Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre a deformação axial ε na barra de cobre, em microdeformação (µε = 10⁻⁶).

P = 80 kNd = 20 mmL = 2,5 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre a maior tensão normal σ_max na barra.

P = 15 kNtrecho 1: Ø25 mm, 2 m, alumínio (E = 70 GPa)trecho 2: Ø20 mm, 2 m, alumínio (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de alumínio está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 1000 N·md = 40 mmL = 0,8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço de latão transmite 50 kW a 300 rpm. A tensão de cisalhamento não pode passar de 80 MPa e a torção não pode passar de 0,25° por m de comprimento. Encontre o menor diâmetro d que atende aos dois limites.

P = 50 kWN = 300 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

A viga simplesmente apoiada suporta um binário no sentido horário M₀ = 50 kN·m em x = 6 m a partir de A, e nenhuma outra carga. Encontre o momento fletor M_x logo à direita do binário. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 10 mM₀ = 50 kN·m no sentido horário, em 6 m

M_x = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga se apoia em um apoio fixo em A e em um apoio móvel em B e se estende 2 m além de B, em balanço, até a extremidade livre C. Uma carga uniformemente distribuída w atua em todo o comprimento A–C. Encontre o momento fletor positivo máximo M_max entre os apoios.

L = 8 mw = 3 kN/m de 0 a 8 mapoios em x = 0 e x = 6 m

M_max = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Uma placa de 120 mm × 200 mm tem um furo circular de diâmetro 40 mm na sua linha de centro vertical, com o centro a 80 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 120 mmh = 200 mmd = 40 mmcentro do furo: y = 80 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Uma placa de 150 mm × 240 mm tem um recorte retangular de 60 mm de largura e 40 mm de altura, centrado na linha de centro vertical, com seu centro a 72 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 150 mmh = 240 mmrecorte: 60 × 40 mmcentro do furo: y = 72 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 90 MPa, σᵧ = 60 MPa e τₓᵧ = −10 MPa (tração positiva). Calcule a tensão de cisalhamento máxima no plano τ_max.

σ_x = 90 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −10 MPa

τ_max = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 90 MPa, σᵧ = 40 MPa e τₓᵧ = 30 MPa (tração positiva). Calcule a tensão normal σ_θ em um plano cuja normal está girada 40° no sentido anti-horário a partir do eixo x.

σ_x = 90 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a deflexão máxima δ_max, no meio do vão.

w = 20 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga engastada e apoiada está engastada em A e simplesmente apoiada em B. Ela suporta uma carga concentrada P no meio do vão. EI é constante. Encontre a reação R_B no apoio B.

L = 4 mP = 80 kN em 2 m

R_B = kN

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e livre no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alumínio)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de aço está engastado na base e livre no topo. Ele deve suportar 50 kN com um fator de segurança de 3 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 50 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (aço)

d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: ε = 2176 µε

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 80·1000/314,2 = 254,6 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for cobre = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 254,6/117000 = 0,002176 = 2176 µε

Resposta

ε = 2176 µε

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ_max = 47,75 MPa

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 30,56 MPa

σ₂ = 47,75 MPa

Maior tensão

O trecho mais fino tem a menor área, então suporta a maior tensão.

σ_max = 47,75 MPa

Resposta

σ_max = 47,75 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 7,015 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·800/(26000·251327) = 0,1224 rad

φ = 0,1224·180/π = 7,015°

Resposta

φ = 7,015°

4.Torção de eixos

Resposta: d = 98,79 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 50000/31,42 = 1592 N·m

Diâmetro pela resistência

T = 1592 N·m = 1,592 × 10⁶ N·mm

d_τ = ∛(16·1,592 × 10⁶/(π·80)) = 46,62 mm

Diâmetro pela rigidez

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·1,592 × 10⁶/(π·39000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 98,79 mm

Diâmetro determinante

Os dois limites devem ser atendidos, então o maior diâmetro governa.

d = max(46,62, 98,79) = 98,79 mm

Resposta

d = 98,79 mm

Aqui a rigidez governa.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 20 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Um binário aplicado faz o diagrama de momento fletor saltar do valor do binário.

Reações de apoio

Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário: R_B·L − M₀ = 0. Equilíbrio vertical: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 50/10 = 5 kN (para cima)

R_A = −R_B = −5 kN (para baixo)

Corte logo à direita do binário

A parte esquerda agora contém R_A e o binário.

M_x = R_A·a + M₀ = −5·6 + 50 = 20 kN·m

Resposta

M_x = 20 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 10,67 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira, incluindo a carga no balanço.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, atuando em x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 3·8·4

R_B = 96/6 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 16 = 8 kN

Cortante nulo

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 8/3 = 2,667 m

Momento positivo máximo

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 8²/(2·3) = 10,67 kN·m

Resposta

M_max = 10,67 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 79,34 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (24000·100 − 1257·80)/(24000 − 1257) = 101,1 mm

Placa inteira em torno de ȳ

120·200³/12 + 24000·−1,105² = 80,03 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−21,11² = 0,6854 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 79,34 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 79,34 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 166,6 × 10⁶ mm⁴

Centroide

ȳ = (36000·120 − 2400·72)/(36000 − 2400) = 123,4 mm

Placa inteira em torno de ȳ

150·240³/12 + 36000·−3,429² = 173,2 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

60·40³/12 + 2400·−51,43² = 6,668 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 166,6 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 166,6 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_max = 18,03 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Raio do círculo de Mohr

τ_max = R = √(((90 − 60)/2)² + −10²) = 18,03 MPa

Resposta

τ_max = 18,03 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_θ = 98,89 MPa

Equação de transformação

σ_θ = 65 + 25·0,1736 + 30·0,9848 = 98,89 MPa

Resposta

σ_θ = 98,89 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 7,706 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Deflexão

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2500⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 7,706 mm

Resposta

δ_max = 7,706 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: R_B = 25 kN

Retire o apoio

Sem o apoio a viga é um balanço. Sua extremidade livre defletiria sob a carga.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Compatibilidade no apoio

A força do apoio R_B sozinha levanta a extremidade livre em R_BL³/(3EI). O apoio mantém B com deflexão zero, então as duas devem se anular. EI se cancela.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·80/16 = 25 kN

Resposta

R_B = 25 kN

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 55,56 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 2·2500 = 5000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/5000² = 55563 N = 55,56 kN

Resposta

P_cr = 55,56 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 111,5 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 3·50000 = 150000 N

KL = 2·5000 = 10000 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·10000²/(π³·200000))^(1/4) = 111,5 mm

Resposta

d = 111,5 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 358,6, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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