Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre a deformação axial ε na barra de aço, em microdeformação (µε = 10⁻⁶).

P = 120 kNd = 16 mmL = 2,5 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre a maior tensão normal σ_max na barra.

P = 40 kNtrecho 1: Ø25 mm, 1,5 m, alumínio (E = 70 GPa)trecho 2: Ø20 mm, 0,5 m, cobre (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de aço está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 200 N·md = 40 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo vazado transmite 75 kW a 300 rpm. Encontre a tensão de cisalhamento máxima τ_max no eixo.

P = 75 kWN = 300 rpmd_o = 60 mmd_i = 45 mm

τ_max = MPa

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 2,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 8 mw = 4 kN/m de 0 a 8 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão e uma carga concentrada P. Encontre o momento fletor máximo M_max na viga.

L = 4 mP = 35 kN em 2,5 mw = 12 kN/m de 0 a 4 m

M_max = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Uma placa de 120 mm × 150 mm tem um furo circular de diâmetro 30 mm na sua linha de centro vertical, com o centro a 60 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 120 mmh = 150 mmd = 30 mmcentro do furo: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Uma viga de ferro fundido tem a seção T mostrada, com a mesa em cima. As tensões admissíveis são 30 MPa na tração e 120 MPa na compressão. Encontre o maior momento fletor positivo M_allow que a viga pode suportar.

b_f = 140 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 100 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 20 MPa, σᵧ = −80 MPa e τₓᵧ = −60 MPa (tração positiva). Calcule o ângulo θ_p do eixo x até a direção da maior tensão principal, entre −90° e 90°.

σ_x = 20 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_p = °

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um tanque cilíndrico de parede fina com diâmetro interno de 1000 mm e espessura de parede de 8 mm contém gás a uma pressão manométrica de 2 MPa. Ele é feito de chapa soldada ao longo de uma costura helicoidal a 40° do eixo do cilindro. Encontre o módulo da tensão de cisalhamento |τ_n| que atua ao longo da costura de solda.

D = 1000 mmt = 8 mmp = 2 MPaα = 40°

|τ_n| = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a deflexão máxima δ_max, no meio do vão.

w = 20 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (aço)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga engastada e apoiada está engastada em A e simplesmente apoiada em B. Ela suporta uma carga concentrada P no meio do vão. EI é constante. Encontre a reação R_B no apoio B.

L = 5 mP = 35 kN em 2,5 m

R_B = kN

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está articulado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (aço)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado nas duas extremidades. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 3 mE = 200 GPa (aço)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: ε = 2984 µε

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 120·1000/201,1 = 596,8 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for aço = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 596,8/200000 = 0,002984 = 2984 µε

Resposta

ε = 2984 µε

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ_max = 127,3 MPa

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 81,49 MPa

σ₂ = 127,3 MPa

Maior tensão

O trecho mais fino tem a menor área, então suporta a maior tensão.

σ_max = 127,3 MPa

Resposta

σ_max = 127,3 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 1,14 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2000/(80000·251327) = 0,01989 rad

φ = 0,01989·180/π = 1,14°

Resposta

φ = 1,14°

4.Torção de eixos

Resposta: τ_max = 82,34 MPa

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 75000/31,42 = 2387 N·m

Momento polar de inércia

J = π(60⁴ − 45⁴)/32 = 869767 mm⁴

Tensão de cisalhamento máxima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 2,387 × 10⁶·30/869767 = 82,34 MPa

Resposta

τ_max = 82,34 MPa

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 27,5 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, atuando em x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 4·8·4

R_B = 128/8 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 16 = 16 kN

Corte em x = 2,5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 16·2,5 − 4·2,5·1,25 = 27,5 kN·m

Resposta

M_x = 27,5 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 55,31 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, atuando em x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 35·2,5 + 12·4·2

R_B = 183,5/4 = 45,88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 83 − 45,88 = 37,13 kN

Onde V = 0?

V(2,5⁻) = R_A − w·2,5 = 7,125 kN

V(2,5⁺) = 7,125 − 35 = −27,88 kN

O cortante muda de sinal na carga, então o máximo fica sob a carga.

Momento máximo

M_max = R_A·2,5 − w·2,5²/2 = 37,13·2,5 − 12·2,5²/2 = 55,31 kN·m

Resposta

M_max = 55,31 kN·m

Ele ocorre em x = 2,5 m a partir de A.

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 33,54 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (18000·75 − 706,9·60)/(18000 − 706,9) = 75,61 mm

Placa inteira em torno de ȳ

120·150³/12 + 18000·−0,6131² = 33,76 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−15,61² = 0,2121 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 33,54 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 33,54 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: M_allow = 1,588 kN·m

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Centroide

ȳ = (2100·107,5 + 1600·50)/3700 = 82,64 mm

borda superior: c = 115 − 82,64 = 32,36 mm

Momento de inércia de área

I = 140·15³/12 + 2100·24,86² + 16·100³/12 + 1600·32,64² = 4,375 × 10⁶ mm⁴

Momento admitido por cada borda

Momento positivo: a face superior fica comprimida, a inferior tracionada.

borda superior: M = 120·4,375 × 10⁶/32,36 = 16,22 kN·m

borda inferior: M = 30·4,375 × 10⁶/82,64 = 1,588 kN·m

Valor determinante

M_allow = min = 1,588 kN·m (borda inferior)

Resposta

M_allow = 1,588 kN·m

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: θ_p = −25,1 °

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Ângulo no círculo

No círculo de Mohr, o ponto x fica a um ângulo 2θp do eixo σ; o quadrante decorre dos sinais de σₓ − σᵧ e τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−60, 20 − −80) = −50,19°

Ângulo no elemento

θ_p = −25,1°

Resposta

θ_p = −25,1°

Ângulos positivos são no sentido anti-horário.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: |τ_n| = 30,78 MPa

Tensões na parede

r = 1000/2 = 500 mm

σ_h = pr/t = 2·500/8 = 125 MPa

σ_a = pr/(2t) = 62,5 MPa

Transforme para a costura

Tome x ao longo do eixo (σ_a) e y na direção circunferencial (σ_h). A normal da costura forma 90° − α com o eixo.

|τ_n| = (125 − 62,5)·sin 40°·cos 40° = 30,78 MPa

Resposta

|τ_n| = 30,78 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 46,88 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 6000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Deflexão

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·6000⁴/(384·7,2 × 10¹²) = 46,88 mm

Resposta

δ_max = 46,88 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: R_B = 10,94 kN

Retire o apoio

Sem o apoio a viga é um balanço. Sua extremidade livre defletiria sob a carga.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Compatibilidade no apoio

A força do apoio R_B sozinha levanta a extremidade livre em R_BL³/(3EI). O apoio mantém B com deflexão zero, então as duas devem se anular. EI se cancela.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·35/16 = 10,94 kN

Resposta

R_B = 10,94 kN

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 9,462 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 1·2000 = 2000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/2000² = 9462 N = 9,462 kN

Resposta

P_cr = 9,462 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 34,27 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/6,25 = 240

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/240² = 34,27 MPa

Resposta

σ_cr = 34,27 MPa

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