Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre a deformação axial ε na barra de cobre, em microdeformação (µε = 10⁻⁶).

P = 55 kNd = 30 mmL = 3 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Tensão e deformação axialDifícil

Um trecho de aço (diâmetro 40 mm, comprimento 400 mm, E = 200 GPa) e um trecho de cobre (diâmetro 60 mm, comprimento 300 mm, E = 120 GPa) são unidos topo a topo e fixados entre duas paredes rígidas. Uma carga axial de 30 kN atua na junção, no sentido do trecho 2. Encontre o valor da tensão σ₂ no trecho 2.

trecho 1: aço, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPatrecho 2: cobre, Ø60 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

3.Torção de eixosMédia

Em um ensaio de torção, um corpo de prova maciço de diâmetro 12 mm é torcido por um torque de 50 N·m. As duas extremidades de um comprimento de referência de 250 mm giram 9,02° uma em relação à outra (o material ainda está no regime elástico). Encontre o módulo de elasticidade transversal G do material.

T = 50 N·md = 12 mmL = 250 mmφ = 9,02°

G = GPa

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo vazado deve transmitir 50 kW a 750 rpm. Seu diâmetro interno deve ser 0,75 vezes o diâmetro externo, e a tensão de cisalhamento não pode passar de 40 MPa. Encontre o menor diâmetro externo d_o.

P = 50 kWN = 750 rpmd_i/d_o = 0,75τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

A viga em balanço está engastada em A. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento e uma carga concentrada P a 4 m de A. Encontre o momento fletor M_A no engaste A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 4 mP = 10 kN em 4 mw = 5 kN/m de 0 a 4 m

M_A = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

40 kN @ 6 m20 kN @ 2 m10 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Uma seção retangular vazada (caixão) tem largura externa B = 120 mm, altura externa H = 175 mm e espessura de parede uniforme t = 12 mm. Encontre seu raio de giração r em relação ao eixo centroidal horizontal.

B = 120 mmH = 175 mmt = 12 mm

r = mm

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 5 kN·m. Encontre a tensão de flexão σ_base na borda inferior.

b_f = 120 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 200 mmM = 5 kN·m

σ_base = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = −80 MPa, σᵧ = 30 MPa e τₓᵧ = 40 MPa (tração positiva). Calcule o ângulo θ_p do eixo x até a direção da maior tensão principal, entre −90° e 90°.

σ_x = −80 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_p = °

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um eixo maciço de diâmetro 50 mm suporta uma força axial de tração de 20 kN junto com um torque de 250 N·m. Na superfície do eixo, encontre a maior tensão principal σ₁.

d = 50 mmF = 20 kNT = 250 N·m

σ₁ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a deflexão máxima δ_max, no meio do vão.

w = 10 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (aço)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga de madeira simplesmente apoiada, de seção retangular com 50 mm de largura, suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Sua deflexão no meio do vão não pode passar de vão/250. Encontre a menor altura h_req da seção.

w = 2 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (madeira estrutural)b = 50 mm

h_req = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e livre no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (aço)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de aço está engastado nas duas extremidades. Ele deve suportar 80 kN com um fator de segurança de 2,5 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 80 kNn = 2,5L = 5 mE = 200 GPa (aço)

d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: ε = 665 µε

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 55·1000/706,9 = 77,81 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for cobre = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 77,81/117000 = 0,000665 = 665 µε

Resposta

ε = 665 µε

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ₂ = 6,821 MPa

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Rigidezes

k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm

k₂ = 120000·2827/300 = 1,131 × 10⁶ N/mm

Fatia do trecho 2

F₂ = 30000·1,131 × 10⁶/1,759 × 10⁶ = 19286 N

Tensão

σ₂ = 19286/2827 = 6,821 MPa (compressão)

Resposta

σ₂ = 6,821 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: G = 39 GPa

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar e ângulo

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 9,02·π/180 = 0,1574 rad

Módulo de cisalhamento

T = 50 N·m = 50000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 50000·250/(2036·0,1574) = 39003 MPa

G = 39 GPa

Resposta

G = 39 GPa

Compare: aço ≈ 80 GPa, latão ≈ 39 GPa, alumínio ≈ 26 GPa.

4.Torção de eixos

Resposta: d_o = 49,13 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 50000/78,54 = 636,6 N·m

Diâmetro externo pela tensão admissível

T = 636,6 N·m = 636620 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·636620/(π·40·0,6836)) = 49,13 mm

d_i = 0,75·49,13 = 36,85 mm

Resposta

d_o = 49,13 mm

Um eixo maciço precisaria de d = 43,28 mm; o vazado é um pouco maior, mas muito mais leve.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_A = −80 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Fique com a parte da extremidade livre

P: −10·4 = −40 kN·m

w: −5·4²/2 = −40 kN·m

M_A = −40 − 40 = −80 kN·m

Resposta

M_A = −80 kN·m

Negativo significa tração na face superior.

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: E (x = 4 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 10 kN, R₂ = 90 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 5, M_C = 0, M_D = −35, M_E = −80 kN·m, M_F = −40, M_G = 0

Resposta

Marca E: M_E = −80 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: r = 63,29 mm

Momento de inércia de área: para um retângulo em relação ao seu próprio eixo centroidal I = bh³/12, e em relação à sua base bh³/3 (teorema dos eixos paralelos I = I_c + A·d²). Um furo é tratado subtraindo seu I, desde que as duas partes usem o mesmo eixo. O módulo de resistência elástico é S = I/c, onde c é a distância até a fibra mais afastada. O raio de giração r = √(I/A) é a distância na qual toda a área daria o mesmo I; ele é usado na flambagem de pilares.

Área e momento de inércia líquidos

b = 96 mm, h = 151 mm

A = BH − bh = 120·175 − 96·151 = 6504 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 2,605 × 10⁷ mm⁴

Raio de giração

r = √(I/A) = √(2,605 × 10⁷/6504) = 63,29 mm

Resposta

r = 63,29 mm

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_base = 31,69 MPa

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 120·10 = 1200 mm², y_f = 200 + 10/2 = 205 mm

alma: A_w = 16·200 = 3200 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1200·205 + 3200·100)/4400 = 128,6 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 120·10³/12 + 1200·(205 − 128,6)² = 7,008 × 10⁶ mm⁴

alma: 16·200³/12 + 3200·(100 − 128,6)² = 1,329 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,008 × 10⁶ + 1,329 × 10⁷ = 2,03 × 10⁷ mm⁴

Tensão de flexão

A borda inferior está a ȳ do eixo.

y = 128,6 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·128,6/2,03 × 10⁷ = 31,69 MPa

Resposta

σ_base = 31,69 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: θ_p = 71,99 °

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Ângulo no círculo

No círculo de Mohr, o ponto x fica a um ângulo 2θp do eixo σ; o quadrante decorre dos sinais de σₓ − σᵧ e τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·40, −80 − 30) = 144°

Ângulo no elemento

θ_p = 71,99°

Resposta

θ_p = 71,99°

Ângulos positivos são no sentido anti-horário.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ₁ = 16,48 MPa

Tensões na superfície

σ = F/A = 20000/(π·50²/4) = 20000/1963 = 10,19 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·50³) = 10,19 MPa

Círculo de Mohr

C = σ/2 = 5,093 MPa

R = √(5,093² + 10,19²) = 11,39 MPa

σ₁ = C + R = 16,48 MPa

σ₂ = C − R = −6,295 MPa

Resposta

σ₁ = 16,48 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 4,395 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 3000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Deflexão

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·3000⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 4,395 mm

Resposta

δ_max = 4,395 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: h_req = 156,5 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

Limite de deflexão

δ_allow = L/250 = 3000/250 = 12 mm

Momento de inércia necessário

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·3000⁴/(384·11000·12) = 1,598 × 10⁷ mm⁴

Altura necessária

bh³/12 = I_req → h = (12·1,598 × 10⁷/50)^1/3 = 156,5 mm

Resposta

h_req = 156,5 mm

Na prática, escolha a próxima altura padronizada acima desse valor.

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 9,462 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 2·4000 = 8000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/8000² = 9462 N = 9,462 kN

Resposta

P_cr = 9,462 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 59,93 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 2,5·80000 = 200000 N

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·200000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 59,93 mm

Resposta

d = 59,93 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 166,9, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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