Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Uma haste de aço (diâmetro 40 mm, E = 200 GPa) está dentro de um tubo de latão (diâmetro externo 120 mm, diâmetro interno 60 mm, E = 100 GPa). Ambos têm 300 mm de comprimento e são comprimidos juntos entre placas rígidas por 200 kN. Encontre o encurtamento δ.

P = 200 kNbarra: Ø40 mm, E = 200 GPatubo: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre a maior tensão normal σ_max na barra.

P = 10 kNtrecho 1: Ø40 mm, 0,5 m, alumínio (E = 70 GPa)trecho 2: Ø16 mm, 1,5 m, alumínio (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de aço está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 100 N·md = 30 mmL = 1,2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço de latão transmite 30 kW a 1500 rpm. A tensão de cisalhamento não pode passar de 80 MPa e a torção não pode passar de 0,75° por m de comprimento. Encontre o menor diâmetro d que atende aos dois limites.

P = 30 kWN = 1500 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 0,75°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

15 kN @ 2 m20 kN @ 8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

40 kN @ 6 m15 kN/m, 0–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Encontre o momento de inércia I_x da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

b_f = 120 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 50 kN·m. Encontre a tensão de flexão σ_base na borda inferior.

b_f = 280 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 180 mmM = 50 kN·m

σ_base = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 0 MPa, σᵧ = 40 MPa e τₓᵧ = −10 MPa (tração positiva). Calcule a tensão de cisalhamento máxima no plano τ_max.

σ_x = 0 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −10 MPa

τ_max = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um tanque cilíndrico de parede fina com diâmetro interno de 1500 mm e espessura de parede de 10 mm contém gás a uma pressão manométrica de 1 MPa. Ele é feito de chapa soldada ao longo de uma costura helicoidal a 25° do eixo do cilindro. Encontre o módulo da tensão de cisalhamento |τ_n| que atua ao longo da costura de solda.

D = 1500 mmt = 10 mmp = 1 MPaα = 25°

|τ_n| = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga concentrada P a a = 3 m do apoio A. Encontre a deflexão δ_P sob a carga.

P = 10 kNa = 3 mL = 5 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w e uma carga concentrada P no meio do vão. Usando superposição, encontre a deflexão no meio do vão δ_max.

P = 29 kNw = 15 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está articulado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (aço)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e articulado no topo. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 1,5 mE = 200 GPa (aço)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 0,05457 mm

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·8482 = 1,1 × 10⁹ N

Encurtamento

δ = 200000·300/1,1 × 10⁹ = 0,05457 mm

Resposta

δ = 0,05457 mm

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ_max = 49,74 MPa

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 7,958 MPa

σ₂ = 49,74 MPa

Maior tensão

O trecho mais fino tem a menor área, então suporta a maior tensão.

σ_max = 49,74 MPa

Resposta

σ_max = 49,74 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 1,081 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1200/(80000·79522) = 0,01886 rad

φ = 0,01886·180/π = 1,081°

Resposta

φ = 1,081°

4.Torção de eixos

Resposta: d = 44,18 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 30000/157,1 = 191 N·m

Diâmetro pela resistência

T = 191 N·m = 190986 N·mm

d_τ = ∛(16·190986/(π·80)) = 22,99 mm

Diâmetro pela rigidez

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·190986/(π·39000·1,309 × 10⁻⁵))^1/4 = 44,18 mm

Diâmetro determinante

Os dois limites devem ser atendidos, então o maior diâmetro governa.

d = max(22,99, 44,18) = 44,18 mm

Resposta

d = 44,18 mm

Aqui a rigidez governa.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: E (x = 8 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 19,17 kN, R₂ = 15,83 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 38,33, M_C = 46,67, M_D = 55, M_E = 63,33 kN·m, M_F = 31,67, M_G = 0

Resposta

Marca E: M_E = 63,33 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: F (x = 5 m)

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 29,5 kN, R₂ = 85,5 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 22, M_C = 29, M_D = 21, M_E = −2, M_F = −40 kN·m, M_G = 0

Resposta

Marca F: M_F = −40 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 43,1 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 120·10 = 1200 mm², y_f = 300 + 10/2 = 305 mm

alma: A_w = 10·300 = 3000 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1200·305 + 3000·150)/4200 = 194,3 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 120·10³/12 + 1200·(305 − 194,3)² = 1,472 × 10⁷ mm⁴

alma: 10·300³/12 + 3000·(150 − 194,3)² = 2,838 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,472 × 10⁷ + 2,838 × 10⁷ = 4,31 × 10⁷ mm⁴ = 43,1 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 43,1 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_base = 237,1 MPa

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 280·20 = 5600 mm², y_f = 180 + 20/2 = 190 mm

alma: A_w = 20·180 = 3600 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5600·190 + 3600·90)/9200 = 150,9 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 280·20³/12 + 5600·(190 − 150,9)² = 8,761 × 10⁶ mm⁴

alma: 20·180³/12 + 3600·(90 − 150,9)² = 2,306 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,761 × 10⁶ + 2,306 × 10⁷ = 3,182 × 10⁷ mm⁴

Tensão de flexão

A borda inferior está a ȳ do eixo.

y = 150,9 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·150,9/3,182 × 10⁷ = 237,1 MPa

Resposta

σ_base = 237,1 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_max = 22,36 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Raio do círculo de Mohr

τ_max = R = √(((0 − 40)/2)² + −10²) = 22,36 MPa

Resposta

τ_max = 22,36 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: |τ_n| = 14,36 MPa

Tensões na parede

r = 1500/2 = 750 mm

σ_h = pr/t = 1·750/10 = 75 MPa

σ_a = pr/(2t) = 37,5 MPa

Transforme para a costura

Tome x ao longo do eixo (σ_a) e y na direção circunferencial (σ_h). A normal da costura forma 90° − α com o eixo.

|τ_n| = (75 − 37,5)·sin 25°·cos 25° = 14,36 MPa

Resposta

|τ_n| = 14,36 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_P = 13,64 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 10000 N, a = 3000 mm, b = 2000 mm, L = 5000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Deflexão sob a carga

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 10000·3000²·2000²/(3·1,76 × 10¹²·5000) = 13,64 mm

Resposta

δ_P = 13,64 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 20,1 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 29000 N, w = 15 N/mm, L = 2000 mm, EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Cada carga sozinha

δ_P = PL³/(48EI) = 29000·2000³/(48·3,96 × 10¹¹) = 12,21 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2000⁴/(384·3,96 × 10¹¹) = 7,891 mm

Some

δ_max = 12,21 + 7,891 = 20,1 mm

Resposta

δ_max = 20,1 mm

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 200,9 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 1·2500 = 2500 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2500² = 200921 N = 200,9 kN

Resposta

P_cr = 200,9 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 69,94 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

KL/r = 1050/6,25 = 168

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/168² = 69,94 MPa

Resposta

σ_cr = 69,94 MPa

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