Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercícios Voltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre a deformação axial ε na barra de latão, em microdeformação (µε = 10⁻⁶).

P = 20 kNd = 16 mmL = 3 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Tensão e deformação axialDifícil

Um trecho de aço (diâmetro 20 mm, comprimento 400 mm, E = 200 GPa) e um trecho de cobre (diâmetro 30 mm, comprimento 400 mm, E = 120 GPa) são unidos topo a topo e fixados entre duas paredes rígidas. Uma carga axial de 80 kN atua na junção, no sentido do trecho 2. Encontre o valor da tensão σ₂ no trecho 2.

trecho 1: aço, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPatrecho 2: cobre, Ø30 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço escalonado de alumínio está fixo em A. O trecho AB tem diâmetro 30 mm e comprimento 1,5 m; o trecho BC tem diâmetro 25 mm e comprimento 1,5 m. Um torque de 100 N·m atua na extremidade livre C. Encontre o ângulo de torção φ_C da extremidade C, em graus.

T = 100 N·md₁ = 30 mm, L₁ = 1,5 md₂ = 25 mm, L₂ = 1,5 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço deve transmitir 75 kW a 300 rpm sem que a tensão de cisalhamento passe de 40 MPa. Encontre o menor diâmetro d que funciona.

P = 75 kWN = 300 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

20 kN @ 6 m5 kN/m, 2–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída sobre parte do vão. Encontre o momento fletor máximo M_max na viga.

L = 5 mw = 24 kN/m de 1 a 4 m

M_max = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Uma placa de 120 mm × 150 mm tem um furo circular de diâmetro 50 mm na sua linha de centro vertical, com o centro a 90 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 120 mmh = 150 mmd = 50 mmcentro do furo: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Um perfil I soldado tem mesa superior de 170 × 18 mm, alma de 330 mm de altura e 14 mm de espessura, e mesa inferior de 280 × 16 mm (largura × espessura). Encontre seu momento de inércia I_x em relação ao eixo horizontal x que passa pelo centroide.

mesa superior: 170 × 18 mmalma: 14 × 330 mmmesa inferior: 280 × 16 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma placa fina está em estado plano de tensão: σₓ = −70 MPa, σᵧ = −30 MPa e τₓᵧ = 20 MPa, com σ_z = 0. Encontre a tensão de cisalhamento máxima absoluta τ_abs no ponto (considerando todos os planos em três dimensões).

σ_x = −70 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 150 MPa, σᵧ = −30 MPa e τₓᵧ = 20 MPa (tração positiva). Calcule a tensão normal σ_θ em um plano cuja normal está girada 20° no sentido horário a partir do eixo x.

σ_x = 150 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 20 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a rotação θ_A da viga no apoio A, em radianos.

w = 15 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 84 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w. Sua deflexão não pode passar de vão/360. Encontre o menor momento de inércia I_req que atende a esse limite.

w = 6 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (aço)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e livre no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (aço)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e livre no topo. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 1,5 mE = 200 GPa (aço)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: ε = 994,7 µε

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 20·1000/201,1 = 99,47 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for latão = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 99,47/100000 = 0,0009947 = 994,7 µε

Resposta

ε = 994,7 µε

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ₂ = 65,02 MPa

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Rigidezes

k₁ = 200000·314,2/400 = 157080 N/mm

k₂ = 120000·706,9/400 = 212058 N/mm

Fatia do trecho 2

F₂ = 80000·212058/369137 = 45957 N

Tensão

σ₂ = 45957/706,9 = 65,02 MPa (compressão)

Resposta

σ₂ = 65,02 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ_C = 12,78 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momentos polares

J₁ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

J₂ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Torção de cada trecho

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 100000·1500/(26000·79522) = 0,07255 rad

φ_BC = 100000·1500/(26000·38350) = 0,1504 rad

Torção total

φ_C = 0,07255 + 0,1504 = 0,223 rad = 12,78°

Resposta

φ_C = 12,78°

4.Torção de eixos

Resposta: d = 67,24 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 75000/31,42 = 2387 N·m

Diâmetro a partir da tensão admissível

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·2,387 × 10⁶/(π·40)) = 67,24 mm

Resposta

d = 67,24 mm

Na prática você arredondaria para o próximo tamanho padrão.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: D (x = 6 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 30,83 kN, R₂ = 39,17 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 61,67, M_C = 113,3, M_D = 145 kN·m, M_E = 116,7, M_F = 68,33, M_G = 0

Resposta

Marca D: M_D = 145 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 63 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 24·3 = 72 kN, atuando em x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 24·3·2,5

R_B = 180/5 = 36 kN

ΣF_y = 0: R_A = 72 − 36 = 36 kN

Cortante nulo

O esforço cortante começa em R_A, fica constante em qualquer trecho descarregado e cai com inclinação w dentro da carga.

R_A − w·(x₀ − 1) = 0

x₀ = 1 + 36/24 = 2,5 m

Momento máximo

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 1)²/2 = 36·2,5 − 24·1,5²/2 = 63 kN·m

Resposta

M_max = 63 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 32,95 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (18000·75 − 1963·90)/(18000 − 1963) = 73,16 mm

Placa inteira em torno de ȳ

120·150³/12 + 18000·1,837² = 33,81 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

π·50⁴/64 + 1963·16,84² = 0,8634 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 32,95 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 32,95 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 264 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em três retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa superior: A = 3060 mm², y = 355 mm

alma: A = 4620 mm², y = 181 mm

mesa inferior: A = 4480 mm², y = 8 mm

Centroide

ȳ = (3060·355 + 4620·181 + 4480·8)/12160 = 161 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa superior: 170·18³/12 + 3060·194² = 1,152 × 10⁸ mm⁴

alma: 14·330³/12 + 4620·19,95² = 4,377 × 10⁷ mm⁴

mesa inferior: 280·16³/12 + 4480·153² = 1,05 × 10⁸ mm⁴

I_x = 1,152 × 10⁸ + 4,377 × 10⁷ + 1,05 × 10⁸

I_x = 2,64 × 10⁸ mm⁴ = 264 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 264 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_abs = 39,14 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R. Em três dimensões a tensão de cisalhamento máxima absoluta é (σ_max − σ_min)/2 considerando as três tensões principais; no estado plano de tensão a terceira é zero.

Tensões principais no plano

C = −50 MPa, R = √((−20)² + 20²) = 28,28 MPa

σ₁ = −21,72 MPa, σ₂ = −78,28 MPa, σ_z = 0

O maior dos três círculos

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(56,57, 21,72, 78,28)/2 = 39,14 MPa

Resposta

τ_abs = 39,14 MPa

Aqui o círculo fora do plano governa: o máximo absoluto é maior que o máximo no plano R.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_θ = 116,1 MPa

Equação de transformação

σ_θ = 60 + 90·0,766 + 20·−0,6428 = 116,1 MPa

Resposta

σ_θ = 116,1 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: θ_A = 0,002283 rad

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição). A rotação θ = dv/dx é a primeira integral de M/(EI); em unidades consistentes ela sai em radianos.

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 1500 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Rotação na extremidade

θ_A = wL³/(24EI) = 15·1500³/(24·9,24 × 10¹¹) = 0,002283 rad

Resposta

θ_A = 0,002283 rad

Isso equivale a 0,1308°.

12.Deflexão da viga

Resposta: I_req = 17,58 × 10⁶ mm⁴

Limite de deflexão

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Momento de inércia necessário

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·5000⁴/(384·200000·13,89) = 1,758 × 10⁷ mm⁴

I_req = 17,58 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_req = 17,58 × 10⁶ mm⁴

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 28,56 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 2·1500 = 3000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/3000² = 28558 N = 28,56 kN

Resposta

P_cr = 28,56 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 49,35 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·1500 = 3000 mm

KL/r = 3000/15 = 200

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Resposta

σ_cr = 49,35 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials