Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercícios Voltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre a deformação axial ε na barra de cobre, em microdeformação (µε = 10⁻⁶).

P = 100 kNd = 30 mmL = 3 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre a maior tensão normal σ_max na barra.

P = 15 kNtrecho 1: Ø35 mm, 1 m, cobre (E = 117 GPa)trecho 2: Ø16 mm, 2 m, cobre (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de latão está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 1000 N·md = 50 mmL = 2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço de alumínio com diâmetro 50 mm está fixo a paredes rígidas nas duas extremidades A e B. Um torque de 2000 N·m é aplicado em C, a 1,2 m de A e a 1,5 m de B. Encontre a tensão de cisalhamento máxima τ_max no eixo.

d = 50 mmT₀ = 2000 N·ma = 1,2 mb = 1,5 m

τ_max = MPa

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o esforço cortante V_x na seção x = 7 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 8 mw = 12 kN/m de 0 a 8 mx = 7 m

V_x = kN

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída sobre parte do vão. Encontre a distância x₀ de A até a seção onde o momento fletor é máximo.

L = 8 mw = 8 kN/m de 3 a 8 m

x₀ = m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Uma placa de 200 mm × 240 mm tem um furo circular de diâmetro 50 mm na sua linha de centro vertical, com o centro a 72 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 200 mmh = 240 mmd = 50 mmcentro do furo: y = 72 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 50 kN·m. Encontre o valor da tensão de flexão σ_topo na borda superior.

b_f = 120 mmt_f = 20 mmt_w = 16 mmh_w = 100 mmM = 50 kN·m

σ_topo = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto tem σₓ = 50 MPa, σᵧ = 100 MPa e τₓᵧ = 40 MPa (tração positiva). O elemento é girado 30° no sentido anti-horário. Encontre a tensão normal σ_y′ nas faces do elemento girado que são perpendiculares ao eixo girado y′.

σ_x = 50 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 30°

σ_y′ = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 20 MPa, σᵧ = −10 MPa e τₓᵧ = 50 MPa (tração positiva). Calcule a tensão normal σ_θ em um plano cuja normal está girada 25° no sentido anti-horário a partir do eixo x.

σ_x = 20 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga concentrada P a a = 1 m do apoio A. Encontre a deflexão δ_P sob a carga.

P = 28 kNa = 1 mL = 8 mE = 200 GPa (aço)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w e uma carga concentrada P no meio do vão. Usando superposição, encontre a deflexão no meio do vão δ_max.

P = 5 kNw = 15 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (alumínio)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e articulado no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (alumínio)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está articulado nas duas extremidades. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alumínio)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: ε = 1209 µε

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 100·1000/706,9 = 141,5 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for cobre = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 141,5/117000 = 0,001209 = 1209 µε

Resposta

ε = 1209 µε

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ_max = 74,6 MPa

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 15,59 MPa

σ₂ = 74,6 MPa

Maior tensão

O trecho mais fino tem a menor área, então suporta a maior tensão.

σ_max = 74,6 MPa

Resposta

σ_max = 74,6 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 4,789 °

Momento polar de inércia

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·2000/(39000·613592) = 0,08358 rad

φ = 0,08358·180/π = 4,789°

Resposta

φ = 4,789°

4.Torção de eixos

Resposta: τ_max = 45,27 MPa

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω. Quando as duas extremidades estão fixas, a estática sozinha dá apenas T_A + T_B = T₀; a segunda equação é a compatibilidade (torções iguais das duas partes na seção carregada).

Equilíbrio e compatibilidade

T_A + T_B = 2000

T_A·a = T_B·b

T_A = 2000·1,5/2,7 = 1111 N·m

T_B = 2000·1,2/2,7 = 888,9 N·m

Tensão de cisalhamento máxima

O maior dos dois torques governa (mesmo diâmetro).

τ_max = 16·1,111 × 10⁶/(π·50³) = 45,27 MPa

Resposta

τ_max = 45,27 MPa

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: V_x = −36 kN

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, atuando em x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 12·8·4

R_B = 384/8 = 48 kN

ΣF_y = 0: R_A = 96 − 48 = 48 kN

Corte em x = 7 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

V = R_A − (todas as cargas para baixo à esquerda do corte)

V_x = 48 − 12·7 = −36 kN

Resposta

V_x = −36 kN

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: x₀ = 4,563 m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, atuando em x̄ = 5,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 8·5·5,5

R_B = 220/8 = 27,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 27,5 = 12,5 kN

Cortante nulo

O esforço cortante começa em R_A, fica constante em qualquer trecho descarregado e cai com inclinação w dentro da carga.

R_A − w·(x₀ − 3) = 0

x₀ = 3 + 12,5/8 = 4,563 m

Resposta

x₀ = 4,563 m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 225,4 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (48000·120 − 1963·72)/(48000 − 1963) = 122 mm

Placa inteira em torno de ȳ

200·240³/12 + 48000·−2,047² = 230,6 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−50,05² = 5,225 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 225,4 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 225,4 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_topo = 349,1 MPa

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 120·20 = 2400 mm², y_f = 100 + 20/2 = 110 mm

alma: A_w = 16·100 = 1600 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·110 + 1600·50)/4000 = 86 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 120·20³/12 + 2400·(110 − 86)² = 1,462 × 10⁶ mm⁴

alma: 16·100³/12 + 1600·(50 − 86)² = 3,407 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,462 × 10⁶ + 3,407 × 10⁶ = 4,869 × 10⁶ mm⁴

Tensão de flexão

A borda superior está a h − ȳ do eixo.

y = 120 − 86 = 34 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·34/4,869 × 10⁶ = 349,1 MPa

Resposta

σ_topo = 349,1 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_y′ = 52,86 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Equação de transformação para a face y′

σ_y′ = 75 − (−25)·0,5 − 40·0,866 = 52,86 MPa

Verificação

A soma das tensões normais não muda com a rotação.

σ_x′ = 97,14 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 150 = σ_x + σ_y

Resposta

σ_y′ = 52,86 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_θ = 52,94 MPa

Equação de transformação

σ_θ = 5 + 15·0,6428 + 50·0,766 = 52,94 MPa

Resposta

σ_θ = 52,94 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_P = 2,382 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 28000 N, a = 1000 mm, b = 7000 mm, L = 8000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Deflexão sob a carga

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 28000·1000²·7000²/(3·2,4 × 10¹³·8000) = 2,382 mm

Resposta

δ_P = 2,382 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 2,459 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 5000 N, w = 15 N/mm, L = 2000 mm, EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Cada carga sozinha

δ_P = PL³/(48EI) = 5000·2000³/(48·1,61 × 10¹²) = 0,5176 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2000⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 1,941 mm

Some

δ_max = 0,5176 + 1,941 = 2,459 mm

Resposta

δ_max = 2,459 mm

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 2,242 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/3500² = 2242 N = 2,242 kN

Resposta

P_cr = 2,242 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 24,87 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/15 = 166,7

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/166,7² = 24,87 MPa

Resposta

σ_cr = 24,87 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials