Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre o alongamento δ da barra de cobre sob a carga axial.

P = 20 kNd = 20 mmL = 2,5 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre a maior tensão normal σ_max na barra.

P = 10 kNtrecho 1: Ø35 mm, 0,5 m, aço (E = 200 GPa)trecho 2: Ø12 mm, 1,5 m, cobre (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de latão está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 400 N·md = 30 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço deve transmitir 50 kW a 1000 rpm sem que a tensão de cisalhamento passe de 80 MPa. Encontre o menor diâmetro d que funciona.

P = 50 kWN = 1000 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

35 kN @ 4 m4 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída sobre parte do vão. Encontre o momento fletor máximo M_max na viga.

L = 5 mw = 24 kN/m de 2 a 4 m

M_max = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Um perfil I simétrico tem mesas de 140 mm de largura e 18 mm de espessura, altura total de 360 mm e alma de 6 mm de espessura. Encontre seu momento de inércia I_x em relação ao eixo centroidal horizontal x.

B = 140 mmH = 360 mmt_f = 18 mmt_w = 6 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 50 kN·m. Encontre o valor da tensão de flexão σ_topo na borda superior.

b_f = 260 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 220 mmM = 50 kN·m

σ_topo = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto tem σₓ = 0 MPa, σᵧ = −80 MPa e τₓᵧ = 60 MPa (tração positiva). Encontre o ângulo θ_s, entre −90° e 90°, do eixo x até a normal do plano em que a tensão de cisalhamento tem seu valor máximo positivo +R (cisalhamento positivo no mesmo sentido de τₓᵧ).

σ_x = 0 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_s = °

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = −80 MPa, σᵧ = 100 MPa e τₓᵧ = −10 MPa (tração positiva). Calcule a tensão de cisalhamento τ_θ em um plano cuja normal está girada 20° no sentido anti-horário a partir do eixo x (positiva no mesmo sentido de τₓᵧ).

σ_x = −80 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 20°

τ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a deflexão máxima δ_max, no meio do vão.

w = 15 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga engastada e apoiada está engastada em A e simplesmente apoiada em B. Ela suporta uma carga concentrada P no meio do vão. EI é constante. Encontre a reação R_B no apoio B.

L = 4 mP = 65 kN em 2 m

R_B = kN

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (aço)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de alumínio está articulado nas duas extremidades. Ele deve suportar 10 kN com um fator de segurança de 2,5 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 10 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 70 GPa (alumínio)

d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 1,36 mm

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 20·1000/314,2 = 63,66 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for cobre = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 63,66/117000 = 0,0005441 = 544,1 µε

Alongamento

δ = ε·L = 0,0005441·2500 mm = 1,36 mm

Resposta

δ = 1,36 mm

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ_max = 88,42 MPa

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 10,39 MPa

σ₂ = 88,42 MPa

Maior tensão

O trecho mais fino tem a menor área, então suporta a maior tensão.

σ_max = 88,42 MPa

Resposta

σ_max = 88,42 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 7,39 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1000/(39000·79522) = 0,129 rad

φ = 0,129·180/π = 7,39°

Resposta

φ = 7,39°

4.Torção de eixos

Resposta: d = 31,21 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 50000/104,7 = 477,5 N·m

Diâmetro a partir da tensão admissível

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·477465/(π·80)) = 31,21 mm

Resposta

d = 31,21 mm

Na prática você arredondaria para o próximo tamanho padrão.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: E (x = 4 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 23,67 kN, R₂ = 35,33 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 21,67, M_C = 39,33, M_D = 53, M_E = 62,67 kN·m, M_F = 33,33, M_G = 0

Resposta

Marca E: M_E = 62,67 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 46,08 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 24·2 = 48 kN, atuando em x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 24·2·3

R_B = 144/5 = 28,8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 28,8 = 19,2 kN

Cortante nulo

O esforço cortante começa em R_A, fica constante em qualquer trecho descarregado e cai com inclinação w dentro da carga.

R_A − w·(x₀ − 2) = 0

x₀ = 2 + 19,2/24 = 2,8 m

Momento máximo

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 2)²/2 = 19,2·2,8 − 24·0,8²/2 = 46,08 kN·m

Resposta

M_max = 46,08 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 164,5 × 10⁶ mm⁴

Momento de inércia de área: para um retângulo em relação ao seu próprio eixo centroidal I = bh³/12, e em relação à sua base bh³/3 (teorema dos eixos paralelos I = I_c + A·d²). Um furo é tratado subtraindo seu I, desde que as duas partes usem o mesmo eixo. O módulo de resistência elástico é S = I/c, onde c é a distância até a fibra mais afastada.

Retângulo externo menos os dois recortes laterais

Os dois recortes juntos têm (B − t_w) de largura e h_w = H − 2t_f de altura, e compartilham o eixo x.

h_w = 360 − 2·18 = 324 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (140·360³ − 134·324³)/12

I_x = 1,645 × 10⁸ mm⁴ = 164,5 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 164,5 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_topo = 77,25 MPa

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 260·15 = 3900 mm², y_f = 220 + 15/2 = 227,5 mm

alma: A_w = 18·220 = 3960 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3900·227,5 + 3960·110)/7860 = 168,3 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 260·15³/12 + 3900·(227,5 − 168,3)² = 1,374 × 10⁷ mm⁴

alma: 18·220³/12 + 3960·(110 − 168,3)² = 2,943 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,374 × 10⁷ + 2,943 × 10⁷ = 4,317 × 10⁷ mm⁴

Tensão de flexão

A borda superior está a h − ȳ do eixo.

y = 235 − 168,3 = 66,7 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·66,7/4,317 × 10⁷ = 77,25 MPa

Resposta

σ_topo = 77,25 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: θ_s = −16,85 °

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Ângulo no círculo

No círculo de Mohr o ponto do topo (+R) está a 90° do ponto principal σ₁; no elemento isso corresponde a 45°.

cos 2θ_s = 60/72,11 = 0,8321, sin 2θ_s = −40/72,11 = −0,5547

2θ_s = atan2(−40, 60) = −33,69°

Ângulo no elemento

θ_s = −16,85°

verificação: θ_s − θ_p = −16,85 − 28,15 = −45°

Resposta

θ_s = −16,85°

Ângulos positivos são no sentido anti-horário.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_θ = 50,19 MPa

Equação de transformação

τ_θ = −−90·0,6428 + −10·0,766 = 50,19 MPa

Resposta

τ_θ = 50,19 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 12,35 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 2000 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Deflexão

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2000⁴/(384·2,53 × 10¹¹) = 12,35 mm

Resposta

δ_max = 12,35 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: R_B = 20,31 kN

Retire o apoio

Sem o apoio a viga é um balanço. Sua extremidade livre defletiria sob a carga.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Compatibilidade no apoio

A força do apoio R_B sozinha levanta a extremidade livre em R_BL³/(3EI). O apoio mantém B com deflexão zero, então as duas devem se anular. EI se cancela.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·65/16 = 20,31 kN

Resposta

R_B = 20,31 kN

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 56,85 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/2500² = 56849 N = 56,85 kN

Resposta

P_cr = 56,85 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 46,33 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 2,5·10000 = 25000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·25000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 46,33 mm

Resposta

d = 46,33 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 215,8, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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