Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Uma barra é feita de um trecho de aço (diâmetro 30 mm, comprimento 300 mm, E = 200 GPa) unido topo a topo a um trecho de latão (diâmetro 40 mm, comprimento 400 mm, E = 100 GPa). Ela é fixa em uma extremidade e puxada na outra. Encontre a carga axial P que a alonga 0,25 mm no total.

trecho 1: aço, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPatrecho 2: latão, Ø40 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre o alongamento total δ.

P = 120 kNtrecho 1: Ø40 mm, 2 m, latão (E = 100 GPa)trecho 2: Ø16 mm, 1 m, aço (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de aço com 1,5 m de comprimento suporta um torque de 100 N·m. O ângulo de torção entre suas extremidades não pode passar de 2°. Encontre o menor diâmetro d que atende a esse limite.

T = 100 N·mL = 1,5 mG = 80 GPaφ_allow = 2°

d = mm

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço de alumínio com diâmetro 60 mm está fixo em A. Um torque de 100 N·m atua em B, a 1,5 m de A, e um torque de 500 N·m no sentido oposto atua na extremidade livre C, 0,8 m adiante. Encontre a tensão de cisalhamento máxima τ_max no eixo.

d = 60 mmT_B = 100 N·mT_C = 500 N·mAB = 1,5 mBC = 0,8 m

τ_max = MPa

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 1,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 6 mw = 6 kN/m de 0 a 6 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 2 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 6 mP = 35 kN em 3,5 mw = 10 kN/m de 0 a 6 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Uma placa de 200 mm × 300 mm tem um furo circular de diâmetro 50 mm na sua linha de centro vertical, com o centro a 210 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 200 mmh = 300 mmd = 50 mmcentro do furo: y = 210 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Um perfil I simétrico tem mesas de 240 mm de largura e 18 mm de espessura, altura total de 480 mm e alma de 8 mm de espessura. Ela suporta um momento fletor de 200 kN·m em relação ao eixo x. Encontre o módulo da tensão de flexão σ_j na junção da alma com a mesa superior.

B = 240 mmH = 480 mmt_f = 18 mmt_w = 8 mmM = 200 kN·m

σ_j = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = −50 MPa, σᵧ = 20 MPa e τₓᵧ = −30 MPa (tração positiva). Calcule a tensão de cisalhamento máxima no plano τ_max.

σ_x = −50 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −30 MPa

τ_max = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma placa fina está em estado plano de tensão: σₓ = 110 MPa, σᵧ = 50 MPa e τₓᵧ = 20 MPa (σ_z = 0). Encontre a tensão equivalente de von Mises σ_vM.

σ_x = 110 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 20 MPa

σ_vM = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço de comprimento L está engastada em A e suporta uma carga concentrada P a uma distância a = 1 m de A. Encontre a deflexão δ_B na extremidade livre B.

P = 11 kNa = 1 mL = 2 mE = 70 GPa (alumínio)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w. Sua deflexão não pode passar de vão/360. Encontre o menor momento de inércia I_req que atende a esse limite.

w = 12 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (alumínio)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está articulado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (aço)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e livre no topo. Ele deve suportar 15 kN com um fator de segurança de 3 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 15 kNn = 3L = 5 mE = 70 GPa (alumínio)

d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: P = 47,12 kN

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1257 mm²

Flexibilidades

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·706,9) = 2,122 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·1257) = 3,183 × 10⁻⁶ mm/N

Carga

P = 0,25/5,305 × 10⁻⁶ = 47124 N = 47,12 kN

Resposta

P = 47,12 kN

2.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 4,894 mm

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 95,49 MPa

σ₂ = 596,8 MPa

Some os alongamentos dos trechos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 95,49·2000/100000 = 1,91 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 596,8·1000/200000 = 2,984 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,894 mm

Resposta

δ = 4,894 mm

3.Torção de eixos

Resposta: d = 27,2 mm

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar necessário

T = 100 N·m = 100000 N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 2·π/180 = 0,03491 rad

J = TL/(Gφ) = 100000·1500/(80000·0,03491) = 53715 mm⁴

Diâmetro

d = (32J/π)^1/4 = 27,2 mm

Resposta

d = 27,2 mm

Na prática você arredondaria para o próximo tamanho padrão.

4.Torção de eixos

Resposta: τ_max = 11,79 MPa

Torques internos

Sentido de T_C tomado como positivo.

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C − T_B = 500 − 100 = 400 N·m

Tensão de cisalhamento máxima

O trecho com o maior torque interno tem a maior tensão (mesmo diâmetro).

|T|_max = 500 N·m

τ_max = 16·500000/(π·60³) = 11,79 MPa

Resposta

τ_max = 11,79 MPa

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 20,25 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, atuando em x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 6·6·3

R_B = 108/6 = 18 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 18 = 18 kN

Corte em x = 1,5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 18·1,5 − 6·1,5·0,75 = 20,25 kN·m

Resposta

M_x = 20,25 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 69,17 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, atuando em x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·3,5 + 10·6·3

R_B = 302,5/6 = 50,42 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 50,42 = 44,58 kN

Corte em x = 2 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 44,58·2 − 10·2·1 = 69,17 kN·m

Resposta

M_x = 69,17 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 442,4 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (60000·150 − 1963·210)/(60000 − 1963) = 148 mm

Placa inteira em torno de ȳ

200·300³/12 + 60000·2,03² = 450,2 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

π·50⁴/64 + 1963·62,03² = 7,862 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 442,4 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 442,4 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_j = 85,45 MPa

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Retângulo externo menos os dois recortes laterais

Os dois recortes juntos têm (B − t_w) de largura e h_w = H − 2t_f de altura, e compartilham o eixo x.

h_w = 480 − 2·18 = 444 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (240·480³ − 232·444³)/12

I_x = 5,196 × 10⁸ mm⁴

Tensão de flexão

y = 240 − 18 = 222 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁸·222/5,196 × 10⁸ = 85,45 MPa

Resposta

σ_j = 85,45 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_max = 46,1 MPa

Raio do círculo de Mohr

τ_max = R = √(((−50 − 20)/2)² + −30²) = 46,1 MPa

Resposta

τ_max = 46,1 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_vM = 101,5 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R. Critérios de escoamento: von Mises prevê escoamento quando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) atinge σ_Y; Tresca quando a tensão de cisalhamento máxima absoluta atinge σ_Y/2.

Tensões principais

C = 80 MPa, R = 36,06 MPa

σ₁ = 116,1 MPa, σ₂ = 43,94 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(116,1² − 116,1·43,94 + 43,94²) = 101,5 MPa

Resposta

σ_vM = 101,5 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_B = 1,559 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 11000 N, a = 1000 mm, L = 2000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Deflexão na extremidade livre

Deflexão na carga mais a rotação na carga vezes o comprimento restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 0,6236 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,0009354 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 1,559 mm

Resposta

δ_B = 1,559 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: I_req = 173,6 × 10⁶ mm⁴

Limite de deflexão

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Momento de inércia necessário

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·6000⁴/(384·70000·16,67) = 1,736 × 10⁸ mm⁴

I_req = 173,6 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_req = 173,6 × 10⁶ mm⁴

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 110,2 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 1·6000 = 6000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/6000² = 110245 N = 110,2 kN

Resposta

P_cr = 110,2 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 107,3 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 3·15000 = 45000 N

KL = 2·5000 = 10000 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·45000·10000²/(π³·70000))^(1/4) = 107,3 mm

Resposta

d = 107,3 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 372,7, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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