Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Uma haste de aço (diâmetro 40 mm, E = 200 GPa) está dentro de um tubo de latão (diâmetro externo 100 mm, diâmetro interno 50 mm, E = 100 GPa). Ambos têm 300 mm de comprimento e são comprimidos juntos entre placas rígidas por 300 kN. Encontre o encurtamento δ.

P = 300 kNbarra: Ø40 mm, E = 200 GPatubo: Ø100/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre a maior tensão normal σ_max na barra.

P = 25 kNtrecho 1: Ø35 mm, 1,5 m, cobre (E = 117 GPa)trecho 2: Ø12 mm, 2 m, aço (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de latão está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 750 N·md = 40 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo vazado deve transmitir 50 kW a 1800 rpm. Seu diâmetro interno deve ser 0,6 vezes o diâmetro externo, e a tensão de cisalhamento não pode passar de 40 MPa. Encontre o menor diâmetro externo d_o.

P = 50 kWN = 1800 rpmd_i/d_o = 0,6τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 6,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 10 mw = 3 kN/m de 0 a 10 mx = 6,5 m

M_x = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 10 mP = 40 kN em 5 mw = 8 kN/m de 0 a 10 mx = 5 m

M_x = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Um perfil I simétrico tem mesas de 190 mm de largura e 22 mm de espessura, altura total de 280 mm e alma de 8 mm de espessura. Encontre seu momento de inércia I_x em relação ao eixo centroidal horizontal x.

B = 190 mmH = 280 mmt_f = 22 mmt_w = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 15 kN·m. Encontre o valor da tensão de flexão σ_topo na borda superior.

b_f = 300 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 160 mmM = 15 kN·m

σ_topo = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto tem σₓ = 30 MPa e σᵧ = −40 MPa. Até que valor a tensão de cisalhamento τ_xy (em módulo) pode chegar antes que a maior tensão principal atinja 60 MPa?

σ_x = 30 MPaσ_y = −40 MPaσ₁ = 60 MPa

τ_xy = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = −70 MPa, σᵧ = 40 MPa e τₓᵧ = −40 MPa (tração positiva). Calcule a tensão normal σ_θ em um plano cuja normal está girada 20° no sentido horário a partir do eixo x.

σ_x = −70 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −40 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga concentrada P a a = 3,5 m do apoio A. Encontre a deflexão δ_P sob a carga.

P = 14 kNa = 3,5 mL = 5 mE = 200 GPa (aço)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w e uma carga concentrada P no meio do vão. Usando superposição, encontre a deflexão no meio do vão δ_max.

P = 11 kNw = 5 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (alumínio)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está articulado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (aço)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e articulado no topo. Ele deve suportar 45 kN com um fator de segurança de 3 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 45 kNn = 3L = 6 mE = 70 GPa (alumínio)

d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 0,1071 mm

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·5890 = 8,404 × 10⁸ N

Encurtamento

δ = 300000·300/8,404 × 10⁸ = 0,1071 mm

Resposta

δ = 0,1071 mm

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ_max = 221 MPa

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 25,98 MPa

σ₂ = 221 MPa

Maior tensão

O trecho mais fino tem a menor área, então suporta a maior tensão.

σ_max = 221 MPa

Resposta

σ_max = 221 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 2,192 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 750·1000·500/(39000·251327) = 0,03826 rad

φ = 0,03826·180/π = 2,192°

Resposta

φ = 2,192°

4.Torção de eixos

Resposta: d_o = 33,85 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 50000/188,5 = 265,3 N·m

Diâmetro externo pela tensão admissível

T = 265,3 N·m = 265258 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·265258/(π·40·0,8704)) = 33,85 mm

d_i = 0,6·33,85 = 20,31 mm

Resposta

d_o = 33,85 mm

Um eixo maciço precisaria de d = 32,32 mm; o vazado é um pouco maior, mas muito mais leve.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 34,13 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, atuando em x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 3·10·5

R_B = 150/10 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

Corte em x = 6,5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 15·6,5 − 3·6,5·3,25 = 34,13 kN·m

Resposta

M_x = 34,13 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 200 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, atuando em x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 40·5 + 8·10·5

R_B = 600/10 = 60 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 60 = 60 kN

Corte em x = 5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 60·5 − 8·5·2,5 = 200 kN·m

Resposta

M_x = 200 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 148,2 × 10⁶ mm⁴

Momento de inércia de área: para um retângulo em relação ao seu próprio eixo centroidal I = bh³/12, e em relação à sua base bh³/3 (teorema dos eixos paralelos I = I_c + A·d²). Um furo é tratado subtraindo seu I, desde que as duas partes usem o mesmo eixo. O módulo de resistência elástico é S = I/c, onde c é a distância até a fibra mais afastada.

Retângulo externo menos os dois recortes laterais

Os dois recortes juntos têm (B − t_w) de largura e h_w = H − 2t_f de altura, e compartilham o eixo x.

h_w = 280 − 2·22 = 236 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (190·280³ − 182·236³)/12

I_x = 1,482 × 10⁸ mm⁴ = 148,2 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 148,2 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_topo = 31,36 MPa

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 300·20 = 6000 mm², y_f = 160 + 20/2 = 170 mm

alma: A_w = 10·160 = 1600 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·170 + 1600·80)/7600 = 151,1 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 300·20³/12 + 6000·(170 − 151,1)² = 2,354 × 10⁶ mm⁴

alma: 10·160³/12 + 1600·(80 − 151,1)² = 1,149 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,354 × 10⁶ + 1,149 × 10⁷ = 1,384 × 10⁷ mm⁴

Tensão de flexão

A borda superior está a h − ȳ do eixo.

y = 180 − 151,1 = 28,95 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·28,95/1,384 × 10⁷ = 31,36 MPa

Resposta

σ_topo = 31,36 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_xy = 54,77 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Raio necessário

C = (30 + (−40))/2 = −5 MPa

R = σ₁ − C = 60 − (−5) = 65 MPa

Tensão de cisalhamento

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(65² − 35²) = 54,77 MPa

Resposta

τ_xy = 54,77 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_θ = −31,42 MPa

Equação de transformação

σ_θ = −15 + −55·0,766 + −40·−0,6428 = −31,42 MPa

Resposta

σ_θ = −31,42 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_P = 15,13 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 14000 N, a = 3500 mm, b = 1500 mm, L = 5000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Deflexão sob a carga

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 14000·3500²·1500²/(3·1,7 × 10¹²·5000) = 15,13 mm

Resposta

δ_P = 15,13 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 7,119 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 11000 N, w = 5 N/mm, L = 3000 mm, EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Cada carga sozinha

δ_P = PL³/(48EI) = 11000·3000³/(48·1,61 × 10¹²) = 3,843 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·3000⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 3,275 mm

Some

δ_max = 3,843 + 3,275 = 7,119 mm

Resposta

δ_max = 7,119 mm

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 16,82 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 1·6000 = 6000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/6000² = 16822 N = 16,82 kN

Resposta

P_cr = 16,82 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 91,54 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 3·45000 = 135000 N

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·135000·4200²/(π³·70000))^(1/4) = 91,54 mm

Resposta

d = 91,54 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 183,5, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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