Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre o alongamento δ da barra de aço sob a carga axial.

P = 50 kNd = 16 mmL = 1,5 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre a maior tensão normal σ_max na barra.

P = 40 kNtrecho 1: Ø35 mm, 0,5 m, aço (E = 200 GPa)trecho 2: Ø20 mm, 1,5 m, cobre (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de alumínio está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 500 N·md = 30 mmL = 0,8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo vazado transmite 50 kW a 1500 rpm. Encontre a tensão de cisalhamento máxima τ_max no eixo.

P = 50 kWN = 1500 rpmd_o = 40 mmd_i = 24 mm

τ_max = MPa

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

A viga simplesmente apoiada suporta duas cargas concentradas. Encontre o momento fletor máximo M_max na viga.

L = 4 mP₁ = 25 kN em 2,5 mP₂ = 35 kN em 3 m

M_max = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

20 kN @ 6 m5 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Encontre o momento de inércia I_x da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

b_f = 160 mmt_f = 30 mmt_w = 8 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 50 kN·m. Encontre a tensão de flexão σ_base na borda inferior.

b_f = 240 mmt_f = 25 mmt_w = 10 mmh_w = 260 mmM = 50 kN·m

σ_base = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 120 MPa, σᵧ = −40 MPa e τₓᵧ = 30 MPa (tração positiva). Calcule a tensão de cisalhamento máxima no plano τ_max.

σ_x = 120 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 120 MPa, σᵧ = −80 MPa e τₓᵧ = 40 MPa (tração positiva). Calcule a tensão normal σ_θ em um plano cuja normal está girada 60° no sentido anti-horário a partir do eixo x.

σ_x = 120 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a rotação θ_A da viga no apoio A, em radianos.

w = 6 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (alumínio)I = 23 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga de madeira simplesmente apoiada, de seção retangular com 100 mm de largura, suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Sua deflexão no meio do vão não pode passar de vão/360. Encontre a menor altura h_req da seção.

w = 1,5 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (madeira estrutural)b = 100 mm

h_req = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e articulado no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (aço)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado nas duas extremidades. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 1,5 mE = 70 GPa (alumínio)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 1,865 mm

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 50·1000/201,1 = 248,7 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for aço = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 248,7/200000 = 0,001243 = 1243 µε

Alongamento

δ = ε·L = 0,001243·1500 mm = 1,865 mm

Resposta

δ = 1,865 mm

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ_max = 127,3 MPa

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 41,58 MPa

σ₂ = 127,3 MPa

Maior tensão

O trecho mais fino tem a menor área, então suporta a maior tensão.

σ_max = 127,3 MPa

Resposta

σ_max = 127,3 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 11,08 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 500·1000·800/(26000·79522) = 0,1935 rad

φ = 0,1935·180/π = 11,08°

Resposta

φ = 11,08°

4.Torção de eixos

Resposta: τ_max = 29,1 MPa

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 50000/157,1 = 318,3 N·m

Momento polar de inércia

J = π(40⁴ − 24⁴)/32 = 218755 mm⁴

Tensão de cisalhamento máxima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 318310·20/218755 = 29,1 MPa

Resposta

τ_max = 29,1 MPa

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 45,31 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 25·2,5 + 35·3

R_B = 167,5/4 = 41,88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 41,88 = 18,13 kN

Momento sob cada carga

Fique com a parte à esquerda de cada carga.

sob P₁: M = R_A·2,5 = 18,13·2,5 = 45,31 kN·m

sob P₂: M = R_B·1 = 41,88·1 = 41,88 kN·m

Maior valor

M_max = 45,31 kN·m (sob P₁)

Resposta

M_max = 45,31 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: E (x = 4 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 0 kN, R₂ = 40 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = −2,5, M_C = −10, M_D = −22,5, M_E = −40 kN·m, M_F = −20, M_G = 0

Resposta

Marca E: M_E = −40 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 61,92 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 160·30 = 4800 mm², y_f = 300 + 30/2 = 315 mm

alma: A_w = 8·300 = 2400 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·315 + 2400·150)/7200 = 260 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 160·30³/12 + 4800·(315 − 260)² = 1,488 × 10⁷ mm⁴

alma: 8·300³/12 + 2400·(150 − 260)² = 4,704 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,488 × 10⁷ + 4,704 × 10⁷ = 6,192 × 10⁷ mm⁴ = 61,92 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 61,92 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_base = 221,5 MPa

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 240·25 = 6000 mm², y_f = 260 + 25/2 = 272,5 mm

alma: A_w = 10·260 = 2600 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·272,5 + 2600·130)/8600 = 229,4 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 240·25³/12 + 6000·(272,5 − 229,4)² = 1,145 × 10⁷ mm⁴

alma: 10·260³/12 + 2600·(130 − 229,4)² = 4,035 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,145 × 10⁷ + 4,035 × 10⁷ = 5,179 × 10⁷ mm⁴

Tensão de flexão

A borda inferior está a ȳ do eixo.

y = 229,4 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·229,4/5,179 × 10⁷ = 221,5 MPa

Resposta

σ_base = 221,5 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_max = 85,44 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Raio do círculo de Mohr

τ_max = R = √(((120 − −40)/2)² + 30²) = 85,44 MPa

Resposta

τ_max = 85,44 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_θ = 4,641 MPa

Equação de transformação

σ_θ = 20 + 100·−0,5 + 40·0,866 = 4,641 MPa

Resposta

σ_θ = 4,641 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: θ_A = 0,002426 rad

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição). A rotação θ = dv/dx é a primeira integral de M/(EI); em unidades consistentes ela sai em radianos.

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Rotação na extremidade

θ_A = wL³/(24EI) = 6·2500³/(24·1,61 × 10¹²) = 0,002426 rad

Resposta

θ_A = 0,002426 rad

Isso equivale a 0,139°.

12.Deflexão da viga

Resposta: h_req = 212,4 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 1,5 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Limite de deflexão

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Momento de inércia necessário

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1,5·5000⁴/(384·11000·13,89) = 7,99 × 10⁷ mm⁴

Altura necessária

bh³/12 = I_req → h = (12·7,99 × 10⁷/100)^1/3 = 212,4 mm

Resposta

h_req = 212,4 mm

Na prática, escolha a próxima altura padronizada acima desse valor.

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 36,26 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/3500² = 36256 N = 36,26 kN

Resposta

P_cr = 36,26 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 69,09 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,5·1500 = 750 mm

KL/r = 750/7,5 = 100

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69,09 MPa

Resposta

σ_cr = 69,09 MPa

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