Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercícios Voltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Uma barra é feita de um trecho de aço (diâmetro 40 mm, comprimento 400 mm, E = 200 GPa) unido topo a topo a um trecho de bronze (diâmetro 40 mm, comprimento 200 mm, E = 110 GPa). Ela é fixa em uma extremidade e puxada na outra. Encontre a carga axial P que a alonga 0,3 mm no total.

trecho 1: aço, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPatrecho 2: bronze, Ø40 mm, 200 mm, E = 110 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre o alongamento total δ.

P = 70 kNtrecho 1: Ø30 mm, 2 m, alumínio (E = 70 GPa)trecho 2: Ø20 mm, 1 m, latão (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço escalonado de aço está fixo em A. O trecho AB tem diâmetro 75 mm e comprimento 0,8 m; o trecho BC tem diâmetro 25 mm e comprimento 1 m. Um torque de 100 N·m atua na extremidade livre C. Encontre o ângulo de torção φ_C da extremidade C, em graus.

T = 100 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 0,8 md₂ = 25 mm, L₂ = 1 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço de aço com diâmetro 40 mm está fixo em A. Um torque de 1500 N·m atua em B, a 2,5 m de A, e um torque de 250 N·m no sentido oposto atua na extremidade livre C, 1 m adiante. Encontre o módulo do ângulo de torção φ_C da extremidade C, em graus.

d = 40 mmT_B = 1500 N·mT_C = 250 N·mAB = 2,5 mBC = 1 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

15 kN @ 4 m50 kN @ 1 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 4 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 8 mP = 35 kN em 5 mw = 10 kN/m de 0 a 8 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Um perfil U está com o lado aberto para cima: uma chapa de base de 120 mm de largura com duas abas verticais, com altura total de 160 mm. Base e abas têm todas 14 mm de espessura. Encontre a altura ȳ do centroide acima da borda inferior.

b = 120 mmh = 160 mmt = 14 mm

ȳ = mm

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 40 kN·m. Encontre o valor da tensão de flexão σ_topo na borda superior.

b_f = 300 mmt_f = 30 mmt_w = 18 mmh_w = 280 mmM = 40 kN·m

σ_topo = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = −60 MPa, σᵧ = −40 MPa e τₓᵧ = −20 MPa (tração positiva). Calcule a tensão de cisalhamento máxima no plano τ_max.

σ_x = −60 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −20 MPa

τ_max = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 140 MPa, σᵧ = 40 MPa e τₓᵧ = −40 MPa (tração positiva). Calcule a tensão de cisalhamento τ_θ em um plano cuja normal está girada 30° no sentido horário a partir do eixo x (positiva no mesmo sentido de τₓᵧ).

σ_x = 140 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −40 MPaθ = -30°

τ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga concentrada P a a = 2 m do apoio A. Encontre a deflexão δ_P sob a carga.

P = 7 kNa = 2 mL = 5 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga de madeira simplesmente apoiada, de seção retangular com 50 mm de largura, suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Sua deflexão no meio do vão não pode passar de vão/250. Encontre a menor altura h_req da seção.

w = 1,5 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (madeira estrutural)b = 50 mm

h_req = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e articulado no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (aço)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de aço está engastado na base e livre no topo. Ele deve suportar 75 kN com um fator de segurança de 3 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 75 kNn = 3L = 1,5 mE = 200 GPa (aço)

d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: P = 98,74 kN

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1257 mm²

Flexibilidades

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·1257) = 1,592 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(110000·1257) = 1,447 × 10⁻⁶ mm/N

Carga

P = 0,3/3,038 × 10⁻⁶ = 98736 N = 98,74 kN

Resposta

P = 98,74 kN

2.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 5,058 mm

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 99,03 MPa

σ₂ = 222,8 MPa

Some os alongamentos dos trechos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 99,03·2000/70000 = 2,829 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 222,8·1000/100000 = 2,228 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5,058 mm

Resposta

δ = 5,058 mm

3.Torção de eixos

Resposta: φ_C = 1,886 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momentos polares

J₁ = π·75⁴/32 = 3,106 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Torção de cada trecho

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 100000·800/(80000·3,106 × 10⁶) = 0,0003219 rad

φ_BC = 100000·1000/(80000·38350) = 0,03259 rad

Torção total

φ_C = 0,0003219 + 0,03259 = 0,03292 rad = 1,886°

Resposta

φ_C = 1,886°

4.Torção de eixos

Resposta: φ_C = 8,193 °

Torques internos

Sentido de T_C tomado como positivo.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C − T_B = 250 − 1500 = −1250 N·m

Torção de cada trecho

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = −1,25 × 10⁶·2500/(80000·251327) = −0,1554 rad

φ_BC = 250000·1000/(80000·251327) = 0,01243 rad

Torção da extremidade C

φ_C = −0,1554 + 0,01243 = −0,143 rad → |φ_C| = 8,193°

Resposta

φ_C = 8,193°

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: B (x = 1 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 46,67 kN, R₂ = 18,33 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 46,67 kN·m, M_C = 43,33, M_D = 40, M_E = 36,67, M_F = 18,33, M_G = 0

Resposta

Marca B: M_B = 46,67 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 132,5 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, atuando em x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 35·5 + 10·8·4

R_B = 495/8 = 61,88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 115 − 61,88 = 53,13 kN

Corte em x = 4 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 53,13·4 − 10·4·2 = 132,5 kN·m

Resposta

M_x = 132,5 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: ȳ = 63,7 mm

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em retângulos

Tome a base com a largura total e as duas abas acima dela (altura h − t), para que nada seja contado duas vezes.

base: A₁ = 120·14 = 1680 mm², y₁ = 7 mm

duas abas: A₂ = 2·14·146 = 4088 mm², y₂ = 14 + 146/2 = 87 mm

Centroide

ȳ = (1680·7 + 4088·87)/5768 = 63,7 mm

Resposta

ȳ = 63,7 mm

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_topo = 25,41 MPa

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 300·30 = 9000 mm², y_f = 280 + 30/2 = 295 mm

alma: A_w = 18·280 = 5040 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (9000·295 + 5040·140)/14040 = 239,4 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 300·30³/12 + 9000·(295 − 239,4)² = 2,854 × 10⁷ mm⁴

alma: 18·280³/12 + 5040·(140 − 239,4)² = 8,268 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,854 × 10⁷ + 8,268 × 10⁷ = 1,112 × 10⁸ mm⁴

Tensão de flexão

A borda superior está a h − ȳ do eixo.

y = 310 − 239,4 = 70,64 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·70,64/1,112 × 10⁸ = 25,41 MPa

Resposta

σ_topo = 25,41 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_max = 22,36 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Raio do círculo de Mohr

τ_max = R = √(((−60 − −40)/2)² + −20²) = 22,36 MPa

Resposta

τ_max = 22,36 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_θ = 23,3 MPa

Equação de transformação

τ_θ = −50·−0,866 + −40·0,5 = 23,3 MPa

Resposta

τ_θ = 23,3 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_P = 9,545 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 7000 N, a = 2000 mm, b = 3000 mm, L = 5000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Deflexão sob a carga

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 7000·2000²·3000²/(3·1,76 × 10¹²·5000) = 9,545 mm

Resposta

δ_P = 9,545 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: h_req = 189,6 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 1,5 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²

Limite de deflexão

δ_allow = L/250 = 4000/250 = 16 mm

Momento de inércia necessário

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1,5·4000⁴/(384·11000·16) = 2,841 × 10⁷ mm⁴

Altura necessária

bh³/12 = I_req → h = (12·2,841 × 10⁷/50)^1/3 = 189,6 mm

Resposta

h_req = 189,6 mm

Na prática, escolha a próxima altura padronizada acima desse valor.

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 34,33 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1050² = 34331 N = 34,33 kN

Resposta

P_cr = 34,33 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 67,61 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 3·75000 = 225000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·225000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 67,61 mm

Resposta

d = 67,61 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 177,5, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials