Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre o alongamento δ da barra de cobre sob a carga axial.

P = 75 kNd = 20 mmL = 3 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre o alongamento total δ.

P = 110 kNtrecho 1: Ø40 mm, 1 m, alumínio (E = 70 GPa)trecho 2: Ø20 mm, 1 m, latão (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de aço está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 750 N·md = 50 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo vazado deve transmitir 15 kW a 1000 rpm. Seu diâmetro interno deve ser 0,75 vezes o diâmetro externo, e a tensão de cisalhamento não pode passar de 50 MPa. Encontre o menor diâmetro externo d_o.

P = 15 kWN = 1000 rpmd_i/d_o = 0,75τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o esforço cortante V_x na seção x = 4 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 6 mw = 2 kN/m de 0 a 6 mx = 4 m

V_x = kN

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga se apoia em um apoio fixo em A e em um apoio móvel em B e se estende 1 m além de B, em balanço, até a extremidade livre C. Uma carga uniformemente distribuída w atua em todo o comprimento A–C. Encontre o momento fletor positivo máximo M_max entre os apoios.

L = 7 mw = 10 kN/m de 0 a 7 mapoios em x = 0 e x = 6 m

M_max = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Encontre o momento de inércia I_x da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

b_f = 160 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Uma placa de 150 mm × 240 mm tem um recorte retangular de 60 mm de largura e 50 mm de altura, centrado na linha de centro vertical, com seu centro a 168 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 150 mmh = 240 mmrecorte: 60 × 50 mmcentro do furo: y = 168 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto tem σₓ = 0 MPa, σᵧ = 120 MPa e τₓᵧ = −50 MPa (tração positiva). Encontre o ângulo θ_s, entre −90° e 90°, do eixo x até a normal do plano em que a tensão de cisalhamento tem seu valor máximo positivo +R (cisalhamento positivo no mesmo sentido de τₓᵧ).

σ_x = 0 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_s = °

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 40 MPa, σᵧ = 100 MPa e τₓᵧ = 30 MPa (tração positiva). Calcule a tensão normal σ_θ em um plano cuja normal está girada 30° no sentido horário a partir do eixo x.

σ_x = 40 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 30 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento. Encontre a deflexão δ na extremidade livre.

w = 2 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (alumínio)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga engastada e apoiada está engastada em A e simplesmente apoiada em B. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento. EI é constante. Encontre o módulo do momento fletor M_A no engaste.

L = 3 mw = 12 kN/m

M_A = kN·m

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e articulado no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (aço)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de aço está engastado na base e articulado no topo. Ele deve suportar 15 kN com um fator de segurança de 2,5 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 15 kNn = 2,5L = 1,5 mE = 200 GPa (aço)

d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 6,121 mm

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 75·1000/314,2 = 238,7 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for cobre = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 238,7/117000 = 0,00204 = 2040 µε

Alongamento

δ = ε·L = 0,00204·3000 mm = 6,121 mm

Resposta

δ = 6,121 mm

2.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 4,752 mm

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 87,54 MPa

σ₂ = 350,1 MPa

Some os alongamentos dos trechos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 87,54·1000/70000 = 1,251 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 350,1·1000/100000 = 3,501 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,752 mm

Resposta

δ = 4,752 mm

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 0,8754 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1000/(80000·613592) = 0,01528 rad

φ = 0,01528·180/π = 0,8754°

Resposta

φ = 0,8754°

4.Torção de eixos

Resposta: d_o = 27,74 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 15000/104,7 = 143,2 N·m

Diâmetro externo pela tensão admissível

T = 143,2 N·m = 143239 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·143239/(π·50·0,6836)) = 27,74 mm

d_i = 0,75·27,74 = 20,8 mm

Resposta

d_o = 27,74 mm

Um eixo maciço precisaria de d = 24,44 mm; o vazado é um pouco maior, mas muito mais leve.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: V_x = −2 kN

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, atuando em x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 2·6·3

R_B = 36/6 = 6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 6 = 6 kN

Corte em x = 4 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

V = R_A − (todas as cargas para baixo à esquerda do corte)

V_x = 6 − 2·4 = −2 kN

Resposta

V_x = −2 kN

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 42,53 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira, incluindo a carga no balanço.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 10·7 = 70 kN, atuando em x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·7·3,5

R_B = 245/6 = 40,83 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 40,83 = 29,17 kN

Cortante nulo

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 29,17/10 = 2,917 m

Momento positivo máximo

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 29,17²/(2·10) = 42,53 kN·m

Resposta

M_max = 42,53 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 10,48 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 160·30 = 4800 mm², y_f = 140 + 30/2 = 155 mm

alma: A_w = 10·140 = 1400 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·155 + 1400·70)/6200 = 135,8 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 160·30³/12 + 4800·(155 − 135,8)² = 2,128 × 10⁶ mm⁴

alma: 10·140³/12 + 1400·(70 − 135,8)² = 8,349 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,128 × 10⁶ + 8,349 × 10⁶ = 1,048 × 10⁷ mm⁴ = 10,48 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 10,48 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 164,6 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (36000·120 − 3000·168)/(36000 − 3000) = 115,6 mm

Placa inteira em torno de ȳ

150·240³/12 + 36000·4,364² = 173,5 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

60·50³/12 + 3000·52,36² = 8,851 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 164,6 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 164,6 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: θ_s = 64,9 °

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Ângulo no círculo

No círculo de Mohr o ponto do topo (+R) está a 90° do ponto principal σ₁; no elemento isso corresponde a 45°.

cos 2θ_s = −50/78,1 = −0,6402, sin 2θ_s = −(−60)/78,1 = 0,7682

2θ_s = atan2(60, −50) = 129,8°

Ângulo no elemento

θ_s = 64,9°

verificação: θ_s − θ_p = 64,9 − (−70,1) = 135°

Resposta

θ_s = 64,9°

Ângulos positivos são no sentido anti-horário.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_θ = 29,02 MPa

Equação de transformação

σ_θ = 70 + −30·0,5 + 30·−0,866 = 29,02 MPa

Resposta

σ_θ = 29,02 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ = 16,04 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 4000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Deflexão

δ = wL⁴/(8EI) = 2·4000⁴/(8·3,99 × 10¹²) = 16,04 mm

Resposta

δ = 16,04 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: M_A = 13,5 kN·m

Retire o apoio

Sem o apoio a viga é um balanço. Sua extremidade livre defletiria sob a carga.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Compatibilidade no apoio

A força do apoio R_B sozinha levanta a extremidade livre em R_BL³/(3EI). O apoio mantém B com deflexão zero, então as duas devem se anular. EI se cancela.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·12·3/8 = 13,5 kN

Momento no engaste

Momentos em relação a A das cargas e da força do apoio.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 54 − 40,5 = 13,5 kN·m

Resposta

M_A = 13,5 kN·m

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 160,2 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2800² = 160173 N = 160,2 kN

Resposta

P_cr = 160,2 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 25,56 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 2,5·15000 = 37500 N

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·37500·1050²/(π³·200000))^(1/4) = 25,56 mm

Resposta

d = 25,56 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 164,3, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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