Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Uma haste de aço (diâmetro 25 mm, E = 200 GPa) está dentro de um tubo de latão (diâmetro externo 100 mm, diâmetro interno 50 mm, E = 100 GPa). Ambos têm 800 mm de comprimento e são comprimidos juntos entre placas rígidas por 300 kN. Encontre o encurtamento δ.

P = 300 kNbarra: Ø25 mm, E = 200 GPatubo: Ø100/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre a maior tensão normal σ_max na barra.

P = 50 kNtrecho 1: Ø40 mm, 2 m, aço (E = 200 GPa)trecho 2: Ø12 mm, 1 m, cobre (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de aço está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 750 N·md = 25 mmL = 0,8 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo vazado transmite 10 kW a 1450 rpm. Encontre a tensão de cisalhamento máxima τ_max no eixo.

P = 10 kWN = 1450 rpmd_o = 50 mmd_i = 38 mm

τ_max = MPa

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o esforço cortante V_x na seção x = 3,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 4 mw = 3 kN/m de 0 a 4 mx = 3,5 m

V_x = kN

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

10 kN @ 0 m20 kN @ 12 m50 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Um perfil U está com o lado aberto para cima: uma chapa de base de 180 mm de largura com duas abas verticais, com altura total de 100 mm. Base e abas têm todas 14 mm de espessura. Encontre a altura ȳ do centroide acima da borda inferior.

b = 180 mmh = 100 mmt = 14 mm

ȳ = mm

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 5 kN·m. Encontre o valor da tensão de flexão σ_topo na borda superior.

b_f = 180 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 140 mmM = 5 kN·m

σ_topo = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 160 MPa, σᵧ = 80 MPa e τₓᵧ = −30 MPa (tração positiva). Calcule a tensão de cisalhamento máxima no plano τ_max.

σ_x = 160 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −30 MPa

τ_max = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma placa fina está em estado plano de tensão: σₓ = −10 MPa, σᵧ = −10 MPa e τₓᵧ = −10 MPa (σ_z = 0). O material tem tensão de escoamento de 300 MPa. Encontre o fator de segurança n contra o escoamento pelo critério de von Mises (energia de distorção).

σ_x = −10 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −10 MPaσ_Y = 300 MPa

n =

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento e uma carga concentrada P na extremidade livre. Usando superposição, encontre a deflexão δ na extremidade livre.

P = 3 kNw = 12 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (alumínio)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga concentrada P a b = 2 m do apoio B. Encontre a deflexão máxima δ_max da viga.

P = 3 kNb = 2 mL = 5 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está articulado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (alumínio)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de aço está engastado na base e livre no topo. Ele deve suportar 10 kN com um fator de segurança de 2 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 10 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (aço)

d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 0,3492 mm

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·5890 = 6,872 × 10⁸ N

Encurtamento

δ = 300000·800/6,872 × 10⁸ = 0,3492 mm

Resposta

δ = 0,3492 mm

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ_max = 442,1 MPa

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 39,79 MPa

σ₂ = 442,1 MPa

Maior tensão

O trecho mais fino tem a menor área, então suporta a maior tensão.

σ_max = 442,1 MPa

Resposta

σ_max = 442,1 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 11,21 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 750·1000·800/(80000·38350) = 0,1956 rad

φ = 0,1956·180/π = 11,21°

Resposta

φ = 11,21°

4.Torção de eixos

Resposta: τ_max = 4,027 MPa

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 10000/151,8 = 65,86 N·m

Momento polar de inércia

J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴

Tensão de cisalhamento máxima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 65857·25/408885 = 4,027 MPa

Resposta

τ_max = 4,027 MPa

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: V_x = −4,5 kN

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, atuando em x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 3·4·2

R_B = 24/4 = 6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 6 = 6 kN

Corte em x = 3,5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

V = R_A − (todas as cargas para baixo à esquerda do corte)

V_x = 6 − 3·3,5 = −4,5 kN

Resposta

V_x = −4,5 kN

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: D (x = 6 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 32,5 kN, R₂ = 47,5 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = −20, M_C = 25, M_D = 70 kN·m, M_E = 15, M_F = −40, M_G = 0

Resposta

Marca D: M_D = 70 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: ȳ = 31,43 mm

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em retângulos

Tome a base com a largura total e as duas abas acima dela (altura h − t), para que nada seja contado duas vezes.

base: A₁ = 180·14 = 2520 mm², y₁ = 7 mm

duas abas: A₂ = 2·14·86 = 2408 mm², y₂ = 14 + 86/2 = 57 mm

Centroide

ȳ = (2520·7 + 2408·57)/4928 = 31,43 mm

Resposta

ȳ = 31,43 mm

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_topo = 23,56 MPa

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 180·10 = 1800 mm², y_f = 140 + 10/2 = 145 mm

alma: A_w = 20·140 = 2800 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·145 + 2800·70)/4600 = 99,35 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 180·10³/12 + 1800·(145 − 99,35)² = 3,766 × 10⁶ mm⁴

alma: 20·140³/12 + 2800·(70 − 99,35)² = 6,985 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,766 × 10⁶ + 6,985 × 10⁶ = 1,075 × 10⁷ mm⁴

Tensão de flexão

A borda superior está a h − ȳ do eixo.

y = 150 − 99,35 = 50,65 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·50,65/1,075 × 10⁷ = 23,56 MPa

Resposta

σ_topo = 23,56 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_max = 50 MPa

Raio do círculo de Mohr

τ_max = R = √(((160 − 80)/2)² + −30²) = 50 MPa

Resposta

τ_max = 50 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: n = 15

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R. Critérios de escoamento: von Mises prevê escoamento quando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) atinge σ_Y; Tresca quando a tensão de cisalhamento máxima absoluta atinge σ_Y/2.

Tensões principais

C = −10 MPa, R = 10 MPa

σ₁ = 0 MPa, σ₂ = −20 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(0² − 0·(−20) + (−20)²) = 20 MPa

n = 300/20 = 15

Resposta

n = 15

n > 1 significa que o ponto não escoa; Tresca é um pouco mais conservador que von Mises.

11.Deflexão da viga

Resposta: δ = 37,22 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 3000 N, w = 12 N/mm, L = 3000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Cada carga sozinha

δ_P = PL³/(3EI) = 3000·3000³/(3·3,99 × 10¹²) = 6,767 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 12·3000⁴/(8·3,99 × 10¹²) = 30,45 mm

Some

δ = 6,767 + 30,45 = 37,22 mm

Resposta

δ = 37,22 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 5,612 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 3000 N, b = 2000 mm, L = 5000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Posição do máximo

Igualar a zero a rotação no trecho mais longo dá a posição.

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 2000²)/3) = 2646 mm

Deflexão máxima

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 5,612 mm

Resposta

δ_max = 5,612 mm

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 23,55 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 1·3000 = 3000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/3000² = 23551 N = 23,55 kN

Resposta

P_cr = 23,55 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 42,63 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 2·10000 = 20000 N

KL = 2·2000 = 4000 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·20000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 42,63 mm

Resposta

d = 42,63 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 375,3, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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