Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre o alongamento δ da barra de latão sob a carga axial.

P = 95 kNd = 25 mmL = 1,5 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre a maior tensão normal σ_max na barra.

P = 65 kNtrecho 1: Ø30 mm, 1,5 m, aço (E = 200 GPa)trecho 2: Ø12 mm, 0,5 m, aço (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de alumínio está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 750 N·md = 50 mmL = 3 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço deve transmitir 100 kW a 1450 rpm sem que a tensão de cisalhamento passe de 40 MPa. Encontre o menor diâmetro d que funciona.

P = 100 kWN = 1450 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

A viga simplesmente apoiada suporta um binário no sentido horário M₀ = 15 kN·m em x = 3 m a partir de A, e nenhuma outra carga. Encontre o momento fletor M_x logo à direita do binário. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 4 mM₀ = 15 kN·m no sentido horário, em 3 m

M_x = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 0,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 4 mP = 40 kN em 1,5 mw = 2 kN/m de 0 a 4 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Uma placa de 200 mm × 200 mm tem um furo circular de diâmetro 50 mm na sua linha de centro vertical, com o centro a 80 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 200 mmh = 200 mmd = 50 mmcentro do furo: y = 80 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Uma viga de ferro fundido tem a seção T mostrada, com a mesa em cima. As tensões admissíveis são 50 MPa na tração e 90 MPa na compressão. Encontre o maior momento fletor negativo M_allow que a viga pode suportar (dê o seu módulo).

b_f = 120 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 120 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma placa fina está em estado plano de tensão: σₓ = −80 MPa, σᵧ = −50 MPa e τₓᵧ = −10 MPa, com σ_z = 0. Encontre a tensão de cisalhamento máxima absoluta τ_abs no ponto (considerando todos os planos em três dimensões).

σ_x = −80 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −10 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um eixo maciço de diâmetro 40 mm suporta um momento fletor de 200 N·m junto com um torque de 1000 N·m. Na superfície superior, onde a tensão de flexão é de tração e máxima, encontre a tensão de cisalhamento máxima no plano τ_max.

d = 40 mmM = 200 N·mT = 1000 N·m

τ_max = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento. Encontre a deflexão δ na extremidade livre.

w = 6 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga engastada e apoiada está engastada em A e simplesmente apoiada em B. Ela suporta uma carga concentrada P no meio do vão. EI é constante. Encontre a reação R_B no apoio B.

L = 3 mP = 40 kN em 1,5 m

R_B = kN

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (aço)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e livre no topo. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 4 mE = 200 GPa (aço)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 2,903 mm

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 95·1000/490,9 = 193,5 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for latão = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 193,5/100000 = 0,001935 = 1935 µε

Alongamento

δ = ε·L = 0,001935·1500 mm = 2,903 mm

Resposta

δ = 2,903 mm

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ_max = 574,7 MPa

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 91,96 MPa

σ₂ = 574,7 MPa

Maior tensão

O trecho mais fino tem a menor área, então suporta a maior tensão.

σ_max = 574,7 MPa

Resposta

σ_max = 574,7 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 8,081 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 750·1000·3000/(26000·613592) = 0,141 rad

φ = 0,141·180/π = 8,081°

Resposta

φ = 8,081°

4.Torção de eixos

Resposta: d = 43,77 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 100000/151,8 = 658,6 N·m

Diâmetro a partir da tensão admissível

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·658572/(π·40)) = 43,77 mm

Resposta

d = 43,77 mm

Na prática você arredondaria para o próximo tamanho padrão.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 3,75 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Um binário aplicado faz o diagrama de momento fletor saltar do valor do binário.

Reações de apoio

Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário: R_B·L − M₀ = 0. Equilíbrio vertical: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 15/4 = 3,75 kN (para cima)

R_A = −R_B = −3,75 kN (para baixo)

Corte logo à direita do binário

A parte esquerda agora contém R_A e o binário.

M_x = R_A·a + M₀ = −3,75·3 + 15 = 3,75 kN·m

Resposta

M_x = 3,75 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 14,25 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, atuando em x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·1,5 + 2·4·2

R_B = 76/4 = 19 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 19 = 29 kN

Corte em x = 0,5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 29·0,5 − 2·0,5·0,25 = 14,25 kN·m

Resposta

M_x = 14,25 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 132,2 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (40000·100 − 1963·80)/(40000 − 1963) = 101 mm

Placa inteira em torno de ȳ

200·200³/12 + 40000·−1,032² = 133,4 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−21,03² = 1,175 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 132,2 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 132,2 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: M_allow = 7,44 kN·m

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Centroide

ȳ = (3000·132,5 + 1920·60)/4920 = 104,2 mm

borda superior: c = 145 − 104,2 = 40,79 mm

Momento de inércia de área

I = 120·25³/12 + 3000·28,29² + 16·120³/12 + 1920·44,21² = 8,614 × 10⁶ mm⁴

Momento admitido por cada borda

Momento negativo: a face superior fica tracionada, a inferior comprimida.

borda superior: M = 50·8,614 × 10⁶/40,79 = 10,56 kN·m

borda inferior: M = 90·8,614 × 10⁶/104,2 = 7,44 kN·m

Valor determinante

M_allow = min = 7,44 kN·m (borda inferior)

Resposta

M_allow = 7,44 kN·m

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_abs = 41,51 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R. Em três dimensões a tensão de cisalhamento máxima absoluta é (σ_max − σ_min)/2 considerando as três tensões principais; no estado plano de tensão a terceira é zero.

Tensões principais no plano

C = −65 MPa, R = √((−15)² + (−10)²) = 18,03 MPa

σ₁ = −46,97 MPa, σ₂ = −83,03 MPa, σ_z = 0

O maior dos três círculos

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(36,06, 46,97, 83,03)/2 = 41,51 MPa

Resposta

τ_abs = 41,51 MPa

Aqui o círculo fora do plano governa: o máximo absoluto é maior que o máximo no plano R.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_max = 81,15 MPa

Tensões na superfície

σ = 32M/(πd³) = 32·200000/(π·40³) = 31,83 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·40³) = 79,58 MPa

Círculo de Mohr

C = σ/2 = 15,92 MPa

R = √(15,92² + 79,58²) = 81,15 MPa

Resposta

τ_max = 81,15 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ = 16,65 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Deflexão

δ = wL⁴/(8EI) = 6·2500⁴/(8·1,76 × 10¹²) = 16,65 mm

Resposta

δ = 16,65 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: R_B = 12,5 kN

Retire o apoio

Sem o apoio a viga é um balanço. Sua extremidade livre defletiria sob a carga.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Compatibilidade no apoio

A força do apoio R_B sozinha levanta a extremidade livre em R_BL³/(3EI). O apoio mantém B com deflexão zero, então as duas devem se anular. EI se cancela.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·40/16 = 12,5 kN

Resposta

R_B = 12,5 kN

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 313,9 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2000² = 313939 N = 313,9 kN

Resposta

P_cr = 313,9 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 12,34 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·4000 = 8000 mm

KL/r = 8000/20 = 400

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Resposta

σ_cr = 12,34 MPa

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