Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre a deformação axial ε na barra de aço, em microdeformação (µε = 10⁻⁶).

P = 105 kNd = 10 mmL = 0,5 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre a maior tensão normal σ_max na barra.

P = 60 kNtrecho 1: Ø25 mm, 2 m, latão (E = 100 GPa)trecho 2: Ø20 mm, 2 m, latão (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de aço está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 200 N·md = 25 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço de latão transmite 5 kW a 1500 rpm. A tensão de cisalhamento não pode passar de 50 MPa e a torção não pode passar de 0,5° por m de comprimento. Encontre o menor diâmetro d que atende aos dois limites.

P = 5 kWN = 1500 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

A viga em balanço está engastada em A. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento e uma carga concentrada P a 1 m de A. Encontre o momento fletor M_x na seção x = 0,5 m a partir do engaste A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 3 mP = 60 kN em 1 mw = 4 kN/m de 0 a 3 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 0,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 10 mP = 20 kN em 3 mw = 3 kN/m de 0 a 10 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Um tubo circular tem diâmetro externo D = 250 mm e diâmetro interno d = 230 mm. Encontre seu raio de giração r em relação ao eixo centroidal horizontal.

D = 250 mmd = 230 mm

r = mm

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 30 kN·m. Encontre o valor da tensão de flexão σ_topo na borda superior.

b_f = 120 mmt_f = 25 mmt_w = 8 mmh_w = 220 mmM = 30 kN·m

σ_topo = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto tem σₓ = 130 MPa, σᵧ = 30 MPa e τₓᵧ = 10 MPa (tração positiva). Encontre o ângulo θ_s, entre −90° e 90°, do eixo x até a normal do plano em que a tensão de cisalhamento tem seu valor máximo positivo +R (cisalhamento positivo no mesmo sentido de τₓᵧ).

σ_x = 130 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_s = °

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma placa fina está em estado plano de tensão: σₓ = 50 MPa, σᵧ = −10 MPa e τₓᵧ = 50 MPa (σ_z = 0). O material tem tensão de escoamento de 355 MPa. Encontre o fator de segurança n contra o escoamento pelo critério de Tresca (tensão de cisalhamento máxima).

σ_x = 50 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 50 MPaσ_Y = 355 MPa

n =

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga concentrada P a a = 1,5 m do apoio A. Encontre a deflexão δ_P sob a carga.

P = 12 kNa = 1,5 mL = 5 mE = 200 GPa (aço)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w. Sua deflexão não pode passar de vão/360. Encontre o menor momento de inércia I_req que atende a esse limite.

w = 12 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (aço)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e articulado no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (alumínio)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado nas duas extremidades. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 6 mE = 200 GPa (aço)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: ε = 6685 µε

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 105·1000/78,54 = 1337 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for aço = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 1337/200000 = 0,006685 = 6685 µε

Resposta

ε = 6685 µε

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ_max = 191 MPa

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 122,2 MPa

σ₂ = 191 MPa

Maior tensão

O trecho mais fino tem a menor área, então suporta a maior tensão.

σ_max = 191 MPa

Resposta

σ_max = 191 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 7,47 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2000/(80000·38350) = 0,1304 rad

φ = 0,1304·180/π = 7,47°

Resposta

φ = 7,47°

4.Torção de eixos

Resposta: d = 31,24 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 5000/157,1 = 31,83 N·m

Diâmetro pela resistência

T = 31,83 N·m = 31831 N·mm

d_τ = ∛(16·31831/(π·50)) = 14,8 mm

Diâmetro pela rigidez

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·31831/(π·39000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 31,24 mm

Diâmetro determinante

Os dois limites devem ser atendidos, então o maior diâmetro governa.

d = max(14,8, 31,24) = 31,24 mm

Resposta

d = 31,24 mm

Aqui a rigidez governa.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = −42,5 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Fique com a parte da extremidade livre

P: −60·0,5 = −30 kN·m

w: −4·2,5²/2 = −12,5 kN·m

M_x = −30 − 12,5 = −42,5 kN·m

Resposta

M_x = −42,5 kN·m

Negativo significa tração na face superior.

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 14,13 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, atuando em x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 20·3 + 3·10·5

R_B = 210/10 = 21 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 21 = 29 kN

Corte em x = 0,5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 29·0,5 − 3·0,5·0,25 = 14,13 kN·m

Resposta

M_x = 14,13 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: r = 84,93 mm

Momento de inércia de área: para um retângulo em relação ao seu próprio eixo centroidal I = bh³/12, e em relação à sua base bh³/3 (teorema dos eixos paralelos I = I_c + A·d²). Um furo é tratado subtraindo seu I, desde que as duas partes usem o mesmo eixo. O módulo de resistência elástico é S = I/c, onde c é a distância até a fibra mais afastada. O raio de giração r = √(I/A) é a distância na qual toda a área daria o mesmo I; ele é usado na flambagem de pilares.

Área e momento de inércia líquidos

A = π(D² − d²)/4 = 7540 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 5,438 × 10⁷ mm⁴

Raio de giração

r = √(I/A) = √(5,438 × 10⁷/7540) = 84,93 mm

Resposta

r = 84,93 mm

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_topo = 72,54 MPa

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 120·25 = 3000 mm², y_f = 220 + 25/2 = 232,5 mm

alma: A_w = 8·220 = 1760 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·232,5 + 1760·110)/4760 = 187,2 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 120·25³/12 + 3000·(232,5 − 187,2)² = 6,311 × 10⁶ mm⁴

alma: 8·220³/12 + 1760·(110 − 187,2)² = 1,759 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,311 × 10⁶ + 1,759 × 10⁷ = 2,39 × 10⁷ mm⁴

Tensão de flexão

A borda superior está a h − ȳ do eixo.

y = 245 − 187,2 = 57,79 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·57,79/2,39 × 10⁷ = 72,54 MPa

Resposta

σ_topo = 72,54 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: θ_s = −39,35 °

Ângulo no círculo

No círculo de Mohr o ponto do topo (+R) está a 90° do ponto principal σ₁; no elemento isso corresponde a 45°.

cos 2θ_s = 10/50,99 = 0,1961, sin 2θ_s = −50/50,99 = −0,9806

2θ_s = atan2(−50, 10) = −78,69°

Ângulo no elemento

θ_s = −39,35°

verificação: θ_s − θ_p = −39,35 − 5,655 = −45°

Resposta

θ_s = −39,35°

Ângulos positivos são no sentido anti-horário.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: n = 3,044

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R. Critérios de escoamento: von Mises prevê escoamento quando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) atinge σ_Y; Tresca quando a tensão de cisalhamento máxima absoluta atinge σ_Y/2.

Tensões principais

C = 20 MPa, R = 58,31 MPa

σ₁ = 78,31 MPa, σ₂ = −38,31 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 116,6 MPa

n = 355/116,6 = 3,044

Resposta

n = 3,044

n > 1 significa que o ponto não escoa; Tresca é um pouco mais conservador que von Mises.

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_P = 1,313 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 12000 N, a = 1500 mm, b = 3500 mm, L = 5000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Deflexão sob a carga

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 12000·1500²·3500²/(3·1,68 × 10¹³·5000) = 1,313 mm

Resposta

δ_P = 1,313 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: I_req = 7,594 × 10⁶ mm⁴

Limite de deflexão

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Momento de inércia necessário

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·3000⁴/(384·200000·8,333) = 7,594 × 10⁶ mm⁴

I_req = 7,594 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_req = 7,594 × 10⁶ mm⁴

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 113,4 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/3500² = 113394 N = 113,4 kN

Resposta

P_cr = 113,4 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 21,93 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

KL/r = 3000/10 = 300

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21,93 MPa

Resposta

σ_cr = 21,93 MPa

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