Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercícios Voltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre a deformação axial ε na barra de alumínio, em microdeformação (µε = 10⁻⁶).

P = 25 kNd = 10 mmL = 1,5 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre o alongamento total δ.

P = 35 kNtrecho 1: Ø25 mm, 1,5 m, alumínio (E = 70 GPa)trecho 2: Ø12 mm, 0,5 m, aço (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Torção de eixosMédia

Um eixo vazado deve suportar um torque de 2000 N·m. Seu diâmetro interno deve ser 0,75 vezes o diâmetro externo, e a tensão de cisalhamento não pode passar de 75 MPa. Encontre o menor diâmetro externo d_o.

T = 2000 N·md_i/d_o = 0,75τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço de aço transmite 30 kW a 1450 rpm. A tensão de cisalhamento não pode passar de 50 MPa e a torção não pode passar de 0,5° por m de comprimento. Encontre o menor diâmetro d que atende aos dois limites.

P = 30 kWN = 1450 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

A viga simplesmente apoiada suporta duas cargas concentradas. Encontre o momento fletor máximo M_max na viga.

L = 4 mP₁ = 30 kN em 2 mP₂ = 65 kN em 3 m

M_max = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 3 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 6 mP = 60 kN em 1,5 mw = 10 kN/m de 0 a 6 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Um perfil U está com o lado aberto para cima: uma chapa de base de 300 mm de largura com duas abas verticais, com altura total de 120 mm. Base e abas têm todas 8 mm de espessura. Encontre seu momento de inércia I_x em relação ao eixo horizontal x que passa pelo centroide.

b = 300 mmh = 120 mmt = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Uma viga de ferro fundido tem a seção T mostrada, com a mesa em cima. As tensões admissíveis são 40 MPa na tração e 150 MPa na compressão. Encontre o maior momento fletor positivo M_allow que a viga pode suportar.

b_f = 260 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 160 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto tem σₓ = 70 MPa e σᵧ = 30 MPa. Até que valor a tensão de cisalhamento τ_xy (em módulo) pode chegar antes que a maior tensão principal atinja 120 MPa?

σ_x = 70 MPaσ_y = 30 MPaσ₁ = 120 MPa

τ_xy = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma placa fina está em estado plano de tensão: σₓ = 150 MPa, σᵧ = 70 MPa e τₓᵧ = −30 MPa (σ_z = 0). Encontre a tensão equivalente de von Mises σ_vM.

σ_x = 150 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −30 MPa

σ_vM = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a deflexão máxima δ_max, no meio do vão.

w = 5 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (aço)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga concentrada P a b = 2,5 m do apoio B. Encontre a deflexão máxima δ_max da viga.

P = 29 kNb = 2,5 mL = 8 mE = 200 GPa (aço)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está articulado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (aço)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de alumínio está engastado nas duas extremidades. Ele deve suportar 80 kN com um fator de segurança de 2 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 80 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (alumínio)

d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: ε = 4547 µε

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 25·1000/78,54 = 318,3 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for alumínio = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 318,3/70000 = 0,004547 = 4547 µε

Resposta

ε = 4547 µε

2.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 2,302 mm

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 71,3 MPa

σ₂ = 309,5 MPa

Some os alongamentos dos trechos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 71,3·1500/70000 = 1,528 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 309,5·500/200000 = 0,7737 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,302 mm

Resposta

δ = 2,302 mm

3.Torção de eixos

Resposta: d_o = 58,35 mm

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Diâmetro externo pela tensão admissível

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·2 × 10⁶/(π·75·0,6836)) = 58,35 mm

d_i = 0,75·58,35 = 43,76 mm

Resposta

d_o = 58,35 mm

Um eixo maciço precisaria de d = 51,4 mm; o vazado é um pouco maior, mas muito mais leve.

4.Torção de eixos

Resposta: d = 41,2 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 30000/151,8 = 197,6 N·m

Diâmetro pela resistência

T = 197,6 N·m = 197572 N·mm

d_τ = ∛(16·197572/(π·50)) = 27,2 mm

Diâmetro pela rigidez

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·197572/(π·80000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 41,2 mm

Diâmetro determinante

Os dois limites devem ser atendidos, então o maior diâmetro governa.

d = max(27,2, 41,2) = 41,2 mm

Resposta

d = 41,2 mm

Aqui a rigidez governa.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 63,75 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·2 + 65·3

R_B = 255/4 = 63,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 63,75 = 31,25 kN

Momento sob cada carga

Fique com a parte à esquerda de cada carga.

sob P₁: M = R_A·2 = 31,25·2 = 62,5 kN·m

sob P₂: M = R_B·1 = 63,75·1 = 63,75 kN·m

Maior valor

M_max = 63,75 kN·m (sob P₂)

Resposta

M_max = 63,75 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 90 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, atuando em x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·1,5 + 10·6·3

R_B = 270/6 = 45 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 45 = 75 kN

Corte em x = 3 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 75·3 − 60·(3 − 1,5) − 10·3·1,5 = 90 kN·m

Resposta

M_x = 90 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 5,579 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em retângulos

Tome a base com a largura total e as duas abas acima dela (altura h − t), para que nada seja contado duas vezes.

base: A₁ = 300·8 = 2400 mm², y₁ = 4 mm

duas abas: A₂ = 2·8·112 = 1792 mm², y₂ = 8 + 112/2 = 64 mm

Centroide

ȳ = (2400·4 + 1792·64)/4192 = 29,65 mm

Teorema dos eixos paralelos

base: 300·8³/12 + 2400·(4 − 29,65)² = 1,592 × 10⁶ mm⁴

duas abas: 2·8·112³/12 + 1792·(64 − 29,65)² = 3,988 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,592 × 10⁶ + 3,988 × 10⁶

I_x = 5,579 × 10⁶ mm⁴ = 5,579 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 5,579 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: M_allow = 5,88 kN·m

Centroide

ȳ = (6500·172,5 + 2560·80)/9060 = 146,4 mm

borda superior: c = 185 − 146,4 = 38,64 mm

Momento de inércia de área

I = 260·25³/12 + 6500·26,14² + 16·160³/12 + 2560·66,36² = 2,151 × 10⁷ mm⁴

Momento admitido por cada borda

Momento positivo: a face superior fica comprimida, a inferior tracionada.

borda superior: M = 150·2,151 × 10⁷/38,64 = 83,53 kN·m

borda inferior: M = 40·2,151 × 10⁷/146,4 = 5,88 kN·m

Valor determinante

M_allow = min = 5,88 kN·m (borda inferior)

Resposta

M_allow = 5,88 kN·m

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_xy = 67,08 MPa

Raio necessário

C = (70 + 30)/2 = 50 MPa

R = σ₁ − C = 120 − 50 = 70 MPa

Tensão de cisalhamento

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(70² − 20²) = 67,08 MPa

Resposta

τ_xy = 67,08 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_vM = 140 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R. Critérios de escoamento: von Mises prevê escoamento quando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) atinge σ_Y; Tresca quando a tensão de cisalhamento máxima absoluta atinge σ_Y/2.

Tensões principais

C = 110 MPa, R = 50 MPa

σ₁ = 160 MPa, σ₂ = 60 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(160² − 160·60 + 60²) = 140 MPa

Resposta

σ_vM = 140 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 1,06 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 2500 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Deflexão

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·2500⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 1,06 mm

Resposta

δ_max = 1,06 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 22,38 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 29000 N, b = 2500 mm, L = 8000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Posição do máximo

Igualar a zero a rotação no trecho mais longo dá a posição.

x = √((L² − b²)/3) = √((8000² − 2500²)/3) = 4387 mm

Deflexão máxima

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 22,38 mm

Resposta

δ_max = 22,38 mm

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 4,905 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 1·4000 = 4000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/4000² = 4905 N = 4,905 kN

Resposta

P_cr = 4,905 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 57,08 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 2·80000 = 160000 N

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·160000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 57,08 mm

Resposta

d = 57,08 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 105,1, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials