Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Uma haste de aço (diâmetro 25 mm, E = 200 GPa) está dentro de um tubo de latão (diâmetro externo 120 mm, diâmetro interno 70 mm, E = 100 GPa). Ambos têm 300 mm de comprimento e são comprimidos juntos entre placas rígidas por 80 kN. Encontre o encurtamento δ.

P = 80 kNbarra: Ø25 mm, E = 200 GPatubo: Ø120/Ø70 mm, E = 100 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.Tensão e deformação axialDifícil

Uma haste de aço (diâmetro 40 mm, E = 200 GPa, tensão admissível 200 MPa) está dentro de um tubo de bronze (diâmetro externo 120 mm, diâmetro interno 60 mm, E = 110 GPa, tensão admissível 60 MPa). Eles são comprimidos juntos entre placas rígidas. Encontre a maior carga P_max.

barra: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPatubo: Ø120/Ø60 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de latão está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 200 N·md = 50 mmL = 1,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo vazado transmite 15 kW a 1800 rpm. Encontre a tensão de cisalhamento máxima τ_max no eixo.

P = 15 kWN = 1800 rpmd_o = 50 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

50 kN @ 6 m12 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

15 kN @ 0 m40 kN @ 6 m45 kN @ 4 m5 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Encontre o momento de inércia I_x da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

b_f = 120 mmt_f = 25 mmt_w = 12 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 10 kN·m. Encontre o valor da tensão de flexão σ_topo na borda superior.

b_f = 300 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 260 mmM = 10 kN·m

σ_topo = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto tem σₓ = −10 MPa, σᵧ = −70 MPa e τₓᵧ = −40 MPa (tração positiva). Encontre o ângulo θ_s, entre −90° e 90°, do eixo x até a normal do plano em que a tensão de cisalhamento tem seu valor máximo positivo +R (cisalhamento positivo no mesmo sentido de τₓᵧ).

σ_x = −10 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_s = °

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 140 MPa, σᵧ = −40 MPa e τₓᵧ = 40 MPa (tração positiva). Calcule a tensão de cisalhamento τ_θ em um plano cuja normal está girada 30° no sentido anti-horário a partir do eixo x (positiva no mesmo sentido de τₓᵧ).

σ_x = 140 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 30°

τ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento. Encontre a deflexão δ na extremidade livre.

w = 5 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w. Sua deflexão não pode passar de vão/360. Encontre o menor momento de inércia I_req que atende a esse limite.

w = 8 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (madeira estrutural)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e articulado no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (aço)d = 20 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e livre no topo. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 1 mE = 70 GPa (alumínio)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 0,02843 mm

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·7461 = 8,443 × 10⁸ N

Encurtamento

δ = 80000·300/8,443 × 10⁸ = 0,02843 mm

Resposta

δ = 0,02843 mm

2.Tensão e deformação axial

Resposta: P_max = 646 kN

Áreas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·8482 = 1,184 × 10⁹ N

Deformação governante

ε = min(0,001, 0,0005455) = 0,0005455 (bronze)

Maior carga

P_max = 0,0005455·1,184 × 10⁹ = 646026 N = 646 kN

Resposta

P_max = 646 kN

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 0,7183 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1500/(39000·613592) = 0,01254 rad

φ = 0,01254·180/π = 0,7183°

Resposta

φ = 0,7183°

4.Torção de eixos

Resposta: τ_max = 3,725 MPa

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 15000/188,5 = 79,58 N·m

Momento polar de inércia

J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴

Tensão de cisalhamento máxima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 79577·25/534071 = 3,725 MPa

Resposta

τ_max = 3,725 MPa

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: D (x = 6 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 97 kN, R₂ = 97 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 170, M_C = 292, M_D = 366 kN·m, M_E = 292, M_F = 170, M_G = 0

Resposta

Marca D: M_D = 366 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: F (x = 5 m)

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 30 kN, R₂ = 90 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = −15, M_C = −2,5, M_D = 5, M_E = 7,5, M_F = −40 kN·m, M_G = 0

Resposta

Marca F: M_F = −40 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 48,79 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 120·25 = 3000 mm², y_f = 260 + 25/2 = 272,5 mm

alma: A_w = 12·260 = 3120 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·272,5 + 3120·130)/6120 = 199,9 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 120·25³/12 + 3000·(272,5 − 199,9)² = 1,599 × 10⁷ mm⁴

alma: 12·260³/12 + 3120·(130 − 199,9)² = 3,28 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,599 × 10⁷ + 3,28 × 10⁷ = 4,879 × 10⁷ mm⁴ = 48,79 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 48,79 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_topo = 10,83 MPa

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 300·15 = 4500 mm², y_f = 260 + 15/2 = 267,5 mm

alma: A_w = 20·260 = 5200 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·267,5 + 5200·130)/9700 = 193,8 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 300·15³/12 + 4500·(267,5 − 193,8)² = 2,453 × 10⁷ mm⁴

alma: 20·260³/12 + 5200·(130 − 193,8)² = 5,045 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,453 × 10⁷ + 5,045 × 10⁷ = 7,499 × 10⁷ mm⁴

Tensão de flexão

A borda superior está a h − ȳ do eixo.

y = 275 − 193,8 = 81,21 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·81,21/7,499 × 10⁷ = 10,83 MPa

Resposta

σ_topo = 10,83 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: θ_s = −71,57 °

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Ângulo no círculo

No círculo de Mohr o ponto do topo (+R) está a 90° do ponto principal σ₁; no elemento isso corresponde a 45°.

cos 2θ_s = −40/50 = −0,8, sin 2θ_s = −30/50 = −0,6

2θ_s = atan2(−30, −40) = −143,1°

Ângulo no elemento

θ_s = −71,57°

verificação: θ_s − θ_p = −71,57 − (−26,57) = −45°

Resposta

θ_s = −71,57°

Ângulos positivos são no sentido anti-horário.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_θ = −57,94 MPa

Equação de transformação

τ_θ = −90·0,866 + 40·0,5 = −57,94 MPa

Resposta

τ_θ = −57,94 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ = 2,397 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 1500 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Deflexão

δ = wL⁴/(8EI) = 5·1500⁴/(8·1,32 × 10¹²) = 2,397 mm

Resposta

δ = 2,397 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: I_req = 426,1 × 10⁶ mm⁴

Limite de deflexão

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Momento de inércia necessário

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·8·5000⁴/(384·11000·13,89) = 4,261 × 10⁸ mm⁴

I_req = 426,1 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_req = 426,1 × 10⁶ mm⁴

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 14,06 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/1050² = 14062 N = 14,06 kN

Resposta

P_cr = 14,06 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 26,99 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/12,5 = 160

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/160² = 26,99 MPa

Resposta

σ_cr = 26,99 MPa

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