norton

Tensão de Thévenin
Vth = Vopen circuit
Resistência de Thévenin
Rth: todas as fontes desligadas, vista de a–b
Corrente de Norton
IN = Vth/Rth
Corrente na carga
IL = Vth/(Rth + RL)
Máxima transferência de potência
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Método

  1. Retire a carga e marque os dois terminais a e b.
  2. Encontre a tensão de circuito aberto entre a e b: essa é Vth.
  3. Desligue todas as fontes independentes e encontre a resistência vista de a–b: essa é Rth.
  4. Recoloque a carga no circuito equivalente: Vth em série com Rth.
  5. Para o equivalente de Norton, converta: IN = Vth/Rth, com RN = Rth em paralelo.

2Exercícios

1.Ponte de Wheatstone e extensômetrosMédia
+−10 V100 Ω100 Ω100 Ω100 Ωab+−

Um extensômetro de 100 Ω é um braço (R₂) de uma ponte com quatro braços iguais de 100 Ω e uma excitação de 10 V. Encontre a potência Pg dissipada no extensômetro, em mW. O autoaquecimento limita a excitação.

Vs = 10 VR = 100 Ω
Pg = mW
2.Ponte de Wheatstone e extensômetrosDifícil
+−2,5 V120 Ω120 Ω + ΔR120 Ω120 Ωab+−Vo​

Um quarto de ponte (um extensômetro ativo, GF = 2,1) é excitado com 2,5 V. A maior deformação a ser medida é 500 µε, e ela deve resultar em 5 V na entrada de um conversor analógico-digital. Encontre o ganho do amplificador G.

Vs = 2,5 VGF = 2,1εmax = 500 µεVFS = 5 V
G =
3.Aquisição de dados e amostragemMédia
Vin​N = 14VFSR​2ᴺ − 101 LSB

Encontre a relação sinal-ruído de quantização ideal SQNR de um ADC de 14 bits para uma senoide de fundo de escala.

N = 14
SQNR = dB
4.Aquisição de dados e amostragemDifícil
SD0​D1​D2​D3​D4​D5​D6​D7​1/fbaud​4 MHz / (16·D)

Um microcontrolador com clock de 4 MHz define sua taxa de baud da UART como fclk/(16·D), com D um número inteiro arredondado para o valor mais próximo. O alvo é 4800 baud. Encontre o erro percentual da taxa de baud real (positivo quando ela é rápida demais).

fclk = 4 MHzalvo = 4800 Bd
e = %
5.Circuitos com amplificadores operacionaisMédia
−+Vout​R2​ = 22 kΩV1​ = 1,2 VR1​ = 47 kΩV2​ = 2,6 VR3​ = 47 kΩR4​ = 22 kΩ

O amplificador diferencial usa um amplificador operacional ideal alimentado com ±15 V, com R3 = R1 e R4 = R2. Encontre a tensão de saída Vout.

V1 = 1,2 VV2 = 2,6 VR1 = R3 = 47 kΩR2 = R4 = 22 kΩ
Vout = V
6.Circuitos com amplificadores operacionaisDifícil
−+Vout​Rf​ = 22 kΩV1​ = −1,4 VR1​ = 47 kΩV2​ = −0,9 VR2​ = 100 kΩ

O amplificador somador usa um amplificador operacional ideal alimentado com ±15 V. Encontre a tensão de saída Vout.

V1 = −1,4 VV2 = −0,9 VR1 = 47 kΩR2 = 100 kΩRf = 22 kΩ
Vout = V
7.Resistores em série e paraleloMédia
R1​ = 15 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​9 VR2​4 ΩAR4​20 ΩB

Encontre a resistência equivalente Req vista pela fonte V1.

V1 = 9 VR1 = 15 ΩR2 = 4 ΩR3 = 6 ΩR4 = 20 Ω
Req = Ω
8.Resistores em série e paraleloDifícil
R1​ = 2 ΩR3​ = 10 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​18 VR2​6 ΩIR2​AR4​12 ΩBR6​15 Ω

Encontre a corrente IR2 em R2.

V1 = 18 VR1 = 2 ΩR2 = 6 ΩR3 = 10 ΩR4 = 12 ΩR5 = 6 ΩR6 = 15 Ω
IR2 = A
9.Thévenin e NortonMédia
R1​ = 8 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩAab

Encontre a corrente de Norton IN: a corrente que flui de a para b se os terminais forem curto-circuitados.

V1 = 6 VR1 = 8 ΩR2 = 6 ΩR3 = 10 Ω
IN = A
10.Thévenin e NortonDifícil
R1​ = 4 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​18 VR2​12 ΩAIs​2,5 ABab

Encontre a tensão de Thévenin Vth vista dos terminais a–b.

V1 = 18 VIs = 2,5 AR1 = 4 ΩR2 = 12 ΩR3 = 5 Ω
Vth = V

3Soluções

1.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: Pg = 250 mW

Ponte de Wheatstone: dois divisores de tensão compartilham uma mesma alimentação Vs. O divisor da esquerda R1–R2 dá Va = Vs·R2/(R1 + R2) e o divisor da direita R3–R4 dá Vb = Vs·R4/(R3 + R4); a saída é Vab = Va − Vb. A ponte está equilibrada (Vab = 0, sem corrente no medidor) quando R1/R2 = R3/R4, isto é, R1·R4 = R2·R3. Vista da saída, a ponte é uma fonte de Thévenin com Rth = R1∥R2 + R3∥R4.

Tensão sobre o extensômetro

V = 10/2 = 5 V

Potência

Pg = 5²/100 = 250 mW

Resposta

Pg = 250 mW
2.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: G = 7619

Extensômetros: um extensômetro altera sua resistência com a deformação: ΔR/R = GF·ε, onde o fator do extensômetro GF é cerca de 2 para folha metálica. Em uma ponte com todos os braços iguais a R, um extensômetro ativo (um quarto de ponte) dá Vo ≈ Vs·GF·ε/4. Dois extensômetros ativos com deformações opostas em braços adjacentes (meia ponte) dão Vs·GF·ε/2, e quatro (ponte completa) dão Vs·GF·ε. A tensão mecânica segue da lei de Hooke, σ = E·ε. As células de carga indicam sua sensibilidade em mV/V: a saída a plena carga por volt de excitação.

Saída da ponte em fundo de escala

Vo = 0,6563 mV

Ganho

G = 5/0,0006563 = 7619

Resposta

G = 7619
3.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: SQNR = 86,04 dB

Resolução do ADC: um conversor de N bits divide sua faixa de fundo de escala VFSR em 2ᴺ códigos, de 0 a 2ᴺ − 1. Um passo é 1 LSB = VFSR/2ᴺ: a menor variação que o conversor consegue mostrar. Um ADC com truncamento dá o código ⌊Vin/LSB⌋; um ADC com arredondamento nunca fica a mais de ½ LSB do valor verdadeiro, seu erro de quantização. Cada bit a mais reduz o LSB à metade e acrescenta cerca de 6 dB à relação sinal-ruído de quantização ideal SQNR = 6,02·N + 1,76 dB para uma senoide de fundo de escala. Para alcançar uma resolução r em uma faixa, escolha o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/r.

SQNR ideal

SQNR = 6,02·14 + 1,76 = 86,04 dB

Resposta

SQNR = 86,04 dB
4.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: e = 0,1603 %

UART: um enlace serial assíncrono envia cada byte como um quadro: um bit de início (baixo), os bits de dados, um bit de paridade opcional e um ou dois bits de parada (alto). A taxa de baud é o número de bits por segundo, então um bit dura Tb = 1/baud e um quadro de n bits dura n/baud. O formato comum 8N1 tem 10 bits por byte. O gerador de baud divide o clock: baud = fclk/(16·D) com um número inteiro D, então a taxa de baud real difere um pouco da desejada; um erro abaixo de cerca de 2 % costuma ser aceitável.

Divisor

D = 4·10⁶/(16·4800) = 52,08 → 52

Taxa de baud real

4·10⁶/(16·52) = 4808 Bd

Erro

(4808 − 4800)/4800·100 = 0,1603 %

Resposta

e = 0,1603 %

Um erro abaixo de cerca de 2 % costuma ser aceitável.

5.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: Vout = 0,6553 V

Regras do amplificador operacional ideal: com realimentação negativa, o amplificador ajusta sua saída para que as duas entradas fiquem na mesma tensão (V₋ = V₊), e nenhuma corrente entra em qualquer entrada. Escrever a LKC na entrada inversora com esses dois fatos dá a saída.

Tensão nas entradas

R₃ e R₄ conduzem a mesma corrente, então formam um divisor de tensão; a realimentação faz V₋ = V₊.

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 2,6·22/(47 + 22) = 0,829 V
V₋ = V₊

LKC na entrada inversora

(1,2 − 0,829)/47 = (0,829 − Vout)/22
Vout = (R2/R1)·(V2 − V1) = (22/47)·(2,6 − 1,2) = 0,6553 V

Resposta

Vout = 0,6553 V
6.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: Vout = 0,8533 V

Regras do amplificador operacional ideal: com realimentação negativa, o amplificador ajusta sua saída para que as duas entradas fiquem na mesma tensão (V₋ = V₊), e nenhuma corrente entra em qualquer entrada. Escrever a LKC na entrada inversora com esses dois fatos dá a saída.

Correntes de entrada

V₋ = 0, então cada resistor de entrada tem toda a sua tensão de entrada sobre ele.

I1 = V1/R1 = −1,4/47 = −0,02979 mA
I2 = V2/R2 = −0,9/100 = −0,009 mA
If = I1 + I2 = −0,03879 mA

Tensão de saída

Vout = −Rf·If = −22·(−0,03879) = 0,8533 V

Resposta

Vout = 0,8533 V
7.Resistores em série e paralelo

Resposta: Req = 18,47 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

R1​ = 15 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​9 VR2​4 ΩAR4​20 ΩB

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R3 + R4 = 6 + 20 = 26 Ω
R2 ∥ 26 = 4·26/(4+26) = 3,467 Ω
Req = R1 + 3,467 = 15 + 3,467 = 18,47 Ω

Resposta

Req = 18,47 Ω
8.Resistores em série e paralelo

Resposta: IR2 = 2,074 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

R1​ = 2 ΩR3​ = 10 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​18 VR2​6 ΩAR4​12 ΩBR6​15 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R5 + R6 = 6 + 15 = 21 Ω
R4 ∥ 21 = 7,636 Ω
R3 + 7,636 = 17,64 Ω
R2 ∥ 17,64 = 4,477 Ω
Req = R1 + 4,477 = 2 + 4,477 = 6,477 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só Req, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

IR1 = V1/Req = 18/6,477 = 2,779 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 18 − 2,779·2 = 12,44 V
IR2 = VA/R2 = 12,44/6 = 2,074 A

Resposta

IR2 = 2,074 A
9.Thévenin e Norton

Resposta: IN = 0,1915 A

Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão Vth em série com uma resistência Rth. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente IN = Vth/Rth em paralelo com Rth.

R1​ = 8 ΩR3​ = 10 ΩCURTOR2​6 ΩAabRth​

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R1 ∥ R2 = 8·6/(8+6) = 3,429 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,429 + 10 = 13,43 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩAab+−Vth​

Encontre Vth, a tensão de circuito aberto

Com a–b aberto, não passa corrente por R₃, então não há queda nele e V_b = V_A. R₁ e R₂ formam um divisor de tensão.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 6·6/(8+6) = 2,571 V
IN​0,1915 ARth​13,43 Ωab

Equivalente de Norton

Uma fonte de Norton é o mesmo circuito visto como uma fonte de corrente em paralelo com R_th. Sua corrente é a corrente de curto-circuito em a–b.

IN = Vth/Rth = 2,571/13,43 = 0,1915 A
10.Thévenin e Norton

Resposta: Vth = 33,5 V

Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão Vth em série com uma resistência Rth. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente IN = Vth/Rth em paralelo com Rth.

R1​ = 4 ΩR3​ = 5 ΩCURTOR2​12 ΩAABERTOBabRth​

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R1 ∥ R2 = 4·12/(4+12) = 3 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3 + 5 = 8 Ω
R1​ = 4 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​18 VR2​12 ΩAIs​2,5 ABab+−Vth​

Encontre Vth, a tensão de circuito aberto

Com a–b aberto, o único caminho para Iₛ é por R₃ até o nó A. Encontre V_A por superposição de V₁ e Iₛ, depois some a queda em R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 13,5 + 2,5·3 = 21 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 21 + 2,5·5 = 33,5 V

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