Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre a deformação axial ε na barra de alumínio, em microdeformação (µε = 10⁻⁶).

P = 30 kNd = 16 mmL = 2 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre a maior tensão normal σ_max na barra.

P = 70 kNtrecho 1: Ø40 mm, 1,5 m, cobre (E = 117 GPa)trecho 2: Ø12 mm, 2 m, alumínio (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de aço está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 750 N·md = 50 mmL = 2,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço de alumínio transmite 10 kW a 1000 rpm. A tensão de cisalhamento não pode passar de 50 MPa e a torção não pode passar de 0,5° por m de comprimento. Encontre o menor diâmetro d que atende aos dois limites.

P = 10 kWN = 1000 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

30 kN @ 3 m4 kN/m, 2–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 1 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 10 mP = 55 kN em 1 mw = 4 kN/m de 0 a 10 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Uma placa de 200 mm × 240 mm tem um furo circular de diâmetro 50 mm na sua linha de centro vertical, com o centro a 144 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 200 mmh = 240 mmd = 50 mmcentro do furo: y = 144 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Uma placa de 120 mm × 150 mm tem um recorte retangular de 80 mm de largura e 40 mm de altura, centrado na linha de centro vertical, com seu centro a 90 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 120 mmh = 150 mmrecorte: 80 × 40 mmcentro do furo: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto tem σₓ = 60 MPa e σᵧ = 10 MPa. Até que valor a tensão de cisalhamento τ_xy (em módulo) pode chegar antes que a maior tensão principal atinja 100 MPa?

σ_x = 60 MPaσ_y = 10 MPaσ₁ = 100 MPa

τ_xy = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um eixo maciço de diâmetro 30 mm suporta uma força axial de tração de 120 kN junto com um torque de 2000 N·m. Na superfície do eixo, encontre a maior tensão principal σ₁.

d = 30 mmF = 120 kNT = 2000 N·m

σ₁ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço de comprimento L está engastada em A e suporta uma carga concentrada P a uma distância a = 0,5 m de A. Encontre a deflexão δ_P sob a carga.

P = 9 kNa = 0,5 mL = 2 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga concentrada P a b = 1 m do apoio B. Encontre a deflexão máxima δ_max da viga.

P = 19 kNb = 1 mL = 4 mE = 200 GPa (aço)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (alumínio)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de alumínio está articulado nas duas extremidades. Ele deve suportar 120 kN com um fator de segurança de 2 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 120 kNn = 2L = 1,5 mE = 70 GPa (alumínio)

d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: ε = 2132 µε

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 30·1000/201,1 = 149,2 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for alumínio = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 149,2/70000 = 0,002132 = 2132 µε

Resposta

ε = 2132 µε

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ_max = 618,9 MPa

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 55,7 MPa

σ₂ = 618,9 MPa

Maior tensão

O trecho mais fino tem a menor área, então suporta a maior tensão.

σ_max = 618,9 MPa

Resposta

σ_max = 618,9 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 2,189 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 750·1000·2500/(80000·613592) = 0,0382 rad

φ = 0,0382·180/π = 2,189°

Resposta

φ = 2,189°

4.Torção de eixos

Resposta: d = 45,5 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 10000/104,7 = 95,49 N·m

Diâmetro pela resistência

T = 95,49 N·m = 95493 N·mm

d_τ = ∛(16·95493/(π·50)) = 21,35 mm

Diâmetro pela rigidez

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·95493/(π·26000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 45,5 mm

Diâmetro determinante

Os dois limites devem ser atendidos, então o maior diâmetro governa.

d = max(21,35, 45,5) = 45,5 mm

Resposta

d = 45,5 mm

Aqui a rigidez governa.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: D (x = 3 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 20,33 kN, R₂ = 25,67 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 20,33, M_C = 40,67, M_D = 59 kN·m, M_E = 43,33, M_F = 23,67, M_G = 0

Resposta

Marca D: M_D = 59 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 67,5 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, atuando em x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 55·1 + 4·10·5

R_B = 255/10 = 25,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 25,5 = 69,5 kN

Corte em x = 1 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 69,5·1 − 4·1·0,5 = 67,5 kN·m

Resposta

M_x = 67,5 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 228,9 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (48000·120 − 1963·144)/(48000 − 1963) = 119 mm

Placa inteira em torno de ȳ

200·240³/12 + 48000·1,024² = 230,5 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

π·50⁴/64 + 1963·25,02² = 1,536 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 228,9 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 228,9 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 32,45 × 10⁶ mm⁴

Centroide

ȳ = (18000·75 − 3200·90)/(18000 − 3200) = 71,76 mm

Placa inteira em torno de ȳ

120·150³/12 + 18000·3,243² = 33,94 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

80·40³/12 + 3200·18,24² = 1,492 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 32,45 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 32,45 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_xy = 60 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Raio necessário

C = (60 + 10)/2 = 35 MPa

R = σ₁ − C = 100 − 35 = 65 MPa

Tensão de cisalhamento

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(65² − 25²) = 60 MPa

Resposta

τ_xy = 60 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ₁ = 471,6 MPa

Tensões na superfície

σ = F/A = 120000/(π·30²/4) = 120000/706,9 = 169,8 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·30³) = 377,3 MPa

Círculo de Mohr

C = σ/2 = 84,88 MPa

R = √(84,88² + 377,3²) = 386,7 MPa

σ₁ = C + R = 471,6 MPa

σ₂ = C − R = −301,8 MPa

Resposta

σ₁ = 471,6 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_P = 4,011 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 9000 N, a = 500 mm, L = 2000 mm

EI = 9,35 × 10¹⁰ N·mm²

Deflexão sob a carga

δ_P = Pa³/(3EI) = 9000·500³/(3·9,35 × 10¹⁰) = 4,011 mm

Resposta

δ_P = 4,011 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 2,459 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 19000 N, b = 1000 mm, L = 4000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Posição do máximo

Igualar a zero a rotação no trecho mais longo dá a posição.

x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1000²)/3) = 2236 mm

Deflexão máxima

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 2,459 mm

Resposta

δ_max = 2,459 mm

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 23,55 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/750² = 23551 N = 23,55 kN

Resposta

P_cr = 23,55 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 63,17 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 2·120000 = 240000 N

KL = 1·1500 = 1500 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·240000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 63,17 mm

Resposta

d = 63,17 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 94,98, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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