Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre o alongamento δ da barra de aço sob a carga axial.

P = 45 kNd = 10 mmL = 1,5 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre o alongamento total δ.

P = 100 kNtrecho 1: Ø30 mm, 1 m, aço (E = 200 GPa)trecho 2: Ø16 mm, 1,5 m, alumínio (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de aço com 2 m de comprimento suporta um torque de 500 N·m. O ângulo de torção entre suas extremidades não pode passar de 3°. Encontre o menor diâmetro d que atende a esse limite.

T = 500 N·mL = 2 mG = 80 GPaφ_allow = 3°

d = mm

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço deve transmitir 100 kW a 300 rpm sem que a tensão de cisalhamento passe de 75 MPa. Encontre o menor diâmetro d que funciona.

P = 100 kWN = 300 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o esforço cortante V_x na seção x = 7 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 8 mw = 10 kN/m de 0 a 8 mx = 7 m

V_x = kN

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão e uma carga concentrada P. Encontre o momento fletor máximo M_max na viga.

L = 4 mP = 65 kN em 3 mw = 8 kN/m de 0 a 4 m

M_max = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Um perfil I simétrico tem mesas de 170 mm de largura e 14 mm de espessura, altura total de 460 mm e alma de 6 mm de espessura. Encontre seu módulo de resistência elástico S_x para flexão em relação ao eixo centroidal horizontal x.

B = 170 mmH = 460 mmt_f = 14 mmt_w = 6 mm

S_x = × 10³ mm³

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Uma placa de 200 mm × 200 mm tem um recorte retangular de 60 mm de largura e 50 mm de altura, centrado na linha de centro vertical, com seu centro a 130 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 200 mmh = 200 mmrecorte: 60 × 50 mmcentro do furo: y = 130 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma placa fina está em estado plano de tensão: σₓ = 60 MPa, σᵧ = 60 MPa e τₓᵧ = −50 MPa, com σ_z = 0. Encontre a tensão de cisalhamento máxima absoluta τ_abs no ponto (considerando todos os planos em três dimensões).

σ_x = 60 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −50 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 30 MPa, σᵧ = 10 MPa e τₓᵧ = −40 MPa (tração positiva). Calcule a tensão normal σ_θ em um plano cuja normal está girada 20° no sentido horário a partir do eixo x.

σ_x = 30 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −40 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço de comprimento L está engastada em A e suporta uma carga concentrada P a uma distância a = 4 m de A. Encontre a deflexão δ_B na extremidade livre B.

P = 3 kNa = 4 mL = 5 mE = 70 GPa (alumínio)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga concentrada P a b = 1 m do apoio B. Encontre a deflexão δ_mid no meio do vão.

P = 14 kNb = 1 mL = 4 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e livre no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (aço)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e articulado no topo. Ele deve suportar 15 kN com um fator de segurança de 2 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 15 kNn = 2L = 6 mE = 70 GPa (alumínio)

d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 4,297 mm

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 45·1000/78,54 = 573 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for aço = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 573/200000 = 0,002865 = 2865 µε

Alongamento

δ = ε·L = 0,002865·1500 mm = 4,297 mm

Resposta

δ = 4,297 mm

2.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 11,37 mm

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 141,5 MPa

σ₂ = 497,4 MPa

Some os alongamentos dos trechos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 141,5·1000/200000 = 0,7074 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 497,4·1500/70000 = 10,66 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 11,37 mm

Resposta

δ = 11,37 mm

3.Torção de eixos

Resposta: d = 39,49 mm

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar necessário

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 2 m = 2000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 3·π/180 = 0,05236 rad

J = TL/(Gφ) = 500000·2000/(80000·0,05236) = 238732 mm⁴

Diâmetro

d = (32J/π)^1/4 = 39,49 mm

Resposta

d = 39,49 mm

Na prática você arredondaria para o próximo tamanho padrão.

4.Torção de eixos

Resposta: d = 60,01 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 100000/31,42 = 3183 N·m

Diâmetro a partir da tensão admissível

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·3,183 × 10⁶/(π·75)) = 60,01 mm

Resposta

d = 60,01 mm

Na prática você arredondaria para o próximo tamanho padrão.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: V_x = −30 kN

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, atuando em x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·8·4

R_B = 320/8 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 40 = 40 kN

Corte em x = 7 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

V = R_A − (todas as cargas para baixo à esquerda do corte)

V_x = 40 − 10·7 = −30 kN

Resposta

V_x = −30 kN

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 60,75 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, atuando em x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 65·3 + 8·4·2

R_B = 259/4 = 64,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 97 − 64,75 = 32,25 kN

Onde V = 0?

V(3⁻) = R_A − w·3 = 8,25 kN

V(3⁺) = 8,25 − 65 = −56,75 kN

O cortante muda de sinal na carga, então o máximo fica sob a carga.

Momento máximo

M_max = R_A·3 − w·3²/2 = 32,25·3 − 8·3²/2 = 60,75 kN·m

Resposta

M_max = 60,75 kN·m

Ele ocorre em x = 3 m a partir de A.

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: S_x = 1205 × 10³ mm³

Momento de inércia de área: para um retângulo em relação ao seu próprio eixo centroidal I = bh³/12, e em relação à sua base bh³/3 (teorema dos eixos paralelos I = I_c + A·d²). Um furo é tratado subtraindo seu I, desde que as duas partes usem o mesmo eixo. O módulo de resistência elástico é S = I/c, onde c é a distância até a fibra mais afastada.

Retângulo externo menos os dois recortes laterais

Os dois recortes juntos têm (B − t_w) de largura e h_w = H − 2t_f de altura, e compartilham o eixo x.

h_w = 460 − 2·14 = 432 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (170·460³ − 164·432³)/12

I_x = 2,771 × 10⁸ mm⁴

Módulo de resistência

c = H/2 = 230 mm

S_x = I/c = 2,771 × 10⁸/230

S_x = 1,205 × 10⁶ mm³ = 1205 × 10³ mm³

Resposta

S_x = 1205 × 10³ mm³

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 129,8 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (40000·100 − 3000·130)/(40000 − 3000) = 97,57 mm

Placa inteira em torno de ȳ

200·200³/12 + 40000·2,432² = 133,6 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

60·50³/12 + 3000·32,43² = 3,781 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 129,8 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 129,8 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_abs = 55 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R. Em três dimensões a tensão de cisalhamento máxima absoluta é (σ_max − σ_min)/2 considerando as três tensões principais; no estado plano de tensão a terceira é zero.

Tensões principais no plano

C = 60 MPa, R = √(0² + (−50)²) = 50 MPa

σ₁ = 110 MPa, σ₂ = 10 MPa, σ_z = 0

O maior dos três círculos

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(100, 110, 10)/2 = 55 MPa

Resposta

τ_abs = 55 MPa

Aqui o círculo fora do plano governa: o máximo absoluto é maior que o máximo no plano R.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_θ = 53,37 MPa

Equação de transformação

σ_θ = 20 + 10·0,766 + −40·−0,6428 = 53,37 MPa

Resposta

σ_θ = 53,37 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_B = 10,48 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 3000 N, a = 4000 mm, L = 5000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Deflexão na extremidade livre

Deflexão na carga mais a rotação na carga vezes o comprimento restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 7,619 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,002857 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 10,48 mm

Resposta

δ_B = 10,48 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: δ_mid = 9,722 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 14000 N, b = 1000 mm, L = 4000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Deflexão no meio do vão

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 14000·1000·(3·4000² − 4·1000²)/(48·1,32 × 10¹²) = 9,722 mm

Resposta

δ_mid = 9,722 mm

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 139,5 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 2·1500 = 3000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/3000² = 139528 N = 139,5 kN

Resposta

P_cr = 139,5 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 62,85 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 2·15000 = 30000 N

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·4200²/(π³·70000))^(1/4) = 62,85 mm

Resposta

d = 62,85 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 267,3, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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