Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre a deformação axial ε na barra de latão, em microdeformação (µε = 10⁻⁶).

P = 100 kNd = 10 mmL = 0,5 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Tensão e deformação axialDifícil

Uma haste de aço (diâmetro 20 mm, E = 200 GPa, tensão admissível 200 MPa) está dentro de um tubo de bronze (diâmetro externo 80 mm, diâmetro interno 60 mm, E = 110 GPa, tensão admissível 70 MPa). Eles são comprimidos juntos entre placas rígidas. Encontre a maior carga P_max.

barra: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPatubo: Ø80/Ø60 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de latão está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 200 N·md = 30 mmL = 2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço de alumínio com diâmetro 50 mm está fixo a paredes rígidas nas duas extremidades A e B. Um torque de 200 N·m é aplicado em C, a 1,2 m de A e a 2 m de B. Encontre o ângulo de rotação φ_C da seção C, em graus.

d = 50 mmT₀ = 200 N·ma = 1,2 mb = 2 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

A viga em balanço está engastada em A. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento e uma carga concentrada P a 1,5 m de A. Encontre o momento fletor M_A no engaste A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 2 mP = 60 kN em 1,5 mw = 6 kN/m de 0 a 2 m

M_A = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

55 kN @ 12 m10 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Encontre o momento de inércia I_x da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

b_f = 140 mmt_f = 25 mmt_w = 12 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 5 kN·m. Encontre o valor da tensão de flexão σ_topo na borda superior.

b_f = 200 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 220 mmM = 5 kN·m

σ_topo = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto tem σₓ = 0 MPa, σᵧ = −80 MPa e τₓᵧ = 20 MPa (tração positiva). O elemento é girado 30° no sentido horário. Encontre a tensão normal σ_y′ nas faces do elemento girado que são perpendiculares ao eixo girado y′.

σ_x = 0 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 20 MPaθ = -30°

σ_y′ = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 100 MPa, σᵧ = −10 MPa e τₓᵧ = 10 MPa (tração positiva). Calcule a tensão de cisalhamento τ_θ em um plano cuja normal está girada 45° no sentido horário a partir do eixo x (positiva no mesmo sentido de τₓᵧ).

σ_x = 100 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 10 MPaθ = -45°

τ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a deflexão máxima δ_max, no meio do vão.

w = 5 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (alumínio)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga de madeira simplesmente apoiada, de seção retangular com 75 mm de largura, suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Sua deflexão no meio do vão não pode passar de vão/300. Encontre a menor altura h_req da seção.

w = 2 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (madeira estrutural)b = 75 mm

h_req = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e articulado no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (aço)b × h = 30 × 40 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e articulado no topo. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 4 mE = 200 GPa (aço)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: ε = 12732 µε

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 100·1000/78,54 = 1273 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for latão = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 1273/100000 = 0,01273 = 12732 µε

Resposta

ε = 12732 µε

2.Tensão e deformação axial

Resposta: P_max = 193,9 kN

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·2199 = 3,047 × 10⁸ N

Deformação governante

ε = min(0,001, 0,0006364) = 0,0006364 (bronze)

Maior carga

P_max = 0,0006364·3,047 × 10⁸ = 193922 N = 193,9 kN

Resposta

P_max = 193,9 kN

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 7,39 °

Momento polar de inércia

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2000/(39000·79522) = 0,129 rad

φ = 0,129·180/π = 7,39°

Resposta

φ = 7,39°

4.Torção de eixos

Resposta: φ_C = 0,5387 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω. Quando as duas extremidades estão fixas, a estática sozinha dá apenas T_A + T_B = T₀; a segunda equação é a compatibilidade (torções iguais das duas partes na seção carregada).

Equilíbrio e compatibilidade

T_A + T_B = 200

T_A·a = T_B·b

T_A = 200·2/3,2 = 125 N·m

T_B = 200·1,2/3,2 = 75 N·m

Rotação de C

Use o trecho AC: ele está fixo em A e suporta T_A.

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 125000·1200/(26000·613592) = 0,009402 rad = 0,5387°

Resposta

φ_C = 0,5387°

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_A = −102 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Fique com a parte da extremidade livre

P: −60·1,5 = −90 kN·m

w: −6·2²/2 = −12 kN·m

M_A = −90 − 12 = −102 kN·m

Resposta

M_A = −102 kN·m

Negativo significa tração na face superior.

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: E (x = 8 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 12,5 kN, R₂ = 122,5 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 5, M_C = −30, M_D = −105, M_E = −220 kN·m, M_F = −110, M_G = 0

Resposta

Marca E: M_E = −220 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 20,05 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 140·25 = 3500 mm², y_f = 180 + 25/2 = 192,5 mm

alma: A_w = 12·180 = 2160 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3500·192,5 + 2160·90)/5660 = 153,4 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 140·25³/12 + 3500·(192,5 − 153,4)² = 5,538 × 10⁶ mm⁴

alma: 12·180³/12 + 2160·(90 − 153,4)² = 1,451 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,538 × 10⁶ + 1,451 × 10⁷ = 2,005 × 10⁷ mm⁴ = 20,05 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 20,05 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_topo = 12,13 MPa

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 200·10 = 2000 mm², y_f = 220 + 10/2 = 225 mm

alma: A_w = 18·220 = 3960 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·225 + 3960·110)/5960 = 148,6 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 200·10³/12 + 2000·(225 − 148,6)² = 1,169 × 10⁷ mm⁴

alma: 18·220³/12 + 3960·(110 − 148,6)² = 2,187 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,169 × 10⁷ + 2,187 × 10⁷ = 3,356 × 10⁷ mm⁴

Tensão de flexão

A borda superior está a h − ȳ do eixo.

y = 230 − 148,6 = 81,41 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·81,41/3,356 × 10⁷ = 12,13 MPa

Resposta

σ_topo = 12,13 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_y′ = −42,68 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Equação de transformação para a face y′

σ_y′ = −40 − 40·0,5 − 20·(−0,866) = −42,68 MPa

Verificação

A soma das tensões normais não muda com a rotação.

σ_x′ = −37,32 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −80 = σ_x + σ_y

Resposta

σ_y′ = −42,68 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_θ = 55 MPa

Equação de transformação

τ_θ = −55·−1 + 10·0 = 55 MPa

Resposta

τ_θ = 55 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 52,41 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 6000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Deflexão

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·6000⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 52,41 mm

Resposta

δ_max = 52,41 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: h_req = 242,2 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Limite de deflexão

δ_allow = L/300 = 5000/300 = 16,67 mm

Momento de inércia necessário

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·5000⁴/(384·11000·16,67) = 8,878 × 10⁷ mm⁴

Altura necessária

bh³/12 = I_req → h = (12·8,878 × 10⁷/75)^1/3 = 242,2 mm

Resposta

h_req = 242,2 mm

Na prática, escolha a próxima altura padronizada acima desse valor.

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 58,01 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·90000/1750² = 58009 N = 58,01 kN

Resposta

P_cr = 58,01 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 100,7 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

KL/r = 2800/20 = 140

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/140² = 100,7 MPa

Resposta

σ_cr = 100,7 MPa

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