Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercíciosVoltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal
σ = F/A
Deformação
ε = ΔL/L
Lei de Hooke
σ = E·ε
Alongamento
ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica
εT = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento
τ = T·r/J
Eixo maciço
J = πd⁴/32
Eixo vazado
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção
φ = TL/(GJ)
Potência
P = T·ω = 2πnT/60

Método

  1. Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
  2. Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
  3. Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
  4. Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento
V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão
σ = M·y/I
Retângulo
I = bh³/12
Módulo de resistência
W = I/ymax
Viga biapoiada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
  2. Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
  3. Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
  4. Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Retângulo
I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos
I = Ic + A·d²
Seção composta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro
C = (σx + σy)/2
Raio
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tensões principais
σ1,2 = C ± R
Direção principal
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Plano inclinado
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Método

  1. Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
  4. Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta
δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposição
δ = δ1 + δ2

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia
P = ?12500 mm500 mmØ20Ø50δ = 0,4 mm

Uma barra é feita de um trecho de aço (diâmetro 20 mm, comprimento 500 mm, E = 200 GPa) unido topo a topo a um trecho de latão (diâmetro 50 mm, comprimento 500 mm, E = 100 GPa). Ela é fixa em uma extremidade e puxada na outra. Encontre a carga axial P que a alonga 0,4 mm no total.

trecho 1: aço, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPatrecho 2: latão, Ø50 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0,4 mm
P = kN
2.Tensão e deformação axialDifícil
Ø 40 mmCobre0,5 mØ 12 mmAço2 mP = 40 kN

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre a maior tensão normal σmax na barra.

P = 40 kNtrecho 1: Ø40 mm, 0,5 m, cobre (E = 117 GPa)trecho 2: Ø12 mm, 2 m, aço (E = 200 GPa)
σmax = MPa
3.Torção de eixosMédia
do​ = 80, di​ = 48 mmT = 2000 N·mL = 1,2 m

Um eixo vazado de latão (diâmetro externo 80 mm, diâmetro interno 48 mm, comprimento 1,2 m) está fixo em uma extremidade e é torcido por um torque de 2000 N·m na outra. Encontre o ângulo de torção φ em graus.

T = 2000 N·mdo = 80 mmdi = 48 mmL = 1,2 mG = 39 GPa
φ = °
4.Torção de eixosDifícil
d = 50 mmT0​ = 1500 N·mACBa = 0,8 mb = 2 m

Um eixo maciço de latão com diâmetro 50 mm está fixo a paredes rígidas nas duas extremidades A e B. Um torque de 1500 N·m é aplicado em C, a 0,8 m de A e a 2 m de B. Encontre o ângulo de rotação φC da seção C, em graus.

d = 50 mmT0 = 1500 N·ma = 0,8 mb = 2 mG = 39 GPa
φC = °
5.Esforço cortante e momento fletorMédia
M0​ = 10 kN·mAB3 m2 m

A viga simplesmente apoiada suporta um binário no sentido horário M0 = 10 kN·m em x = 3 m a partir de A, e nenhuma outra carga. Encontre o momento fletor Mx logo à esquerda do binário. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 5 mM0 = 10 kN·m no sentido horário, em 3 m
Mx = kN·m
6.Esforço cortante e momento fletorDifícil
w = 12 kN/mP = 55 kNABseção2 m3 m

Encontre o momento fletor Mx na seção x = 2 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 5 mP = 55 kN em 2 mw = 12 kN/m de 0 a 5 mx = 2 m
Mx = kN·m
7.Centroide e momento de inérciaMédia
2802530016xdimensões em mm

Encontre o momento de inércia Ix da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

bf = 280 mmtf = 25 mmtw = 16 mmhw = 300 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Centroide e momento de inérciaDifícil
1702202412xM = 30 kN·mdimensões em mm

Um perfil I simétrico tem mesas de 170 mm de largura e 24 mm de espessura, altura total de 220 mm e alma de 12 mm de espessura. Ela suporta um momento fletor de 30 kN·m em relação ao eixo x. Encontre o módulo da tensão de flexão σj na junção da alma com a mesa superior.

B = 170 mmH = 220 mmtf = 24 mmtw = 12 mmM = 30 kN·m
σj = MPa
9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia
σx​ = 50σy​ = 60τxy​ = −20MPa

Um ponto de uma placa fina está em estado plano de tensão: σₓ = 50 MPa, σᵧ = 60 MPa e τₓᵧ = −20 MPa, com σz = 0. Encontre a tensão de cisalhamento máxima absoluta τabs no ponto (considerando todos os planos em três dimensões).

σx = 50 MPaσy = 60 MPaτxy = −20 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil
σx​ = −20σy​ = −80τxy​ = −40MPa

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = −20 MPa, σᵧ = −80 MPa e τₓᵧ = −40 MPa (tração positiva). Calcule a tensão de cisalhamento τθ em um plano cuja normal está girada 30° no sentido horário a partir do eixo x (positiva no mesmo sentido de τₓᵧ).

σx = −20 MPaσy = −80 MPaτxy = −40 MPaθ = -30°
τθ = MPa
11.Deflexão da vigaMédia
w = 15 kN/mδL = 1,5 m

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a deflexão máxima δmax, no meio do vão.

w = 15 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Deflexão da vigaDifícil
w = 15 kN/mAB5 m

Uma viga engastada e apoiada está engastada em A e simplesmente apoiada em B. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento. EI é constante. Encontre o módulo do momento fletor MA no engaste.

L = 5 mw = 15 kN/m
MA = kN·m
13.Flambagem de pilaresMédia
PL = 4 m20 × 100 mmseção transversal

Um pilar de comprimento L feito de aço está articulado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem Pcr.

L = 4 mE = 200 GPa (aço)b × h = 20 × 100 mm
Pcr = kN
14.Flambagem de pilaresDifícil
PL = 2,5 md = 25 mmseção transversal

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e articulado no topo. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σcr pela fórmula de Euler.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alumínio)d = 25 mm
σcr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: P = 38,08 kN

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, Pi = P·EiAi/ΣEA, e σi = Ei·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1963 mm²

Flexibilidades

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314,2) = 7,958 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·1963) = 2,546 × 10⁻⁶ mm/N

Carga

P = 0,4/1,05 × 10⁻⁵ = 38080 N = 38,08 kN

Resposta

P = 38,08 kN
2.Tensão e deformação axial

Resposta: σmax = 353,7 MPa

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 31,83 MPa
σ2 = 353,7 MPa

Maior tensão

O trecho mais fino tem a menor área, então suporta a maior tensão.

σmax = 353,7 MPa

Resposta

σmax = 353,7 MPa
3.Torção de eixos

Resposta: φ = 1,007 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τmax = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(do⁴ − di⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π(80⁴ − 48⁴)/32 = 3,5 × 10⁶ mm⁴

Ângulo de torção

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm
L = 1,2 m = 1200 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·1200/(39000·3,5 × 10⁶) = 0,01758 rad
φ = 0,01758·180/π = 1,007°

Resposta

φ = 1,007°
4.Torção de eixos

Resposta: φC = 2,052 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τmax = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(do⁴ − di⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω. Quando as duas extremidades estão fixas, a estática sozinha dá apenas TA + TB = T₀; a segunda equação é a compatibilidade (torções iguais das duas partes na seção carregada).

Equilíbrio e compatibilidade

TA + TB = 1500
TA·a = TB·b
TA = 1500·2/2,8 = 1071 N·m
TB = 1500·0,8/2,8 = 428,6 N·m

Rotação de C

Use o trecho AC: ele está fixo em A e suporta TA.

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
G = 39 GPa = 39000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 1,071 × 10⁶·800/(39000·613592) = 0,03582 rad = 2,052°

Resposta

φC = 2,052°
5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: Mx = −6 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Um binário aplicado faz o diagrama de momento fletor saltar do valor do binário.

Reações de apoio

Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário: RB·L − M0 = 0. Equilíbrio vertical: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 10/5 = 2 kN (para cima)
RA = −RB = −2 kN (para baixo)

Corte logo à esquerda do binário

A parte esquerda contém apenas RA.

Mx = RA·a = −2·3 = −6 kN·m

Resposta

Mx = −6 kN·m
6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: Mx = 102 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, atuando em x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 55·2 + 12·5·2,5
RB = 260/5 = 52 kN
ΣFy = 0: RA = 115 − 52 = 63 kN
w = 12 kN/mP = 55 kNABRA​ = 63RB​ = 52seção2 m3 m

Corte em x = 2 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = RA·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)
Mx = 63·2 − 12·2·1 = 102 kN·m

Resposta

Mx = 102 kN·m
7.Centroide e momento de inércia

Resposta: Ix = 111,6 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: Af = 280·25 = 7000 mm², yf = 300 + 25/2 = 312,5 mm
alma: Aw = 16·300 = 4800 mm², yw = 300/2 = 150 mm

Centroide

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (7000·312,5 + 4800·150)/11800 = 246,4 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 280·25³/12 + 7000·(312,5 − 246,4)² = 3,095 × 10⁷ mm⁴
alma: 16·300³/12 + 4800·(150 − 246,4)² = 8,06 × 10⁷ mm⁴
Ix = 3,095 × 10⁷ + 8,06 × 10⁷ = 1,116 × 10⁸ mm⁴ = 111,6 × 10⁶ mm⁴

Resposta

Ix = 111,6 × 10⁶ mm⁴
8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σj = 30,77 MPa

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Retângulo externo menos os dois recortes laterais

Os dois recortes juntos têm (B − tw) de largura e hw = H − 2tf de altura, e compartilham o eixo x.

hw = 220 − 2·24 = 172 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (170·220³ − 158·172³)/12
Ix = 8,385 × 10⁷ mm⁴

Tensão de flexão

y = 110 − 24 = 86 mm
σ = M·y/I = 3 × 10⁷·86/8,385 × 10⁷ = 30,77 MPa

Resposta

σj = 30,77 MPa
9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τabs = 37,81 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R. Em três dimensões a tensão de cisalhamento máxima absoluta é (σmax − σmin)/2 considerando as três tensões principais; no estado plano de tensão a terceira é zero.

σxyCσ1​σ2​

Tensões principais no plano

C = 55 MPa, R = √((−5)² + (−20)²) = 20,62 MPa
σ1 = 75,62 MPa, σ2 = 34,38 MPa, σz = 0

O maior dos três círculos

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(41,23, 75,62, 34,38)/2 = 37,81 MPa

Resposta

τabs = 37,81 MPa

Aqui o círculo fora do plano governa: o máximo absoluto é maior que o máximo no plano R.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τθ = 5,981 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Equação de transformação

τθ = −30·−0,866 + −40·0,5 = 5,981 MPa

Resposta

τθ = 5,981 MPa
11.Deflexão da viga

Resposta: δmax = 3,908 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 1500 mm
EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Deflexão

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·1500⁴/(384·2,53 × 10¹¹) = 3,908 mm

Resposta

δmax = 3,908 mm
12.Deflexão da viga

Resposta: MA = 46,88 kN·m

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição). Para uma viga estaticamente indeterminada, retire um apoio redundante e exija que a deflexão ali seja zero (compatibilidade).

Retire o apoio

Sem o apoio a viga é um balanço. Sua extremidade livre defletiria sob a carga.

δload = wL⁴/(8EI)

Compatibilidade no apoio

A força do apoio RB sozinha levanta a extremidade livre em RBL³/(3EI). O apoio mantém B com deflexão zero, então as duas devem se anular. EI se cancela.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·15·5/8 = 28,13 kN

Momento no engaste

Momentos em relação a A das cargas e da força do apoio.

MA = wL²/2 − RB·L = 187,5 − 140,6 = 46,88 kN·m

Resposta

MA = 46,88 kN·m
13.Flambagem de pilares

Resposta: Pcr = 8,225 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

Imin = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 1·4000 = 4000 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/4000² = 8225 N = 8,225 kN

Resposta

Pcr = 8,225 kN
14.Flambagem de pilares

Resposta: σcr = 8,812 MPa

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 0,7·2500 = 1750 mm
KL/r = 1750/6,25 = 280

Tensão crítica

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/280² = 8,812 MPa

Resposta

σcr = 8,812 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials