Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercícios Voltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre a deformação axial ε na barra de alumínio, em microdeformação (µε = 10⁻⁶).

P = 60 kNd = 30 mmL = 1 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Tensão e deformação axialDifícil

Um trecho de aço (diâmetro 25 mm, comprimento 500 mm, E = 200 GPa) e um trecho de latão (diâmetro 30 mm, comprimento 500 mm, E = 100 GPa) são unidos topo a topo e fixados entre duas paredes rígidas. Uma carga axial de 20 kN atua na junção, no sentido do trecho 2. Encontre o valor da tensão σ₂ no trecho 2.

trecho 1: aço, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPatrecho 2: latão, Ø30 mm, 500 mm, E = 100 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de alumínio está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 500 N·md = 40 mmL = 2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo vazado transmite 100 kW a 1800 rpm. Encontre a tensão de cisalhamento máxima τ_max no eixo.

P = 100 kWN = 1800 rpmd_o = 40 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

45 kN @ 4 m60 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 2 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 4 mP = 25 kN em 3 mw = 3 kN/m de 0 a 4 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Um perfil I simétrico tem mesas de 130 mm de largura e 14 mm de espessura, altura total de 460 mm e alma de 10 mm de espessura. Encontre seu momento de inércia I_x em relação ao eixo centroidal horizontal x.

B = 130 mmH = 460 mmt_f = 14 mmt_w = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Uma viga de ferro fundido tem a seção T mostrada, com a mesa em cima. As tensões admissíveis são 60 MPa na tração e 120 MPa na compressão. Encontre o maior momento fletor positivo M_allow que a viga pode suportar.

b_f = 120 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 120 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = −20 MPa, σᵧ = −40 MPa e τₓᵧ = −60 MPa (tração positiva). Calcule o ângulo θ_p do eixo x até a direção da maior tensão principal, entre −90° e 90°.

σ_x = −20 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_p = °

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma placa fina está em estado plano de tensão: σₓ = 10 MPa, σᵧ = −30 MPa e τₓᵧ = −10 MPa (σ_z = 0). O material tem tensão de escoamento de 355 MPa. Encontre o fator de segurança n contra o escoamento pelo critério de von Mises (energia de distorção).

σ_x = 10 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −10 MPaσ_Y = 355 MPa

n =

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento e uma carga concentrada P na extremidade livre. Usando superposição, encontre a deflexão δ na extremidade livre.

P = 11 kNw = 20 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (alumínio)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta duas cargas concentradas iguais P nos terços do vão (a L/3 de cada apoio). Usando superposição, encontre a deflexão no meio do vão δ_max.

P = 27 kNL = 4 mE = 70 GPa (alumínio)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (aço)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e articulado no topo. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 4 mE = 70 GPa (alumínio)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: ε = 1213 µε

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 60·1000/706,9 = 84,88 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for alumínio = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 84,88/70000 = 0,001213 = 1213 µε

Resposta

ε = 1213 µε

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ₂ = 11,84 MPa

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Rigidezes

k₁ = 200000·490,9/500 = 196350 N/mm

k₂ = 100000·706,9/500 = 141372 N/mm

Fatia do trecho 2

F₂ = 20000·141372/337721 = 8372 N

Tensão

σ₂ = 8372/706,9 = 11,84 MPa (compressão)

Resposta

σ₂ = 11,84 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 8,768 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 500·1000·2000/(26000·251327) = 0,153 rad

φ = 0,153·180/π = 8,768°

Resposta

φ = 8,768°

4.Torção de eixos

Resposta: τ_max = 61,76 MPa

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 100000/188,5 = 530,5 N·m

Momento polar de inércia

J = π(40⁴ − 30⁴)/32 = 171806 mm⁴

Tensão de cisalhamento máxima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 530516·20/171806 = 61,76 MPa

Resposta

τ_max = 61,76 MPa

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: D (x = 6 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 60 kN, R₂ = 45 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 120, M_C = 240, M_D = 270 kN·m, M_E = 180, M_F = 90, M_G = 0

Resposta

Marca D: M_D = 270 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 18,5 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, atuando em x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 25·3 + 3·4·2

R_B = 99/4 = 24,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 37 − 24,75 = 12,25 kN

Corte em x = 2 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 12,25·2 − 3·2·1 = 18,5 kN·m

Resposta

M_x = 18,5 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 248,3 × 10⁶ mm⁴

Momento de inércia de área: para um retângulo em relação ao seu próprio eixo centroidal I = bh³/12, e em relação à sua base bh³/3 (teorema dos eixos paralelos I = I_c + A·d²). Um furo é tratado subtraindo seu I, desde que as duas partes usem o mesmo eixo. O módulo de resistência elástico é S = I/c, onde c é a distância até a fibra mais afastada.

Retângulo externo menos os dois recortes laterais

Os dois recortes juntos têm (B − t_w) de largura e h_w = H − 2t_f de altura, e compartilham o eixo x.

h_w = 460 − 2·14 = 432 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (130·460³ − 120·432³)/12

I_x = 2,483 × 10⁸ mm⁴ = 248,3 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 248,3 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: M_allow = 4,226 kN·m

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Centroide

ȳ = (1200·125 + 2160·60)/3360 = 83,21 mm

borda superior: c = 130 − 83,21 = 46,79 mm

Momento de inércia de área

I = 120·10³/12 + 1200·41,79² + 18·120³/12 + 2160·23,21² = 5,861 × 10⁶ mm⁴

Momento admitido por cada borda

Momento positivo: a face superior fica comprimida, a inferior tracionada.

borda superior: M = 120·5,861 × 10⁶/46,79 = 15,03 kN·m

borda inferior: M = 60·5,861 × 10⁶/83,21 = 4,226 kN·m

Valor determinante

M_allow = min = 4,226 kN·m (borda inferior)

Resposta

M_allow = 4,226 kN·m

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: θ_p = −40,27 °

Ângulo no círculo

No círculo de Mohr, o ponto x fica a um ângulo 2θp do eixo σ; o quadrante decorre dos sinais de σₓ − σᵧ e τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−60, −20 − −40) = −80,54°

Ângulo no elemento

θ_p = −40,27°

Resposta

θ_p = −40,27°

Ângulos positivos são no sentido anti-horário.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: n = 8,875

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R. Critérios de escoamento: von Mises prevê escoamento quando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) atinge σ_Y; Tresca quando a tensão de cisalhamento máxima absoluta atinge σ_Y/2.

Tensões principais

C = −10 MPa, R = 22,36 MPa

σ₁ = 12,36 MPa, σ₂ = −32,36 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(12,36² − 12,36·(−32,36) + (−32,36)²) = 40 MPa

n = 355/40 = 8,875

Resposta

n = 8,875

n > 1 significa que o ponto não escoa; Tresca é um pouco mais conservador que von Mises.

11.Deflexão da viga

Resposta: δ = 42,07 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 11000 N, w = 20 N/mm, L = 1500 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Cada carga sozinha

δ_P = PL³/(3EI) = 11000·1500³/(3·5,95 × 10¹¹) = 20,8 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 20·1500⁴/(8·5,95 × 10¹¹) = 21,27 mm

Some

δ = 20,8 + 21,27 = 42,07 mm

Resposta

δ = 42,07 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 5,476 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 27000 N, L = 4000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Uma carga em L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1333 mm

δ₁ = 2,738 mm

Some as duas cargas

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 5,476 mm

Resposta

δ_max = 5,476 mm

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 411,2 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/2000² = 411234 N = 411,2 kN

Resposta

P_cr = 411,2 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 8,812 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

KL/r = 2800/10 = 280

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/280² = 8,812 MPa

Resposta

σ_cr = 8,812 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials