Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre o alongamento δ da barra de latão sob a carga axial.

P = 50 kNd = 12 mmL = 3 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre o alongamento total δ.

P = 90 kNtrecho 1: Ø35 mm, 0,5 m, cobre (E = 117 GPa)trecho 2: Ø16 mm, 1 m, alumínio (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Torção de eixosMédia

Em um ensaio de torção, um corpo de prova maciço de diâmetro 20 mm é torcido por um torque de 50 N·m. As duas extremidades de um comprimento de referência de 400 mm giram 0,91° uma em relação à outra (o material ainda está no regime elástico). Encontre o módulo de elasticidade transversal G do material.

T = 50 N·md = 20 mmL = 400 mmφ = 0,91°

G = GPa

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço de alumínio transmite 30 kW a 1000 rpm. A tensão de cisalhamento não pode passar de 40 MPa e a torção não pode passar de 1° por m de comprimento. Encontre o menor diâmetro d que atende aos dois limites.

P = 30 kWN = 1000 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 1°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

A viga simplesmente apoiada suporta duas cargas concentradas. Encontre o momento fletor máximo M_max na viga.

L = 5 mP₁ = 20 kN em 1,5 mP₂ = 20 kN em 2,5 m

M_max = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

40 kN @ 0 m30 kN @ 6 m25 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Encontre o momento de inércia I_x da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

b_f = 240 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 40 kN·m. Encontre a tensão de flexão σ_base na borda inferior.

b_f = 120 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 180 mmM = 40 kN·m

σ_base = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = −10 MPa, σᵧ = −80 MPa e τₓᵧ = −60 MPa (tração positiva). Calcule o ângulo θ_p do eixo x até a direção da maior tensão principal, entre −90° e 90°.

σ_x = −10 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_p = °

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 140 MPa, σᵧ = 80 MPa e τₓᵧ = −10 MPa (tração positiva). Calcule a tensão normal σ_θ em um plano cuja normal está girada 30° no sentido horário a partir do eixo x.

σ_x = 140 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −10 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a deflexão máxima δ_max, no meio do vão.

w = 6 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w. Sua deflexão não pode passar de vão/360. Encontre o menor momento de inércia I_req que atende a esse limite.

w = 2 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (aço)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está articulado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (alumínio)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de alumínio está engastado nas duas extremidades. Ele deve suportar 40 kN com um fator de segurança de 2,5 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 40 kNn = 2,5L = 2 mE = 70 GPa (alumínio)

d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 13,26 mm

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 50·1000/113,1 = 442,1 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for latão = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 442,1/100000 = 0,004421 = 4421 µε

Alongamento

δ = ε·L = 0,004421·3000 mm = 13,26 mm

Resposta

δ = 13,26 mm

2.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 6,794 mm

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 93,54 MPa

σ₂ = 447,6 MPa

Some os alongamentos dos trechos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 93,54·500/117000 = 0,3998 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 447,6·1000/70000 = 6,395 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 6,794 mm

Resposta

δ = 6,794 mm

3.Torção de eixos

Resposta: G = 80,17 GPa

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar e ângulo

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 0,91·π/180 = 0,01588 rad

Módulo de cisalhamento

T = 50 N·m = 50000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 50000·400/(15708·0,01588) = 80166 MPa

G = 80,17 GPa

Resposta

G = 80,17 GPa

Compare: aço ≈ 80 GPa, latão ≈ 39 GPa, alumínio ≈ 26 GPa.

4.Torção de eixos

Resposta: d = 50,36 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 30000/104,7 = 286,5 N·m

Diâmetro pela resistência

T = 286,5 N·m = 286479 N·mm

d_τ = ∛(16·286479/(π·40)) = 33,16 mm

Diâmetro pela rigidez

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·286479/(π·26000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 50,36 mm

Diâmetro determinante

Os dois limites devem ser atendidos, então o maior diâmetro governa.

d = max(33,16, 50,36) = 50,36 mm

Resposta

d = 50,36 mm

Aqui a rigidez governa.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 40 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 20·1,5 + 20·2,5

R_B = 80/5 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 16 = 24 kN

Momento sob cada carga

Fique com a parte à esquerda de cada carga.

sob P₁: M = R_A·1,5 = 24·1,5 = 36 kN·m

sob P₂: M = R_B·2,5 = 16·2,5 = 40 kN·m

Maior valor

M_max = 40 kN·m (sob P₂)

Resposta

M_max = 40 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: B (x = 1 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 48,75 kN, R₂ = 46,25 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = −40 kN·m, M_C = −31,25, M_D = −22,5, M_E = −13,75, M_F = −30, M_G = 0

Resposta

Marca B: M_B = −40 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 34,3 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 240·10 = 2400 mm², y_f = 240 + 10/2 = 245 mm

alma: A_w = 12·240 = 2880 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·245 + 2880·120)/5280 = 176,8 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 240·10³/12 + 2400·(245 − 176,8)² = 1,118 × 10⁷ mm⁴

alma: 12·240³/12 + 2880·(120 − 176,8)² = 2,312 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,118 × 10⁷ + 2,312 × 10⁷ = 3,43 × 10⁷ mm⁴ = 34,3 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 34,3 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_base = 305,7 MPa

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 120·10 = 1200 mm², y_f = 180 + 10/2 = 185 mm

alma: A_w = 16·180 = 2880 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1200·185 + 2880·90)/4080 = 117,9 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 120·10³/12 + 1200·(185 − 117,9)² = 5,406 × 10⁶ mm⁴

alma: 16·180³/12 + 2880·(90 − 117,9)² = 1,002 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,406 × 10⁶ + 1,002 × 10⁷ = 1,543 × 10⁷ mm⁴

Tensão de flexão

A borda inferior está a ȳ do eixo.

y = 117,9 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·117,9/1,543 × 10⁷ = 305,7 MPa

Resposta

σ_base = 305,7 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: θ_p = −29,87 °

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Ângulo no círculo

No círculo de Mohr, o ponto x fica a um ângulo 2θp do eixo σ; o quadrante decorre dos sinais de σₓ − σᵧ e τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−60, −10 − −80) = −59,74°

Ângulo no elemento

θ_p = −29,87°

Resposta

θ_p = −29,87°

Ângulos positivos são no sentido anti-horário.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_θ = 133,7 MPa

Equação de transformação

σ_θ = 110 + 30·0,5 + −10·−0,866 = 133,7 MPa

Resposta

σ_θ = 133,7 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 79,05 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 4000 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Deflexão

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·4000⁴/(384·2,53 × 10¹¹) = 79,05 mm

Resposta

δ_max = 79,05 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: I_req = 5,859 × 10⁶ mm⁴

Limite de deflexão

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Momento de inércia necessário

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·5000⁴/(384·200000·13,89) = 5,859 × 10⁶ mm⁴

I_req = 5,859 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_req = 5,859 × 10⁶ mm⁴

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 52,99 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 1·2000 = 2000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/2000² = 52989 N = 52,99 kN

Resposta

P_cr = 52,99 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 41,44 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 2,5·40000 = 100000 N

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·1000²/(π³·70000))^(1/4) = 41,44 mm

Resposta

d = 41,44 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 96,53, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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