Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre o alongamento δ da barra de aço sob a carga axial.

P = 75 kNd = 25 mmL = 1,5 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Tensão e deformação axialDifícil

Uma haste de aço (diâmetro 40 mm, E = 200 GPa, tensão admissível 160 MPa) está dentro de um tubo de cobre (diâmetro externo 100 mm, diâmetro interno 60 mm, E = 120 GPa, tensão admissível 100 MPa). Eles são comprimidos juntos entre placas rígidas. Encontre a maior carga P_max.

barra: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPatubo: Ø100/Ø60 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de latão está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 200 N·md = 50 mmL = 2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo vazado deve transmitir 30 kW a 1450 rpm. Seu diâmetro interno deve ser 0,6 vezes o diâmetro externo, e a tensão de cisalhamento não pode passar de 50 MPa. Encontre o menor diâmetro externo d_o.

P = 30 kWN = 1450 rpmd_i/d_o = 0,6τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 2 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 8 mw = 2 kN/m de 0 a 8 mx = 2 m

M_x = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga se apoia em um apoio fixo em A e em um apoio móvel em B e se estende 1,5 m além de B, em balanço, até a extremidade livre C. Uma carga uniformemente distribuída w atua em todo o comprimento A–C. Encontre o momento fletor M_B no apoio B. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 5,5 mw = 6 kN/m de 0 a 5,5 mapoios em x = 0 e x = 4 m

M_B = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Uma placa de 120 mm × 150 mm tem um furo circular de diâmetro 30 mm na sua linha de centro vertical, com o centro a 90 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 120 mmh = 150 mmd = 30 mmcentro do furo: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Uma viga de ferro fundido tem a seção T mostrada, com a mesa em cima. As tensões admissíveis são 50 MPa na tração e 150 MPa na compressão. Encontre o maior momento fletor negativo M_allow que a viga pode suportar (dê o seu módulo).

b_f = 180 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 120 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma placa fina está em estado plano de tensão: σₓ = −30 MPa, σᵧ = −30 MPa e τₓᵧ = −20 MPa, com σ_z = 0. Encontre a tensão de cisalhamento máxima absoluta τ_abs no ponto (considerando todos os planos em três dimensões).

σ_x = −30 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 140 MPa, σᵧ = −50 MPa e τₓᵧ = −40 MPa (tração positiva). Calcule a tensão normal σ_θ em um plano cuja normal está girada 15° no sentido anti-horário a partir do eixo x.

σ_x = 140 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 15°

σ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga concentrada P a a = 4 m do apoio A. Encontre a deflexão δ_P sob a carga.

P = 14 kNa = 4 mL = 5 mE = 70 GPa (alumínio)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga engastada e apoiada está engastada em A e simplesmente apoiada em B. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento. EI é constante. Encontre a reação R_B no apoio B.

L = 5 mw = 12 kN/m

R_B = kN

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e livre no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (aço)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de aço está engastado na base e articulado no topo. Ele deve suportar 85 kN com um fator de segurança de 2,5 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 85 kNn = 2,5L = 2 mE = 200 GPa (aço)

d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 1,146 mm

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 75·1000/490,9 = 152,8 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for aço = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 152,8/200000 = 0,0007639 = 763,9 µε

Alongamento

δ = ε·L = 0,0007639·1500 mm = 1,146 mm

Resposta

δ = 1,146 mm

2.Tensão e deformação axial

Resposta: P_max = 683,6 kN

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·5027 = 8,545 × 10⁸ N

Deformação governante

ε = min(0,0008, 0,0008333) = 0,0008 (aço)

Maior carga

P_max = 0,0008·8,545 × 10⁸ = 683611 N = 683,6 kN

Resposta

P_max = 683,6 kN

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 0,9577 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2000/(39000·613592) = 0,01672 rad

φ = 0,01672·180/π = 0,9577°

Resposta

φ = 0,9577°

4.Torção de eixos

Resposta: d_o = 28,49 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 30000/151,8 = 197,6 N·m

Diâmetro externo pela tensão admissível

T = 197,6 N·m = 197572 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·197572/(π·50·0,8704)) = 28,49 mm

d_i = 0,6·28,49 = 17,09 mm

Resposta

d_o = 28,49 mm

Um eixo maciço precisaria de d = 27,2 mm; o vazado é um pouco maior, mas muito mais leve.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 12 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, atuando em x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 2·8·4

R_B = 64/8 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 8 = 8 kN

Corte em x = 2 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 8·2 − 2·2·1 = 12 kN·m

Resposta

M_x = 12 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_B = −6,75 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira, incluindo a carga no balanço.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 6·5,5 = 33 kN, atuando em x̄ = 2,75 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 6·5,5·2,75

R_B = 90,75/4 = 22,69 kN

ΣF_y = 0: R_A = 33 − 22,69 = 10,31 kN

Corte em B e fique com o balanço

A carga no balanço, w·a, atua a a/2 de B e gera momento negativo sobre o apoio.

M_B = −w·a²/2 = −6·1,5²/2 = −6,75 kN·m

Resposta

M_B = −6,75 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 33,54 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (18000·75 − 706,9·90)/(18000 − 706,9) = 74,39 mm

Placa inteira em torno de ȳ

120·150³/12 + 18000·0,6131² = 33,76 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·15,61² = 0,2121 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 33,54 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 33,54 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: M_allow = 8,099 kN·m

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Centroide

ȳ = (1800·125 + 1920·60)/3720 = 91,45 mm

borda superior: c = 130 − 91,45 = 38,55 mm

Momento de inércia de área

I = 180·10³/12 + 1800·33,55² + 16·120³/12 + 1920·31,45² = 6,244 × 10⁶ mm⁴

Momento admitido por cada borda

Momento negativo: a face superior fica tracionada, a inferior comprimida.

borda superior: M = 50·6,244 × 10⁶/38,55 = 8,099 kN·m

borda inferior: M = 150·6,244 × 10⁶/91,45 = 10,24 kN·m

Valor determinante

M_allow = min = 8,099 kN·m (borda superior)

Resposta

M_allow = 8,099 kN·m

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_abs = 25 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R. Em três dimensões a tensão de cisalhamento máxima absoluta é (σ_max − σ_min)/2 considerando as três tensões principais; no estado plano de tensão a terceira é zero.

Tensões principais no plano

C = −30 MPa, R = √(0² + (−20)²) = 20 MPa

σ₁ = −10 MPa, σ₂ = −50 MPa, σ_z = 0

O maior dos três círculos

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(40, 10, 50)/2 = 25 MPa

Resposta

τ_abs = 25 MPa

Aqui o círculo fora do plano governa: o máximo absoluto é maior que o máximo no plano R.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_θ = 107,3 MPa

Equação de transformação

σ_θ = 45 + 95·0,866 + −40·0,5 = 107,3 MPa

Resposta

σ_θ = 107,3 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_P = 2,54 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 14000 N, a = 4000 mm, b = 1000 mm, L = 5000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Deflexão sob a carga

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 14000·4000²·1000²/(3·5,88 × 10¹²·5000) = 2,54 mm

Resposta

δ_P = 2,54 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: R_B = 22,5 kN

Retire o apoio

Sem o apoio a viga é um balanço. Sua extremidade livre defletiria sob a carga.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Compatibilidade no apoio

A força do apoio R_B sozinha levanta a extremidade livre em R_BL³/(3EI). O apoio mantém B com deflexão zero, então as duas devem se anular. EI se cancela.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·12·5/8 = 22,5 kN

Resposta

R_B = 22,5 kN

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 157,9 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 2·1000 = 2000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/2000² = 157914 N = 157,9 kN

Resposta

P_cr = 157,9 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 45,53 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 2,5·85000 = 212500 N

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·212500·1400²/(π³·200000))^(1/4) = 45,53 mm

Resposta

d = 45,53 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 123, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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