Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre a deformação axial ε na barra de alumínio, em microdeformação (µε = 10⁻⁶).

P = 75 kNd = 20 mmL = 2,5 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Tensão e deformação axialDifícil

Um trecho de aço (diâmetro 20 mm, comprimento 300 mm, E = 200 GPa) e um trecho de cobre (diâmetro 60 mm, comprimento 300 mm, E = 120 GPa) são unidos topo a topo e fixados entre duas paredes rígidas. Uma carga axial de 80 kN atua na junção, no sentido do trecho 2. Encontre o valor da tensão σ₂ no trecho 2.

trecho 1: aço, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPatrecho 2: cobre, Ø60 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de latão está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 400 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo vazado deve transmitir 50 kW a 3000 rpm. Seu diâmetro interno deve ser 0,8 vezes o diâmetro externo, e a tensão de cisalhamento não pode passar de 60 MPa. Encontre o menor diâmetro externo d_o.

P = 50 kWN = 3000 rpmd_i/d_o = 0,8τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 6,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 8 mw = 12 kN/m de 0 a 8 mx = 6,5 m

M_x = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 1,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 5 mP = 20 kN em 1,5 mw = 2 kN/m de 0 a 5 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Uma placa de 100 mm × 200 mm tem um furo circular de diâmetro 60 mm na sua linha de centro vertical, com o centro a 130 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 100 mmh = 200 mmd = 60 mmcentro do furo: y = 130 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 50 kN·m. Encontre a tensão de flexão σ_base na borda inferior.

b_f = 280 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 200 mmM = 50 kN·m

σ_base = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 110 MPa, σᵧ = −60 MPa e τₓᵧ = −20 MPa (tração positiva). Calcule o ângulo θ_p do eixo x até a direção da maior tensão principal, entre −90° e 90°.

σ_x = 110 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_p = °

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um tanque cilíndrico de parede fina com diâmetro interno de 500 mm e espessura de parede de 6 mm contém gás a uma pressão manométrica de 3 MPa. Ele é feito de chapa soldada ao longo de uma costura helicoidal a 20° do eixo do cilindro. Encontre a tensão normal σ_n que atua através da costura de solda.

D = 500 mmt = 6 mmp = 3 MPaα = 20°

σ_n = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento. Encontre a deflexão δ na extremidade livre.

w = 12 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (alumínio)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga de madeira simplesmente apoiada, de seção retangular com 50 mm de largura, suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Sua deflexão no meio do vão não pode passar de vão/250. Encontre a menor altura h_req da seção.

w = 2,5 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (madeira estrutural)b = 50 mm

h_req = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e articulado no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (aço)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e livre no topo. Ele deve suportar 115 kN com um fator de segurança de 2 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 115 kNn = 2L = 1 mE = 70 GPa (alumínio)

d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: ε = 3410 µε

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 75·1000/314,2 = 238,7 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for alumínio = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 238,7/70000 = 0,00341 = 3410 µε

Resposta

ε = 3410 µε

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ₂ = 23,87 MPa

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Rigidezes

k₁ = 200000·314,2/300 = 209440 N/mm

k₂ = 120000·2827/300 = 1,131 × 10⁶ N/mm

Fatia do trecho 2

F₂ = 80000·1,131 × 10⁶/1,34 × 10⁶ = 67500 N

Tensão

σ₂ = 67500/2827 = 23,87 MPa (compressão)

Resposta

σ₂ = 23,87 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 3,507 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1500/(39000·251327) = 0,06121 rad

φ = 0,06121·180/π = 3,507°

Resposta

φ = 3,507°

4.Torção de eixos

Resposta: d_o = 28,39 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 50000/314,2 = 159,2 N·m

Diâmetro externo pela tensão admissível

T = 159,2 N·m = 159155 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·159155/(π·60·0,5904)) = 28,39 mm

d_i = 0,8·28,39 = 22,71 mm

Resposta

d_o = 28,39 mm

Um eixo maciço precisaria de d = 23,82 mm; o vazado é um pouco maior, mas muito mais leve.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 58,5 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, atuando em x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 12·8·4

R_B = 384/8 = 48 kN

ΣF_y = 0: R_A = 96 − 48 = 48 kN

Corte em x = 6,5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 48·6,5 − 12·6,5·3,25 = 58,5 kN·m

Resposta

M_x = 58,5 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 26,25 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, atuando em x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 20·1,5 + 2·5·2,5

R_B = 55/5 = 11 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 11 = 19 kN

Corte em x = 1,5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 19·1,5 − 2·1,5·0,75 = 26,25 kN·m

Resposta

M_x = 26,25 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 63,07 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (20000·100 − 2827·130)/(20000 − 2827) = 95,06 mm

Placa inteira em torno de ȳ

100·200³/12 + 20000·4,939² = 67,15 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

π·60⁴/64 + 2827·34,94² = 4,088 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 63,07 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 63,07 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_base = 327,3 MPa

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 280·15 = 4200 mm², y_f = 200 + 15/2 = 207,5 mm

alma: A_w = 12·200 = 2400 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·207,5 + 2400·100)/6600 = 168,4 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 280·15³/12 + 4200·(207,5 − 168,4)² = 6,497 × 10⁶ mm⁴

alma: 12·200³/12 + 2400·(100 − 168,4)² = 1,923 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,497 × 10⁶ + 1,923 × 10⁷ = 2,573 × 10⁷ mm⁴

Tensão de flexão

A borda inferior está a ȳ do eixo.

y = 168,4 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·168,4/2,573 × 10⁷ = 327,3 MPa

Resposta

σ_base = 327,3 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: θ_p = −6,62 °

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Ângulo no círculo

No círculo de Mohr, o ponto x fica a um ângulo 2θp do eixo σ; o quadrante decorre dos sinais de σₓ − σᵧ e τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−20, 110 − −60) = −13,24°

Ângulo no elemento

θ_p = −6,62°

Resposta

θ_p = −6,62°

Ângulos positivos são no sentido anti-horário.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_n = 117,7 MPa

Tensões na parede

r = 500/2 = 250 mm

σ_h = pr/t = 3·250/6 = 125 MPa

σ_a = pr/(2t) = 62,5 MPa

Transforme para a costura

Tome x ao longo do eixo (σ_a) e y na direção circunferencial (σ_h). A normal da costura forma 90° − α com o eixo.

σ_n = 62,5·sin²20° + 125·cos²20° = 117,7 MPa

Resposta

σ_n = 117,7 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ = 14,91 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Deflexão

δ = wL⁴/(8EI) = 12·2000⁴/(8·1,61 × 10¹²) = 14,91 mm

Resposta

δ = 14,91 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: h_req = 196,7 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Limite de deflexão

δ_allow = L/250 = 3500/250 = 14 mm

Momento de inércia necessário

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2,5·3500⁴/(384·11000·14) = 3,172 × 10⁷ mm⁴

Altura necessária

bh³/12 = I_req → h = (12·3,172 × 10⁷/50)^1/3 = 196,7 mm

Resposta

h_req = 196,7 mm

Na prática, escolha a próxima altura padronizada acima desse valor.

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 34,33 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/4200² = 34331 N = 34,33 kN

Resposta

P_cr = 34,33 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 72,17 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 2·115000 = 230000 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·230000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 72,17 mm

Resposta

d = 72,17 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 110,8, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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