Medição e Instrumentação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercícios Voltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Ponte de Wheatstone e extensômetros

Tensões dos divisores: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Saídas: V_ab = V_a − V_b
Balanço: R₁/R₂ = R₃/R₄
Ponte de fio: R/R_x = l/(100 − l)
Resistência de Thévenin: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Fator do extensômetro: ΔR/R = GF·ε
Saída da ponte: quarto V_s·GF·ε/4, meia V_s·GF·ε/2, completa V_s·GF·ε
Pequena variação, um braço: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Tensão: σ = E·ε

Método

Trate a ponte como dois divisores de tensão sobre a mesma alimentação.
Para o equilíbrio, faça R₁/R₂ = R₃/R₄ e resolva para o resistor desconhecido.
Para uma ponte desequilibrada, encontre V_a e V_b a partir dos divisores e subtraia; use o equivalente de Thévenin quando um medidor carrega a saída.
Para extensômetros, converta a deformação em ΔR/R = GF·ε e use V_s·GF·ε/4, /2 ou ×1 para um quarto, meia ponte ou ponte completa.

Aquisição de dados e amostragem

Critério de Nyquist: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Frequência de aliasing: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Tamanho do passo: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Erro de quantização (arredondamento): ±½ LSB
Código do ADC com truncamento: D = ⌊V_in/LSB⌋
Bits para uma resolução r: 2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideal, senoide de fundo de escala: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Taxa de dados: canais × f_s × N bit/s
ADC multiplexado: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bits por byte; bytes/s = baud/bits por quadro
Divisor da taxa de baud: baud = f_clk/(16·D)

Método

Anote o que é dado: taxa de amostragem, frequências do sinal, número de bits, faixa de entrada, taxa de baud.
Em questões de amostragem, compare cada frequência com f_s/2; uma frequência mais alta aparece em f_a = |f − k·f_s|, com o múltiplo de f_s mais próximo.
Em questões de resolução, determine 1 LSB = V_FSR/2ᴺ ou o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/resolução.
Para taxas de dados e enlaces UART, conte tudo o que é enviado: canais, amostras por segundo, bits ou bytes inteiros por amostra e os bits de início, de paridade e de parada de cada quadro.

Circuitos com amplificadores operacionais

Amplificador inversor: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Amplificador não inversor: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Amplificador somador: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Amplificador operacional ideal: V₊ = V₋, I_in = 0

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Thévenin e Norton

Tensão de Thévenin: V_th = V_{open circuit}
Resistência de Thévenin: R_th: todas as fontes desligadas, vista de a–b
Corrente de Norton: I_N = V_th/R_th
Corrente na carga: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Máxima transferência de potência: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Método

Retire a carga e marque os dois terminais a e b.
Encontre a tensão de circuito aberto entre a e b: essa é V_th.
Desligue todas as fontes independentes e encontre a resistência vista de a–b: essa é R_th.
Recoloque a carga no circuito equivalente: V_th em série com R_th.
Para o equivalente de Norton, converta: I_N = V_th/R_th, com R_N = R_th em paralelo.

2Exercícios

1.Ponte de Wheatstone e extensômetrosMédia

Uma ponte tem quatro braços de 300 Ω e V_s = 10 V. O sensor R₂ aumenta de ΔR = 15 Ω. Encontre a saída exata V_ab em mV.

V_s = 10 VR = 300 ΩΔR = 15 Ω

V_ab = mV

2.Ponte de Wheatstone e extensômetrosDifícil

Uma ponte com braços de 120 Ω é excitada com 10 V e tem um extensômetro ativo (um quarto de ponte). O fator do extensômetro é 2 e a deformação é 500 µε. Encontre a saída da ponte V_o em mV.

V_s = 10 VGF = 2ε = 500 µε

V_o = mV

3.Aquisição de dados e amostragemMédia

Um ADC de 10 bits com faixa de entrada de 0 a 5 V trunca: seu código de saída é ⌊V_in/LSB⌋ com 1 LSB = V_FSR/2ᴺ. Encontre o código de saída decimal D para uma entrada de 0,802 V.

N = 10V_FSR = 5 VV_in = 0,802 V

D =

4.Aquisição de dados e amostragemDifícil

Uma medição de áudio exige uma relação sinal-ruído de quantização ideal de pelo menos 85 dB para uma senoide de fundo de escala. Encontre o menor número de bits N do ADC.

SQNR ≥ 85 dB

N =

5.Circuitos com amplificadores operacionaisMédia

O amplificador operacional é ideal e alimentado com ±15 V. Encontre a tensão de saída V_out.

V_in = 3 VR_a = 100 kΩR_b = 4,7 kΩR₁ = 22 kΩR_f = 47 kΩ

V_out = V

6.Circuitos com amplificadores operacionaisDifícil

O amplificador somador usa um amplificador operacional ideal alimentado com ±15 V. Encontre a corrente I_f no resistor de realimentação, fluindo em direção à saída.

V₁ = 1,9 VV₂ = −1,3 VR₁ = 10 kΩR₂ = 4,7 kΩR_f = 47 kΩ

I_f = mA

7.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 10 VR₁ = 2 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 4 Ω

I_R1 = A

8.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 6 VR₁ = 8 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 30 Ω

I_R1 = A

9.Thévenin e NortonMédia

Encontre a resistência de Thévenin R_th vista dos terminais a–b.

V₁ = 18 VR₁ = 12 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 15 Ω

R_th = Ω

10.Thévenin e NortonDifícil

Uma carga R_L = 25 Ω é ligada entre a–b. Substitua o resto do circuito pelo seu equivalente de Thévenin e encontre a corrente na carga I_L.

V₁ = 36 VI_s = 3 AR₁ = 8 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 20 ΩR_L = 25 Ω

I_L = A

3Soluções

1.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: V_ab = 122 mV

Ponte de Wheatstone: dois divisores de tensão compartilham uma mesma alimentação V_s. O divisor da esquerda R₁–R₂ dá V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂) e o divisor da direita R₃–R₄ dá V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); a saída é V_ab = V_a − V_b. A ponte está equilibrada (V_ab = 0, sem corrente no medidor) quando R₁/R₂ = R₃/R₄, isto é, R₁·R₄ = R₂·R₃. Vista da saída, a ponte é uma fonte de Thévenin com R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Tensões dos nós

V_a = 10·315/615 = 5,122 V

V_b = 5 V

Saídas

V_ab = 122 mV

Resposta

V_ab = 122 mV

A estimativa linear V_s·ΔR/(4R) = 125 mV está 2,5 % alta demais: um quarto de ponte não é perfeitamente linear.

2.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: V_o = 2,5 mV

Extensômetros: um extensômetro altera sua resistência com a deformação: ΔR/R = GF·ε, onde o fator do extensômetro GF é cerca de 2 para folha metálica. Em uma ponte com todos os braços iguais a R, um extensômetro ativo (um quarto de ponte) dá V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Dois extensômetros ativos com deformações opostas em braços adjacentes (meia ponte) dão V_s·GF·ε/2, e quatro (ponte completa) dão V_s·GF·ε. A tensão mecânica segue da lei de Hooke, σ = E·ε. As células de carga indicam sua sensibilidade em mV/V: a saída a plena carga por volt de excitação.

Variação relativa da resistência

ΔR/R = 2·500·10⁻⁶ = 0,001

Saída da ponte

V_o ≈ V_s·GF·ε/4 = 10·0,001/4 = 2,5 mV

Resposta

V_o = 2,5 mV

3.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: D = 164

Resolução do ADC: um conversor de N bits divide sua faixa de fundo de escala V_FSR em 2ᴺ códigos, de 0 a 2ᴺ − 1. Um passo é 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: a menor variação que o conversor consegue mostrar. Um ADC com truncamento dá o código ⌊V_in/LSB⌋; um ADC com arredondamento nunca fica a mais de ½ LSB do valor verdadeiro, seu erro de quantização. Cada bit a mais reduz o LSB à metade e acrescenta cerca de 6 dB à relação sinal-ruído de quantização ideal SQNR = 6,02·N + 1,76 dB para uma senoide de fundo de escala. Para alcançar uma resolução r em uma faixa, escolha o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/r.

Tamanho do passo

1 LSB = 5/2¹⁰ = 4,883 mV

Código

V_in/LSB = 802/4,883 = 164,2

código = ⌊164,2⌋ = 164

Resposta

D = 164

Em binário, isso é 0010100100.

4.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: N = 14

Resolva para N

N ≥ (85 − 1,76)/6,02 = 13,83

Arredondar para cima

N = 14

verificação: 6,02·14 + 1,76 = 86,04 dB ≥ 85 dB

Resposta

N = 14

5.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: V_out = 0,4224 V

Regras do amplificador operacional ideal: com realimentação negativa, o amplificador ajusta sua saída para que as duas entradas fiquem na mesma tensão (V₋ = V₊), e nenhuma corrente entra em qualquer entrada. Escrever a LKC na entrada inversora com esses dois fatos dá a saída.

Tensão na entrada +

V₊ = V_in·R_b/(R_a + R_b) = 3·4,7/(100 + 4,7) = 0,1347 V

Ganho não inversor

V₋ = V₊, e a corrente em R₁ também passa por R_f.

V_out = V₊·(1 + R_f/R₁) = 0,1347·(1 + 47/22) = 0,4224 V

Resposta

V_out = 0,4224 V

6.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: I_f = −0,0866 mA

Correntes de entrada

V₋ = 0, então cada resistor de entrada tem toda a sua tensão de entrada sobre ele.

I₁ = V₁/R₁ = 1,9/10 = 0,19 mA

I₂ = V₂/R₂ = −1,3/4,7 = −0,2766 mA

I_f = I₁ + I₂ = −0,0866 mA

Resposta

I_f = −0,0866 mA

7.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 1,4 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 5 + 4 = 9 Ω

R₂ ∥ 9 = 12·9/(12+9) = 5,143 Ω

R_eq = R₁ + 5,143 = 2 + 5,143 = 7,143 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/7,143 = 1,4 A

Resposta

I_R1 = 1,4 A

8.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 0,4245 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 5 + 30 = 35 Ω

R₄ ∥ 35 = 4,375 Ω

R₃ + 4,375 = 10,38 Ω

R₂ ∥ 10,38 = 6,133 Ω

R_eq = R₁ + 6,133 = 8 + 6,133 = 14,13 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/14,13 = 0,4245 A

Resposta

I_R1 = 0,4245 A

9.Thévenin e Norton

Resposta: R_th = 19 Ω

Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão V_th em série com uma resistência R_th. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente I_N = V_th/R_th em paralelo com R_th.

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R₁ ∥ R₂ = 12·6/(12+6) = 4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4 + 15 = 19 Ω

10.Thévenin e Norton

Resposta: I_L = 2,028 A

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R₁ ∥ R₂ = 8·20/(8+20) = 5,714 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 5,714 + 20 = 25,71 Ω

Encontre V_th, a tensão de circuito aberto

Com a–b aberto, o único caminho para Iₛ é por R₃ até o nó A. Encontre V_A por superposição de V₁ e Iₛ, depois some a queda em R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 25,71 + 3·5,714 = 42,86 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 42,86 + 3·20 = 102,9 V

Ligue a carga ao equivalente de Thévenin

A fonte de Thévenin e R_th em série se comportam exatamente como o circuito original em a–b, então a carga vê uma malha simples em série.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 102,9/(25,71 + 25) = 2,028 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation

Medição e Instrumentação: pacote de revisão

1Fórmulas e métodos

Ponte de Wheatstone e extensômetros

Método

Aquisição de dados e amostragem

Método

Circuitos com amplificadores operacionais

Resistores em série e paralelo

Método

Thévenin e Norton

Método

2Exercícios

3Soluções

Tensões dos nós

Saídas

Resposta

Variação relativa da resistência

Saída da ponte

Resposta

Tamanho do passo

Código

Resposta

Resolva para N

Arredondar para cima

Resposta

Tensão na entrada +

Ganho não inversor

Resposta

Correntes de entrada

Resposta

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Corrente da fonte

Resposta

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Corrente da fonte

Resposta

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Encontre Vth, a tensão de circuito aberto

Ligue a carga ao equivalente de Thévenin

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Encontre V_th, a tensão de circuito aberto