Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercícios Voltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre o alongamento δ da barra de latão sob a carga axial.

P = 10 kNd = 16 mmL = 3 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre o alongamento total δ.

P = 60 kNtrecho 1: Ø35 mm, 1 m, cobre (E = 117 GPa)trecho 2: Ø12 mm, 0,5 m, latão (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de latão está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 1000 N·md = 50 mmL = 0,8 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço deve transmitir 5 kW a 1000 rpm sem que a tensão de cisalhamento passe de 75 MPa. Encontre o menor diâmetro d que funciona.

P = 5 kWN = 1000 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 1 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 5 mw = 5 kN/m de 0 a 5 mx = 1 m

M_x = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

40 kN @ 6 m40 kN @ 2 m6 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Uma placa de 100 mm × 300 mm tem um furo circular de diâmetro 40 mm na sua linha de centro vertical, com o centro a 210 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 100 mmh = 300 mmd = 40 mmcentro do furo: y = 210 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 40 kN·m. Encontre o valor da tensão de flexão σ_topo na borda superior.

b_f = 280 mmt_f = 25 mmt_w = 10 mmh_w = 100 mmM = 40 kN·m

σ_topo = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto tem σₓ = 160 MPa, σᵧ = 80 MPa e τₓᵧ = 30 MPa (tração positiva). O elemento é girado 20° no sentido anti-horário. Encontre a tensão normal σ_y′ nas faces do elemento girado que são perpendiculares ao eixo girado y′.

σ_x = 160 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 20°

σ_y′ = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = −80 MPa, σᵧ = −20 MPa e τₓᵧ = 20 MPa (tração positiva). Calcule a tensão normal σ_θ em um plano cuja normal está girada 60° no sentido anti-horário a partir do eixo x.

σ_x = −80 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a deflexão máxima δ_max, no meio do vão.

w = 2 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w. Sua deflexão não pode passar de vão/360. Encontre o menor momento de inércia I_req que atende a esse limite.

w = 4 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (madeira estrutural)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (alumínio)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de alumínio está articulado nas duas extremidades. Ele deve suportar 90 kN com um fator de segurança de 2,5 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 90 kNn = 2,5L = 3 mE = 70 GPa (alumínio)

d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 1,492 mm

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 10·1000/201,1 = 49,74 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for latão = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 49,74/100000 = 0,0004974 = 497,4 µε

Alongamento

δ = ε·L = 0,0004974·3000 mm = 1,492 mm

Resposta

δ = 1,492 mm

2.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 3,186 mm

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 62,36 MPa

σ₂ = 530,5 MPa

Some os alongamentos dos trechos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 62,36·1000/117000 = 0,533 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 530,5·500/100000 = 2,653 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,186 mm

Resposta

δ = 3,186 mm

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 1,915 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·800/(39000·613592) = 0,03343 rad

φ = 0,03343·180/π = 1,915°

Resposta

φ = 1,915°

4.Torção de eixos

Resposta: d = 14,8 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 5000/104,7 = 47,75 N·m

Diâmetro a partir da tensão admissível

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·47746/(π·75)) = 14,8 mm

Resposta

d = 14,8 mm

Na prática você arredondaria para o próximo tamanho padrão.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 10 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, atuando em x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 5·5·2,5

R_B = 62,5/5 = 12,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 25 − 12,5 = 12,5 kN

Corte em x = 1 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 12,5·1 − 5·1·0,5 = 10 kN·m

Resposta

M_x = 10 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: E (x = 4 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 12 kN, R₂ = 92 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 9, M_C = 12, M_D = −31, M_E = −80 kN·m, M_F = −40, M_G = 0

Resposta

Marca E: M_E = −80 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 220,2 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (30000·150 − 1257·210)/(30000 − 1257) = 147,4 mm

Placa inteira em torno de ȳ

100·300³/12 + 30000·2,623² = 225,2 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

π·40⁴/64 + 1257·62,62² = 5,054 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 220,2 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 220,2 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_topo = 176 MPa

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 280·25 = 7000 mm², y_f = 100 + 25/2 = 112,5 mm

alma: A_w = 10·100 = 1000 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7000·112,5 + 1000·50)/8000 = 104,7 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 280·25³/12 + 7000·(112,5 − 104,7)² = 791829 mm⁴

alma: 10·100³/12 + 1000·(50 − 104,7)² = 3,824 × 10⁶ mm⁴

I_x = 791829 + 3,824 × 10⁶ = 4,616 × 10⁶ mm⁴

Tensão de flexão

A borda superior está a h − ȳ do eixo.

y = 125 − 104,7 = 20,31 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·20,31/4,616 × 10⁶ = 176 MPa

Resposta

σ_topo = 176 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_y′ = 70,07 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Equação de transformação para a face y′

σ_y′ = 120 − 40·0,766 − 30·0,6428 = 70,07 MPa

Verificação

A soma das tensões normais não muda com a rotação.

σ_x′ = 169,9 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 240 = σ_x + σ_y

Resposta

σ_y′ = 70,07 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_θ = −17,68 MPa

Equação de transformação

σ_θ = −50 + −30·−0,5 + 20·0,866 = −17,68 MPa

Resposta

σ_θ = −17,68 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 3,157 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²

Deflexão

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·2000⁴/(384·1,32 × 10¹¹) = 3,157 mm

Resposta

δ_max = 3,157 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: I_req = 213,1 × 10⁶ mm⁴

Limite de deflexão

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Momento de inércia necessário

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·5000⁴/(384·11000·13,89) = 2,131 × 10⁸ mm⁴

I_req = 213,1 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_req = 213,1 × 10⁶ mm⁴

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 13,25 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1000² = 13247 N = 13,25 kN

Resposta

P_cr = 13,25 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 87,91 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 2,5·90000 = 225000 N

KL = 1·3000 = 3000 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·225000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 87,91 mm

Resposta

d = 87,91 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 136,5, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials