Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Uma haste de aço (diâmetro 30 mm, E = 200 GPa) está dentro de um tubo de cobre (diâmetro externo 100 mm, diâmetro interno 50 mm, E = 120 GPa). Ambos têm 400 mm de comprimento e são comprimidos juntos entre placas rígidas por 150 kN. Encontre o encurtamento δ.

P = 150 kNbarra: Ø30 mm, E = 200 GPatubo: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 400 mm

δ = mm

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre o alongamento total δ.

P = 55 kNtrecho 1: Ø40 mm, 2 m, cobre (E = 117 GPa)trecho 2: Ø16 mm, 0,5 m, latão (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de latão está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 100 N·md = 25 mmL = 1,2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo vazado transmite 100 kW a 1000 rpm. Encontre a tensão de cisalhamento máxima τ_max no eixo.

P = 100 kWN = 1000 rpmd_o = 75 mmd_i = 53 mm

τ_max = MPa

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

A viga em balanço está engastada em A. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento e uma carga concentrada P a 2 m de A. Encontre o momento fletor M_A no engaste A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 5 mP = 25 kN em 2 mw = 5 kN/m de 0 a 5 m

M_A = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

25 kN @ 6 m50 kN @ 1 m10 kN/m, 0–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Encontre o momento de inércia I_x da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

b_f = 180 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Um perfil I soldado tem mesa superior de 140 × 20 mm, alma de 260 mm de altura e 10 mm de espessura, e mesa inferior de 290 × 14 mm (largura × espessura). Encontre seu momento de inércia I_x em relação ao eixo horizontal x que passa pelo centroide.

mesa superior: 140 × 20 mmalma: 10 × 260 mmmesa inferior: 290 × 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto tem σₓ = 80 MPa, σᵧ = 80 MPa e τₓᵧ = 10 MPa (tração positiva). O elemento é girado 30° no sentido anti-horário. Encontre a tensão normal σ_y′ nas faces do elemento girado que são perpendiculares ao eixo girado y′.

σ_x = 80 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 30°

σ_y′ = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = −40 MPa, σᵧ = −20 MPa e τₓᵧ = 40 MPa (tração positiva). Calcule a tensão normal σ_θ em um plano cuja normal está girada 35° no sentido anti-horário a partir do eixo x.

σ_x = −40 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 35°

σ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento. Encontre a deflexão δ na extremidade livre.

w = 4 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (alumínio)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga de madeira simplesmente apoiada, de seção retangular com 125 mm de largura, suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Sua deflexão no meio do vão não pode passar de vão/360. Encontre a menor altura h_req da seção.

w = 2,5 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (madeira estrutural)b = 125 mm

h_req = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e livre no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (aço)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e articulado no topo. Ele deve suportar 30 kN com um fator de segurança de 2,5 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 30 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 70 GPa (alumínio)

d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 0,07074 mm

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·5890 = 8,482 × 10⁸ N

Encurtamento

δ = 150000·400/8,482 × 10⁸ = 0,07074 mm

Resposta

δ = 0,07074 mm

2.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 2,116 mm

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 43,77 MPa

σ₂ = 273,5 MPa

Some os alongamentos dos trechos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 43,77·2000/117000 = 0,7482 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 273,5·500/100000 = 1,368 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,116 mm

Resposta

δ = 2,116 mm

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 4,597 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1200/(39000·38350) = 0,08023 rad

φ = 0,08023·180/π = 4,597°

Resposta

φ = 4,597°

4.Torção de eixos

Resposta: τ_max = 15,36 MPa

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 100000/104,7 = 954,9 N·m

Momento polar de inércia

J = π(75⁴ − 53⁴)/32 = 2,332 × 10⁶ mm⁴

Tensão de cisalhamento máxima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 954930·37,5/2,332 × 10⁶ = 15,36 MPa

Resposta

τ_max = 15,36 MPa

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_A = −112,5 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Fique com a parte da extremidade livre

P: −25·2 = −50 kN·m

w: −5·5²/2 = −62,5 kN·m

M_A = −50 − 62,5 = −112,5 kN·m

Resposta

M_A = −112,5 kN·m

Negativo significa tração na face superior.

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: B (x = 1 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 60 kN, R₂ = 65 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 55 kN·m, M_C = 50, M_D = 35, M_E = 10, M_F = −25, M_G = 0

Resposta

Marca B: M_B = 55 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 86,21 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 180·30 = 5400 mm², y_f = 300 + 30/2 = 315 mm

alma: A_w = 12·300 = 3600 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5400·315 + 3600·150)/9000 = 249 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 180·30³/12 + 5400·(315 − 249)² = 2,393 × 10⁷ mm⁴

alma: 12·300³/12 + 3600·(150 − 249)² = 6,228 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,393 × 10⁷ + 6,228 × 10⁷ = 8,621 × 10⁷ mm⁴ = 86,21 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 86,21 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 143 × 10⁶ mm⁴

Divida em três retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa superior: A = 2800 mm², y = 284 mm

alma: A = 2600 mm², y = 144 mm

mesa inferior: A = 4060 mm², y = 7 mm

Centroide

ȳ = (2800·284 + 2600·144 + 4060·7)/9460 = 126,6 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa superior: 140·20³/12 + 2800·157,4² = 6,943 × 10⁷ mm⁴

alma: 10·260³/12 + 2600·17,36² = 1,543 × 10⁷ mm⁴

mesa inferior: 290·14³/12 + 4060·119,6² = 5,818 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,943 × 10⁷ + 1,543 × 10⁷ + 5,818 × 10⁷

I_x = 1,43 × 10⁸ mm⁴ = 143 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 143 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_y′ = 71,34 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Equação de transformação para a face y′

σ_y′ = 80 − 0·0,5 − 10·0,866 = 71,34 MPa

Verificação

A soma das tensões normais não muda com a rotação.

σ_x′ = 88,66 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 160 = σ_x + σ_y

Resposta

σ_y′ = 71,34 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_θ = 4,168 MPa

Equação de transformação

σ_θ = −30 + −10·0,342 + 40·0,9397 = 4,168 MPa

Resposta

σ_θ = 4,168 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ = 50,79 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 4000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Deflexão

δ = wL⁴/(8EI) = 4·4000⁴/(8·2,52 × 10¹²) = 50,79 mm

Resposta

δ = 50,79 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: h_req = 140,3 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

Limite de deflexão

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Momento de inércia necessário

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2,5·3000⁴/(384·11000·8,333) = 2,876 × 10⁷ mm⁴

Altura necessária

bh³/12 = I_req → h = (12·2,876 × 10⁷/125)^1/3 = 140,3 mm

Resposta

h_req = 140,3 mm

Na prática, escolha a próxima altura padronizada acima desse valor.

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 158,8 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 2·2500 = 5000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/5000² = 158752 N = 158,8 kN

Resposta

P_cr = 158,8 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 51,01 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 2,5·30000 = 75000 N

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·1750²/(π³·70000))^(1/4) = 51,01 mm

Resposta

d = 51,01 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 137,2, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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