Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre a deformação axial ε na barra de alumínio, em microdeformação (µε = 10⁻⁶).

P = 105 kNd = 20 mmL = 0,5 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Tensão e deformação axialDifícil

Um trecho de aço (diâmetro 25 mm, comprimento 300 mm, E = 200 GPa) e um trecho de latão (diâmetro 40 mm, comprimento 500 mm, E = 100 GPa) são unidos topo a topo e fixados entre duas paredes rígidas. Uma carga axial de 60 kN atua na junção, no sentido do trecho 2. Encontre o valor da tensão σ₂ no trecho 2.

trecho 1: aço, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPatrecho 2: latão, Ø40 mm, 500 mm, E = 100 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de aço está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 100 N·md = 20 mmL = 0,8 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço de alumínio com diâmetro 50 mm está fixo a paredes rígidas nas duas extremidades A e B. Um torque de 250 N·m é aplicado em C, a 0,8 m de A e a 1 m de B. Encontre o ângulo de rotação φ_C da seção C, em graus.

d = 50 mmT₀ = 250 N·ma = 0,8 mb = 1 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

A viga em balanço está engastada em A. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento e uma carga concentrada P a 4,5 m de A. Encontre o momento fletor M_x na seção x = 1,5 m a partir do engaste A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 5 mP = 65 kN em 4,5 mw = 5 kN/m de 0 a 5 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 2,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 6 mP = 30 kN em 2,5 mw = 10 kN/m de 0 a 6 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Um perfil I simétrico tem mesas de 250 mm de largura e 10 mm de espessura, altura total de 340 mm e alma de 8 mm de espessura. Encontre seu momento de inércia I_x em relação ao eixo centroidal horizontal x.

B = 250 mmH = 340 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Uma viga de ferro fundido tem a seção T mostrada, com a mesa em cima. As tensões admissíveis são 35 MPa na tração e 90 MPa na compressão. Encontre o maior momento fletor positivo M_allow que a viga pode suportar.

b_f = 100 mmt_f = 25 mmt_w = 10 mmh_w = 160 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto tem σₓ = −80 MPa, σᵧ = 30 MPa e τₓᵧ = −50 MPa (tração positiva). Encontre o ângulo θ_s, entre −90° e 90°, do eixo x até a normal do plano em que a tensão de cisalhamento tem seu valor máximo positivo +R (cisalhamento positivo no mesmo sentido de τₓᵧ).

σ_x = −80 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_s = °

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 40 MPa, σᵧ = 10 MPa e τₓᵧ = −30 MPa (tração positiva). Calcule a tensão de cisalhamento τ_θ em um plano cuja normal está girada 30° no sentido anti-horário a partir do eixo x (positiva no mesmo sentido de τₓᵧ).

σ_x = 40 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 30°

τ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a deflexão máxima δ_max, no meio do vão.

w = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga de madeira simplesmente apoiada, de seção retangular com 100 mm de largura, suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Sua deflexão no meio do vão não pode passar de vão/250. Encontre a menor altura h_req da seção.

w = 1,5 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (madeira estrutural)b = 100 mm

h_req = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está articulado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (alumínio)b × h = 30 × 40 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de aço está engastado na base e articulado no topo. Ele deve suportar 15 kN com um fator de segurança de 2 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 15 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (aço)

d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: ε = 4775 µε

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 105·1000/314,2 = 334,2 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for alumínio = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 334,2/70000 = 0,004775 = 4775 µε

Resposta

ε = 4775 µε

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ₂ = 20,74 MPa

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Rigidezes

k₁ = 200000·490,9/300 = 327249 N/mm

k₂ = 100000·1257/500 = 251327 N/mm

Fatia do trecho 2

F₂ = 60000·251327/578577 = 26063 N

Tensão

σ₂ = 26063/1257 = 20,74 MPa (compressão)

Resposta

σ₂ = 20,74 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 3,648 °

Momento polar de inércia

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 100·1000·800/(80000·15708) = 0,06366 rad

φ = 0,06366·180/π = 3,648°

Resposta

φ = 3,648°

4.Torção de eixos

Resposta: φ_C = 0,399 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω. Quando as duas extremidades estão fixas, a estática sozinha dá apenas T_A + T_B = T₀; a segunda equação é a compatibilidade (torções iguais das duas partes na seção carregada).

Equilíbrio e compatibilidade

T_A + T_B = 250

T_A·a = T_B·b

T_A = 250·1/1,8 = 138,9 N·m

T_B = 250·0,8/1,8 = 111,1 N·m

Rotação de C

Use o trecho AC: ele está fixo em A e suporta T_A.

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 138889·800/(26000·613592) = 0,006965 rad = 0,399°

Resposta

φ_C = 0,399°

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = −225,6 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Fique com a parte da extremidade livre

P: −65·3 = −195 kN·m

w: −5·3,5²/2 = −30,63 kN·m

M_x = −195 − 30,63 = −225,6 kN·m

Resposta

M_x = −225,6 kN·m

Negativo significa tração na face superior.

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 87,5 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, atuando em x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·2,5 + 10·6·3

R_B = 255/6 = 42,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 42,5 = 47,5 kN

Corte em x = 2,5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 47,5·2,5 − 10·2,5·1,25 = 87,5 kN·m

Resposta

M_x = 87,5 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 158 × 10⁶ mm⁴

Momento de inércia de área: para um retângulo em relação ao seu próprio eixo centroidal I = bh³/12, e em relação à sua base bh³/3 (teorema dos eixos paralelos I = I_c + A·d²). Um furo é tratado subtraindo seu I, desde que as duas partes usem o mesmo eixo. O módulo de resistência elástico é S = I/c, onde c é a distância até a fibra mais afastada.

Retângulo externo menos os dois recortes laterais

Os dois recortes juntos têm (B − t_w) de largura e h_w = H − 2t_f de altura, e compartilham o eixo x.

h_w = 340 − 2·10 = 320 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (250·340³ − 242·320³)/12

I_x = 1,58 × 10⁸ mm⁴ = 158 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 158 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: M_allow = 3,051 kN·m

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Centroide

ȳ = (2500·172,5 + 1600·80)/4100 = 136,4 mm

borda superior: c = 185 − 136,4 = 48,6 mm

Momento de inércia de área

I = 100·25³/12 + 2500·36,1² + 10·160³/12 + 1600·56,4² = 1,189 × 10⁷ mm⁴

Momento admitido por cada borda

Momento positivo: a face superior fica comprimida, a inferior tracionada.

borda superior: M = 90·1,189 × 10⁷/48,6 = 22,02 kN·m

borda inferior: M = 35·1,189 × 10⁷/136,4 = 3,051 kN·m

Valor determinante

M_allow = min = 3,051 kN·m (borda inferior)

Resposta

M_allow = 3,051 kN·m

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: θ_s = 66,14 °

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Ângulo no círculo

No círculo de Mohr o ponto do topo (+R) está a 90° do ponto principal σ₁; no elemento isso corresponde a 45°.

cos 2θ_s = −50/74,33 = −0,6727, sin 2θ_s = −(−55)/74,33 = 0,7399

2θ_s = atan2(55, −50) = 132,3°

Ângulo no elemento

θ_s = 66,14°

verificação: θ_s − θ_p = 66,14 − (−68,86) = 135°

Resposta

θ_s = 66,14°

Ângulos positivos são no sentido anti-horário.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_θ = −27,99 MPa

Equação de transformação

τ_θ = −15·0,866 + −30·0,5 = −27,99 MPa

Resposta

τ_θ = −27,99 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 3,196 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Deflexão

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·3000⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 3,196 mm

Resposta

δ_max = 3,196 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: h_req = 150,5 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 1,5 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²

Limite de deflexão

δ_allow = L/250 = 4000/250 = 16 mm

Momento de inércia necessário

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1,5·4000⁴/(384·11000·16) = 2,841 × 10⁷ mm⁴

Altura necessária

bh³/12 = I_req → h = (12·2,841 × 10⁷/100)^1/3 = 150,5 mm

Resposta

h_req = 150,5 mm

Na prática, escolha a próxima altura padronizada acima desse valor.

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 15,54 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 1·2000 = 2000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·90000/2000² = 15545 N = 15,54 kN

Resposta

P_cr = 15,54 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 44,13 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 2·15000 = 30000 N

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·3500²/(π³·200000))^(1/4) = 44,13 mm

Resposta

d = 44,13 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 317,2, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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