Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Uma barra é feita de um trecho de aço (diâmetro 30 mm, comprimento 600 mm, E = 200 GPa) unido topo a topo a um trecho de bronze (diâmetro 30 mm, comprimento 400 mm, E = 110 GPa). Ela é fixa em uma extremidade e puxada na outra. Encontre a carga axial P que a alonga 0,3 mm no total.

trecho 1: aço, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPatrecho 2: bronze, Ø30 mm, 400 mm, E = 110 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

2.Tensão e deformação axialDifícil

Um trecho de aço (diâmetro 30 mm, comprimento 300 mm, E = 200 GPa) e um trecho de alumínio (diâmetro 60 mm, comprimento 300 mm, E = 70 GPa) são unidos topo a topo e fixados entre duas paredes rígidas. Uma carga axial de 60 kN atua na junção, no sentido do trecho 2. Encontre o valor da tensão σ₂ no trecho 2.

trecho 1: aço, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPatrecho 2: alumínio, Ø60 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de aço está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 200 N·md = 30 mmL = 0,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo vazado transmite 15 kW a 300 rpm. Encontre a tensão de cisalhamento máxima τ_max no eixo.

P = 15 kWN = 300 rpmd_o = 80 mmd_i = 40 mm

τ_max = MPa

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

A viga simplesmente apoiada suporta um binário no sentido horário M₀ = 60 kN·m em x = 6 m a partir de A, e nenhuma outra carga. Encontre o momento fletor M_x logo à direita do binário. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 10 mM₀ = 60 kN·m no sentido horário, em 6 m

M_x = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão e uma carga concentrada P. Encontre o momento fletor máximo M_max na viga.

L = 6 mP = 30 kN em 1 mw = 6 kN/m de 0 a 6 m

M_max = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Um tubo circular tem diâmetro externo D = 110 mm e diâmetro interno d = 82 mm. Encontre seu raio de giração r em relação ao eixo centroidal horizontal.

D = 110 mmd = 82 mm

r = mm

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Um perfil I soldado tem mesa superior de 150 × 22 mm, alma de 220 mm de altura e 10 mm de espessura, e mesa inferior de 220 × 24 mm (largura × espessura). Encontre seu momento de inércia I_x em relação ao eixo horizontal x que passa pelo centroide.

mesa superior: 150 × 22 mmalma: 10 × 220 mmmesa inferior: 220 × 24 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 60 MPa, σᵧ = 80 MPa e τₓᵧ = 20 MPa (tração positiva). Calcule o ângulo θ_p do eixo x até a direção da maior tensão principal, entre −90° e 90°.

σ_x = 60 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_p = °

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 110 MPa, σᵧ = 50 MPa e τₓᵧ = −60 MPa (tração positiva). Calcule a tensão normal σ_θ em um plano cuja normal está girada 20° no sentido horário a partir do eixo x.

σ_x = 110 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −60 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento e uma carga concentrada P na extremidade livre. Usando superposição, encontre a deflexão δ na extremidade livre.

P = 18 kNw = 6 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (alumínio)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga engastada e apoiada está engastada em A e simplesmente apoiada em B. Ela suporta uma carga concentrada P no meio do vão. EI é constante. Encontre a reação R_B no apoio B.

L = 8 mP = 20 kN em 4 m

R_B = kN

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e articulado no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (aço)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e articulado no topo. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 5 mE = 70 GPa (alumínio)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: P = 31,95 kN

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Flexibilidades

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706,9) = 4,244 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(110000·706,9) = 5,144 × 10⁻⁶ mm/N

Carga

P = 0,3/9,389 × 10⁻⁶ = 31954 N = 31,95 kN

Resposta

P = 31,95 kN

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ₂ = 12,38 MPa

Rigidezes

k₁ = 200000·706,9/300 = 471239 N/mm

k₂ = 70000·2827/300 = 659734 N/mm

Fatia do trecho 2

F₂ = 60000·659734/1,131 × 10⁶ = 35000 N

Tensão

σ₂ = 35000/2827 = 12,38 MPa (compressão)

Resposta

σ₂ = 12,38 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 0,9006 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 200·1000·500/(80000·79522) = 0,01572 rad

φ = 0,01572·180/π = 0,9006°

Resposta

φ = 0,9006°

4.Torção de eixos

Resposta: τ_max = 5,066 MPa

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 15000/31,42 = 477,5 N·m

Momento polar de inércia

J = π(80⁴ − 40⁴)/32 = 3,77 × 10⁶ mm⁴

Tensão de cisalhamento máxima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 477465·40/3,77 × 10⁶ = 5,066 MPa

Resposta

τ_max = 5,066 MPa

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 24 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Um binário aplicado faz o diagrama de momento fletor saltar do valor do binário.

Reações de apoio

Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário: R_B·L − M₀ = 0. Equilíbrio vertical: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 60/10 = 6 kN (para cima)

R_A = −R_B = −6 kN (para baixo)

Corte logo à direita do binário

A parte esquerda agora contém R_A e o binário.

M_x = R_A·a + M₀ = −6·6 + 60 = 24 kN·m

Resposta

M_x = 24 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 44,08 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, atuando em x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·1 + 6·6·3

R_B = 138/6 = 23 kN

ΣF_y = 0: R_A = 66 − 23 = 43 kN

Onde V = 0?

R_A − P − w·x₀ = 0 → x₀ = (43 − 30)/6 = 2,167 m

Momento máximo

M_max = R_A·x₀ − P·(x₀ − 1) − w·x₀²/2 = 44,08 kN·m

Resposta

M_max = 44,08 kN·m

Ele ocorre em x = 2,167 m a partir de A.

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: r = 34,3 mm

Momento de inércia de área: para um retângulo em relação ao seu próprio eixo centroidal I = bh³/12, e em relação à sua base bh³/3 (teorema dos eixos paralelos I = I_c + A·d²). Um furo é tratado subtraindo seu I, desde que as duas partes usem o mesmo eixo. O módulo de resistência elástico é S = I/c, onde c é a distância até a fibra mais afastada. O raio de giração r = √(I/A) é a distância na qual toda a área daria o mesmo I; ele é usado na flambagem de pilares.

Área e momento de inércia líquidos

A = π(D² − d²)/4 = 4222 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 4,968 × 10⁶ mm⁴

Raio de giração

r = √(I/A) = √(4,968 × 10⁶/4222) = 34,3 mm

Resposta

r = 34,3 mm

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 130,6 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em três retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa superior: A = 3300 mm², y = 255 mm

alma: A = 2200 mm², y = 134 mm

mesa inferior: A = 5280 mm², y = 12 mm

Centroide

ȳ = (3300·255 + 2200·134 + 5280·12)/10780 = 111,3 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa superior: 150·22³/12 + 3300·143,7² = 6,829 × 10⁷ mm⁴

alma: 10·220³/12 + 2200·22,71² = 1,001 × 10⁷ mm⁴

mesa inferior: 220·24³/12 + 5280·99,29² = 5,23 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,829 × 10⁷ + 1,001 × 10⁷ + 5,23 × 10⁷

I_x = 1,306 × 10⁸ mm⁴ = 130,6 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 130,6 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: θ_p = 58,28 °

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Ângulo no círculo

No círculo de Mohr, o ponto x fica a um ângulo 2θp do eixo σ; o quadrante decorre dos sinais de σₓ − σᵧ e τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·20, 60 − 80) = 116,6°

Ângulo no elemento

θ_p = 58,28°

Resposta

θ_p = 58,28°

Ângulos positivos são no sentido anti-horário.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_θ = 141,5 MPa

Equação de transformação

σ_θ = 80 + 30·0,766 + −60·−0,6428 = 141,5 MPa

Resposta

σ_θ = 141,5 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ = 55,83 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 18000 N, w = 6 N/mm, L = 3000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Cada carga sozinha

δ_P = PL³/(3EI) = 18000·3000³/(3·3,99 × 10¹²) = 40,6 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 6·3000⁴/(8·3,99 × 10¹²) = 15,23 mm

Some

δ = 40,6 + 15,23 = 55,83 mm

Resposta

δ = 55,83 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: R_B = 6,25 kN

Retire o apoio

Sem o apoio a viga é um balanço. Sua extremidade livre defletiria sob a carga.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Compatibilidade no apoio

A força do apoio R_B sozinha levanta a extremidade livre em R_BL³/(3EI). O apoio mantém B com deflexão zero, então as duas devem se anular. EI se cancela.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·20/16 = 6,25 kN

Resposta

R_B = 6,25 kN

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 34,33 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/4200² = 34331 N = 34,33 kN

Resposta

P_cr = 34,33 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 22,56 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

KL/r = 3500/20 = 175

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/175² = 22,56 MPa

Resposta

σ_cr = 22,56 MPa

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