Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre o alongamento δ da barra de cobre sob a carga axial.

P = 100 kNd = 25 mmL = 0,5 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre a maior tensão normal σ_max na barra.

P = 20 kNtrecho 1: Ø25 mm, 1,5 m, latão (E = 100 GPa)trecho 2: Ø20 mm, 1,5 m, aço (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço escalonado de alumínio está fixo em A. O trecho AB tem diâmetro 75 mm e comprimento 1,2 m; o trecho BC tem diâmetro 30 mm e comprimento 0,5 m. Um torque de 100 N·m atua na extremidade livre C. Encontre a tensão de cisalhamento máxima τ_max no eixo.

T = 100 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 1,2 md₂ = 30 mm, L₂ = 0,5 m

τ_max = MPa

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço de alumínio com diâmetro 20 mm está fixo em A. Um torque de 200 N·m atua em B, a 2 m de A, e um torque de 100 N·m no sentido oposto atua na extremidade livre C, 1,5 m adiante. Encontre o módulo do ângulo de torção φ_C da extremidade C, em graus.

d = 20 mmT_B = 200 N·mT_C = 100 N·mAB = 2 mBC = 1,5 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o esforço cortante V_x na seção x = 4,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 6 mw = 8 kN/m de 0 a 6 mx = 4,5 m

V_x = kN

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

10 kN @ 12 m55 kN @ 4 m10 kN/m, 0–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Encontre o momento de inércia I_x da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

b_f = 140 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Uma placa de 200 mm × 300 mm tem um recorte retangular de 50 mm de largura e 20 mm de altura, centrado na linha de centro vertical, com seu centro a 210 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 200 mmh = 300 mmrecorte: 50 × 20 mmcentro do furo: y = 210 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 50 MPa, σᵧ = −60 MPa e τₓᵧ = 30 MPa (tração positiva). Calcule a tensão de cisalhamento máxima no plano τ_max.

σ_x = 50 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um eixo maciço de diâmetro 60 mm suporta uma força axial de tração de 120 kN junto com um torque de 1500 N·m. Na superfície do eixo, encontre a maior tensão principal σ₁.

d = 60 mmF = 120 kNT = 1500 N·m

σ₁ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento. Encontre a deflexão δ na extremidade livre.

w = 5 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (alumínio)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga de madeira simplesmente apoiada, de seção retangular com 100 mm de largura, suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Sua deflexão no meio do vão não pode passar de vão/360. Encontre a menor altura h_req da seção.

w = 2 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (madeira estrutural)b = 100 mm

h_req = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e livre no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (aço)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de aço está engastado na base e livre no topo. Ele deve suportar 35 kN com um fator de segurança de 2,5 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 35 kNn = 2,5L = 1 mE = 200 GPa (aço)

d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 0,8706 mm

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 100·1000/490,9 = 203,7 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for cobre = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 203,7/117000 = 0,001741 = 1741 µε

Alongamento

δ = ε·L = 0,001741·500 mm = 0,8706 mm

Resposta

δ = 0,8706 mm

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ_max = 63,66 MPa

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 40,74 MPa

σ₂ = 63,66 MPa

Maior tensão

O trecho mais fino tem a menor área, então suporta a maior tensão.

σ_max = 63,66 MPa

Resposta

σ_max = 63,66 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: τ_max = 18,86 MPa

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Tensão em cada trecho

T = 100 N·m = 100000 N·mm

τ_AB = 16·100000/(π·75³) = 1,207 MPa

τ_BC = 16·100000/(π·30³) = 18,86 MPa

Resposta

τ_max = 18,86 MPa

4.Torção de eixos

Resposta: φ_C = 7,015 °

Torques internos

Sentido de T_C tomado como positivo.

T_BC = T_C = 100 N·m

T_AB = T_C − T_B = 100 − 200 = −100 N·m

Torção de cada trecho

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = −100000·2000/(26000·15708) = −0,4897 rad

φ_BC = 100000·1500/(26000·15708) = 0,3673 rad

Torção da extremidade C

φ_C = −0,4897 + 0,3673 = −0,1224 rad → |φ_C| = 7,015°

Resposta

φ_C = 7,015°

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: V_x = −12 kN

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, atuando em x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 8·6·3

R_B = 144/6 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

Corte em x = 4,5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

V = R_A − (todas as cargas para baixo à esquerda do corte)

V_x = 24 − 8·4,5 = −12 kN

Resposta

V_x = −12 kN

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: C (x = 4 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 81 kN, R₂ = 84 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 142, M_C = 244 kN·m, M_D = 196, M_E = 108, M_F = −20, M_G = 0

Resposta

Marca C: M_C = 244 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 6,627 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 140·10 = 1400 mm², y_f = 120 + 10/2 = 125 mm

alma: A_w = 20·120 = 2400 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1400·125 + 2400·60)/3800 = 83,95 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 140·10³/12 + 1400·(125 − 83,95)² = 2,371 × 10⁶ mm⁴

alma: 20·120³/12 + 2400·(60 − 83,95)² = 4,256 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,371 × 10⁶ + 4,256 × 10⁶ = 6,627 × 10⁶ mm⁴ = 6,627 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 6,627 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 446,3 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (60000·150 − 1000·210)/(60000 − 1000) = 149 mm

Placa inteira em torno de ȳ

200·300³/12 + 60000·1,017² = 450,1 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

50·20³/12 + 1000·61,02² = 3,756 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 446,3 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 446,3 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_max = 62,65 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Raio do círculo de Mohr

τ_max = R = √(((50 − −60)/2)² + 30²) = 62,65 MPa

Resposta

τ_max = 62,65 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ₁ = 62,47 MPa

Tensões na superfície

σ = F/A = 120000/(π·60²/4) = 120000/2827 = 42,44 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·60³) = 35,37 MPa

Círculo de Mohr

C = σ/2 = 21,22 MPa

R = √(21,22² + 35,37²) = 41,25 MPa

σ₁ = C + R = 62,47 MPa

σ₂ = C − R = −20,02 MPa

Resposta

σ₁ = 62,47 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ = 72,32 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 6000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Deflexão

δ = wL⁴/(8EI) = 5·6000⁴/(8·1,12 × 10¹³) = 72,32 mm

Resposta

δ = 72,32 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: h_req = 210,4 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Limite de deflexão

δ_allow = L/360 = 4500/360 = 12,5 mm

Momento de inércia necessário

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·4500⁴/(384·11000·12,5) = 7,766 × 10⁷ mm⁴

Altura necessária

bh³/12 = I_req → h = (12·7,766 × 10⁷/100)^1/3 = 210,4 mm

Resposta

h_req = 210,4 mm

Na prática, escolha a próxima altura padronizada acima desse valor.

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 4,284 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 2·3000 = 6000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/6000² = 4284 N = 4,284 kN

Resposta

P_cr = 4,284 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 43,6 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 2,5·35000 = 87500 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·87500·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 43,6 mm

Resposta

d = 43,6 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 183,5, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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