Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal
σ = F/A
Deformação
ε = ΔL/L
Lei de Hooke
σ = E·ε
Alongamento
ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica
εT = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento
τ = T·r/J
Eixo maciço
J = πd⁴/32
Eixo vazado
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção
φ = TL/(GJ)
Potência
P = T·ω = 2πnT/60

Método

  1. Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
  2. Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
  3. Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
  4. Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento
V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão
σ = M·y/I
Retângulo
I = bh³/12
Módulo de resistência
W = I/ymax
Viga biapoiada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
  2. Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
  3. Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
  4. Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Retângulo
I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos
I = Ic + A·d²
Seção composta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro
C = (σx + σy)/2
Raio
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tensões principais
σ1,2 = C ± R
Direção principal
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Plano inclinado
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Método

  1. Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
  4. Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta
δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposição
δ = δ1 + δ2

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia
Ø 30 mmAço2,5 mP = 25 kN

Encontre a deformação axial ε na barra de aço, em microdeformação (µε = 10⁻⁶).

P = 25 kNd = 30 mmL = 2,5 mE = 200 GPa
ε = µε
2.Tensão e deformação axialDifícil
P = ?Ø20110 GPaØ80/50400 mm

Uma haste de aço (diâmetro 20 mm, E = 200 GPa, tensão admissível 120 MPa) está dentro de um tubo de bronze (diâmetro externo 80 mm, diâmetro interno 50 mm, E = 110 GPa, tensão admissível 50 MPa). Eles são comprimidos juntos entre placas rígidas. Encontre a maior carga Pmax.

barra: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPatubo: Ø80/Ø50 mm, E = 110 GPa, σallow = 50 MPa
Pmax = kN
3.Torção de eixosMédia
T = 200 N·md = 50 mmL = 1,5 mφ = ?

Um eixo maciço de alumínio está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 200 N·md = 50 mmL = 1,5 mG = 26 GPa
φ = °
4.Torção de eixosDifícil
Td = ?

Um eixo maciço deve transmitir 20 kW a 1000 rpm sem que a tensão de cisalhamento passe de 40 MPa. Encontre o menor diâmetro d que funciona.

P = 20 kWN = 1000 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.Esforço cortante e momento fletorMédia
P1​ = 70 kNP2​ = 10 kNABC1,5 m3,5 m2 m

A viga se apoia em um apoio fixo em A e em um apoio móvel em B e se estende 2 m além de B, em balanço, até a extremidade livre C. Ela suporta uma carga concentrada P1 entre os apoios e uma carga concentrada P2 em C. Encontre o momento fletor Mx sob a carga P1. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 7 mP1 = 70 kN em 1,5 mP2 = 10 kN em 7 mapoios em x = 0 e x = 5 m
Mx = kN·m
6.Esforço cortante e momento fletorDifícil
w = 2 kN/mP = 50 kNAB9 m1 m

A viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão e uma carga concentrada P. Encontre o momento fletor máximo Mmax na viga.

L = 10 mP = 50 kN em 9 mw = 2 kN/m de 0 a 10 m
Mmax = kN·m
7.Centroide e momento de inérciaMédia
200 mm300 mm180 mmØ30xIx​ = ?

Uma placa de 200 mm × 300 mm tem um furo circular de diâmetro 30 mm na sua linha de centro vertical, com o centro a 180 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área Ix em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 200 mmh = 300 mmd = 30 mmcentro do furo: y = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Centroide e momento de inérciaDifícil
150 mm300 mm90 mm30 × 40xIx​ = ?

Uma placa de 150 mm × 300 mm tem um recorte retangular de 30 mm de largura e 40 mm de altura, centrado na linha de centro vertical, com seu centro a 90 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área Ix em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 150 mmh = 300 mmrecorte: 30 × 40 mmcentro do furo: y = 90 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia
σx​ = −20σy​ = −40τxy​ = −60MPa

Um ponto tem σₓ = −20 MPa, σᵧ = −40 MPa e τₓᵧ = −60 MPa (tração positiva). Encontre o ângulo θs, entre −90° e 90°, do eixo x até a normal do plano em que a tensão de cisalhamento tem seu valor máximo positivo +R (cisalhamento positivo no mesmo sentido de τₓᵧ).

σx = −20 MPaσy = −40 MPaτxy = −60 MPa
θs = °
10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil
σx​ = −10σy​ = 120τxy​ = −40MPa

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = −10 MPa, σᵧ = 120 MPa e τₓᵧ = −40 MPa (tração positiva). Calcule a tensão normal σθ em um plano cuja normal está girada 20° no sentido horário a partir do eixo x.

σx = −10 MPaσy = 120 MPaτxy = −40 MPaθ = -20°
σθ = MPa
11.Deflexão da vigaMédia
P = 4 kNABδ2 m3 m

Uma viga em balanço de comprimento L está engastada em A e suporta uma carga concentrada P a uma distância a = 2 m de A. Encontre a deflexão δB na extremidade livre B.

P = 4 kNa = 2 mL = 5 mE = 200 GPa (aço)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.Deflexão da vigaDifícil
P = 25 kNABδ3 m1 m

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga concentrada P a b = 1 m do apoio B. Encontre a deflexão δmid no meio do vão.

P = 25 kNb = 1 mL = 4 mE = 200 GPa (aço)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
13.Flambagem de pilaresMédia
PL = 2,5 md = 20 mmseção transversal

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (aço)d = 20 mm
Pcr = kN
14.Flambagem de pilaresDifícil
PL = 2,5 md = 30 mmseção transversal

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e livre no topo. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σcr pela fórmula de Euler.

L = 2,5 mE = 200 GPa (aço)d = 30 mm
σcr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: ε = 176,8 µε

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 25·1000/706,9 = 35,37 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for aço = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 35,37/200000 = 0,0001768 = 176,8 µε

Resposta

ε = 176,8 µε
2.Tensão e deformação axial

Resposta: Pmax = 181,7 kN

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, Pi = P·EiAi/ΣEA, e σi = Ei·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

Ar = π·20²/4 = 314,2 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·3063 = 3,998 × 10⁸ N

Deformação governante

ε = min(0,0006, 0,0004545) = 0,0004545 (bronze)

Maior carga

Pmax = 0,0004545·3,998 × 10⁸ = 181713 N = 181,7 kN

Resposta

Pmax = 181,7 kN
3.Torção de eixos

Resposta: φ = 1,077 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τmax = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(do⁴ − di⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1500/(26000·613592) = 0,0188 rad
φ = 0,0188·180/π = 1,077°

Resposta

φ = 1,077°
4.Torção de eixos

Resposta: d = 28,97 mm

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τmax = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(do⁴ − di⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 20000/104,7 = 191 N·m

Diâmetro a partir da tensão admissível

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·190986/(π·40)) = 28,97 mm

Resposta

d = 28,97 mm

Na prática você arredondaria para o próximo tamanho padrão.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: Mx = 67,5 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira. A carga do balanço também gera momento em relação a A.

ΣMA = 0: RB·5 = 70·1,5 + 10·7
RB = 175/5 = 35 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 35 = 45 kN

Corte sob P1 e fique com a parte esquerda

Mx = RA·1,5 = 45·1,5 = 67,5 kN·m

Resposta

Mx = 67,5 kN·m
6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: Mmax = 56,25 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, atuando em x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 50·9 + 2·10·5
RB = 550/10 = 55 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 55 = 15 kN

Onde V = 0?

RA − w·x0 = 0 → x0 = 15/2 = 7,5 m

Momento máximo

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = 15·7,5 − 2·7,5²/2 = 56,25 kN·m

Resposta

Mmax = 56,25 kN·m

Ele ocorre em x = 7,5 m a partir de A.

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: Ix = 449,3 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem Ic = bh³/12 e um círculo Ic = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (60000·150 − 706,9·180)/(60000 − 706,9) = 149,6 mm

Placa inteira em torno de ȳ

200·300³/12 + 60000·0,3576² = 450 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·30,36² = 0,6912 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

Ix = 449,3 × 10⁶ mm⁴

Resposta

Ix = 449,3 × 10⁶ mm⁴
8.Centroide e momento de inércia

Resposta: Ix = 332,9 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem Ic = bh³/12 e um círculo Ic = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (45000·150 − 1200·90)/(45000 − 1200) = 151,6 mm

Placa inteira em torno de ȳ

150·300³/12 + 45000·−1,644² = 337,6 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

30·40³/12 + 1200·−61,64² = 4,72 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

Ix = 332,9 × 10⁶ mm⁴

Resposta

Ix = 332,9 × 10⁶ mm⁴
9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: θs = −85,27 °

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

στxyCτmax​

Ângulo no círculo

No círculo de Mohr o ponto do topo (+R) está a 90° do ponto principal σ₁; no elemento isso corresponde a 45°.

cos 2θs = −60/60,83 = −0,9864, sin 2θs = −10/60,83 = −0,1644
2θs = atan2(−10, −60) = −170,5°

Ângulo no elemento

θs = −85,27°
verificação: θs − θp = −85,27 − (−40,27) = −45°

Resposta

θs = −85,27°

Ângulos positivos são no sentido anti-horário.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σθ = 30,92 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Equação de transformação

σθ = 55 + −65·0,766 + −40·−0,6428 = 30,92 MPa

Resposta

σθ = 30,92 MPa
11.Deflexão da viga

Resposta: δB = 1,083 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 4000 N, a = 2000 mm, L = 5000 mm
EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Deflexão na extremidade livre

Deflexão na carga mais a rotação na carga vezes o comprimento restante.

δP = Pa³/(3EI) = 0,3333 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,00025 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 1,083 mm

Resposta

δB = 1,083 mm
12.Deflexão da viga

Resposta: δmid = 4,982 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 25000 N, b = 1000 mm, L = 4000 mm
EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Deflexão no meio do vão

δmid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 25000·1000·(3·4000² − 4·1000²)/(48·4,6 × 10¹²) = 4,982 mm

Resposta

δmid = 4,982 mm
13.Flambagem de pilares

Resposta: Pcr = 9,922 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/1250² = 9922 N = 9,922 kN

Resposta

Pcr = 9,922 kN
14.Flambagem de pilares

Resposta: σcr = 4,441 MPa

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 2·2500 = 5000 mm
KL/r = 5000/7,5 = 666,7

Tensão crítica

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/666,7² = 4,441 MPa

Resposta

σcr = 4,441 MPa

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