Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Uma haste de aço (diâmetro 30 mm, E = 200 GPa) está dentro de um tubo de cobre (diâmetro externo 120 mm, diâmetro interno 50 mm, E = 120 GPa). Ambos têm 300 mm de comprimento e são comprimidos juntos entre placas rígidas por 80 kN. Encontre o encurtamento δ.

P = 80 kNbarra: Ø30 mm, E = 200 GPatubo: Ø120/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre a maior tensão normal σ_max na barra.

P = 30 kNtrecho 1: Ø40 mm, 1,5 m, aço (E = 200 GPa)trecho 2: Ø20 mm, 0,5 m, latão (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de alumínio está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 750 N·md = 40 mmL = 0,8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo vazado deve transmitir 20 kW a 1450 rpm. Seu diâmetro interno deve ser 0,75 vezes o diâmetro externo, e a tensão de cisalhamento não pode passar de 50 MPa. Encontre o menor diâmetro externo d_o.

P = 20 kWN = 1450 rpmd_i/d_o = 0,75τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

A viga em balanço está engastada em A. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento e uma carga concentrada P a 0,5 m de A. Encontre o momento fletor M_A no engaste A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 2 mP = 25 kN em 0,5 mw = 12 kN/m de 0 a 2 m

M_A = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

45 kN @ 12 m45 kN @ 4 m5 kN/m, 0–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Um perfil I simétrico tem mesas de 100 mm de largura e 24 mm de espessura, altura total de 380 mm e alma de 12 mm de espessura. Encontre seu módulo de resistência elástico S_x para flexão em relação ao eixo centroidal horizontal x.

B = 100 mmH = 380 mmt_f = 24 mmt_w = 12 mm

S_x = × 10³ mm³

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 15 kN·m. Encontre a tensão de flexão σ_base na borda inferior.

b_f = 180 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 260 mmM = 15 kN·m

σ_base = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 60 MPa, σᵧ = −70 MPa e τₓᵧ = 30 MPa (tração positiva). Calcule o ângulo θ_p do eixo x até a direção da maior tensão principal, entre −90° e 90°.

σ_x = 60 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_p = °

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um tanque cilíndrico de parede fina com diâmetro interno de 800 mm e espessura de parede de 12 mm contém gás a uma pressão manométrica de 1,2 MPa. Ele é feito de chapa soldada ao longo de uma costura helicoidal a 25° do eixo do cilindro. Encontre a tensão normal σ_n que atua através da costura de solda.

D = 800 mmt = 12 mmp = 1,2 MPaα = 25°

σ_n = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço de comprimento L está engastada em A e suporta uma carga concentrada P a uma distância a = 1,5 m de A. Encontre a deflexão δ_B na extremidade livre B.

P = 18 kNa = 1,5 mL = 2 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga engastada e apoiada está engastada em A e simplesmente apoiada em B. Ela suporta uma carga concentrada P no meio do vão. EI é constante. Encontre a reação R_B no apoio B.

L = 3 mP = 40 kN em 1,5 m

R_B = kN

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (alumínio)b × h = 30 × 40 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de aço está engastado na base e articulado no topo. Ele deve suportar 75 kN com um fator de segurança de 2 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 75 kNn = 2L = 2,5 mE = 200 GPa (aço)

d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 0,019 mm

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·9346 = 1,263 × 10⁹ N

Encurtamento

δ = 80000·300/1,263 × 10⁹ = 0,019 mm

Resposta

δ = 0,019 mm

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ_max = 95,49 MPa

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 23,87 MPa

σ₂ = 95,49 MPa

Maior tensão

O trecho mais fino tem a menor área, então suporta a maior tensão.

σ_max = 95,49 MPa

Resposta

σ_max = 95,49 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 5,261 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 750·1000·800/(26000·251327) = 0,09182 rad

φ = 0,09182·180/π = 5,261°

Resposta

φ = 5,261°

4.Torção de eixos

Resposta: d_o = 26,97 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 20000/151,8 = 131,7 N·m

Diâmetro externo pela tensão admissível

T = 131,7 N·m = 131714 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·131714/(π·50·0,6836)) = 26,97 mm

d_i = 0,75·26,97 = 20,23 mm

Resposta

d_o = 26,97 mm

Um eixo maciço precisaria de d = 23,76 mm; o vazado é um pouco maior, mas muito mais leve.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_A = −36,5 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Fique com a parte da extremidade livre

P: −25·0,5 = −12,5 kN·m

w: −12·2²/2 = −24 kN·m

M_A = −12,5 − 24 = −36,5 kN·m

Resposta

M_A = −36,5 kN·m

Negativo significa tração na face superior.

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: C (x = 4 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 43 kN, R₂ = 97 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 76, M_C = 132 kN·m, M_D = 78, M_E = 4, M_F = −90, M_G = 0

Resposta

Marca C: M_C = 132 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: S_x = 994,3 × 10³ mm³

Momento de inércia de área: para um retângulo em relação ao seu próprio eixo centroidal I = bh³/12, e em relação à sua base bh³/3 (teorema dos eixos paralelos I = I_c + A·d²). Um furo é tratado subtraindo seu I, desde que as duas partes usem o mesmo eixo. O módulo de resistência elástico é S = I/c, onde c é a distância até a fibra mais afastada.

Retângulo externo menos os dois recortes laterais

Os dois recortes juntos têm (B − t_w) de largura e h_w = H − 2t_f de altura, e compartilham o eixo x.

h_w = 380 − 2·24 = 332 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (100·380³ − 88·332³)/12

I_x = 1,889 × 10⁸ mm⁴

Módulo de resistência

c = H/2 = 190 mm

S_x = I/c = 1,889 × 10⁸/190

S_x = 994252 mm³ = 994,3 × 10³ mm³

Resposta

S_x = 994,3 × 10³ mm³

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_base = 87,08 MPa

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 180·20 = 3600 mm², y_f = 260 + 20/2 = 270 mm

alma: A_w = 8·260 = 2080 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·270 + 2080·130)/5680 = 218,7 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 180·20³/12 + 3600·(270 − 218,7)² = 9,582 × 10⁶ mm⁴

alma: 8·260³/12 + 2080·(130 − 218,7)² = 2,809 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,582 × 10⁶ + 2,809 × 10⁷ = 3,768 × 10⁷ mm⁴

Tensão de flexão

A borda inferior está a ȳ do eixo.

y = 218,7 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·218,7/3,768 × 10⁷ = 87,08 MPa

Resposta

σ_base = 87,08 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: θ_p = 12,39 °

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Ângulo no círculo

No círculo de Mohr, o ponto x fica a um ângulo 2θp do eixo σ; o quadrante decorre dos sinais de σₓ − σᵧ e τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·30, 60 − −70) = 24,78°

Ângulo no elemento

θ_p = 12,39°

Resposta

θ_p = 12,39°

Ângulos positivos são no sentido anti-horário.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_n = 36,43 MPa

Tensões na parede

r = 800/2 = 400 mm

σ_h = pr/t = 1,2·400/12 = 40 MPa

σ_a = pr/(2t) = 20 MPa

Transforme para a costura

Tome x ao longo do eixo (σ_a) e y na direção circunferencial (σ_h). A normal da costura forma 90° − α com o eixo.

σ_n = 20·sin²25° + 40·cos²25° = 36,43 MPa

Resposta

σ_n = 36,43 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_B = 76,7 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 18000 N, a = 1500 mm, L = 2000 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Deflexão na extremidade livre

Deflexão na carga mais a rotação na carga vezes o comprimento restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 51,14 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,05114 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 76,7 mm

Resposta

δ_B = 76,7 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: R_B = 12,5 kN

Retire o apoio

Sem o apoio a viga é um balanço. Sua extremidade livre defletiria sob a carga.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Compatibilidade no apoio

A força do apoio R_B sozinha levanta a extremidade livre em R_BL³/(3EI). O apoio mantém B com deflexão zero, então as duas devem se anular. EI se cancela.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·40/16 = 12,5 kN

Resposta

R_B = 12,5 kN

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 9,949 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·90000/2500² = 9949 N = 9,949 kN

Resposta

P_cr = 9,949 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 46,66 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 2·75000 = 150000 N

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 46,66 mm

Resposta

d = 46,66 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 150, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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