Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal
σ = F/A
Deformação
ε = ΔL/L
Lei de Hooke
σ = E·ε
Alongamento
ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica
εT = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento
τ = T·r/J
Eixo maciço
J = πd⁴/32
Eixo vazado
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção
φ = TL/(GJ)
Potência
P = T·ω = 2πnT/60

Método

  1. Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
  2. Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
  3. Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
  4. Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento
V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão
σ = M·y/I
Retângulo
I = bh³/12
Módulo de resistência
W = I/ymax
Viga biapoiada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
  2. Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
  3. Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
  4. Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Retângulo
I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos
I = Ic + A·d²
Seção composta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro
C = (σx + σy)/2
Raio
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tensões principais
σ1,2 = C ± R
Direção principal
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Plano inclinado
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Método

  1. Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
  4. Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta
δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposição
δ = δ1 + δ2

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia
Ø 25 mmCobre3 mP = 70 kN

Encontre o alongamento δ da barra de cobre sob a carga axial.

P = 70 kNd = 25 mmL = 3 mE = 117 GPa
δ = mm
2.Tensão e deformação axialDifícil
P = ?Ø30100 GPaØ100/60800 mm

Uma haste de aço (diâmetro 30 mm, E = 200 GPa, tensão admissível 160 MPa) está dentro de um tubo de latão (diâmetro externo 100 mm, diâmetro interno 60 mm, E = 100 GPa, tensão admissível 50 MPa). Eles são comprimidos juntos entre placas rígidas. Encontre a maior carga Pmax.

barra: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 160 MPatubo: Ø100/Ø60 mm, E = 100 GPa, σallow = 50 MPa
Pmax = kN
3.Torção de eixosMédia
d1​ = 60 mmd2​ = 50 mmT = 400 N·mABC0,5 m1,2 m

Um eixo maciço escalonado de latão está fixo em A. O trecho AB tem diâmetro 60 mm e comprimento 0,5 m; o trecho BC tem diâmetro 50 mm e comprimento 1,2 m. Um torque de 400 N·m atua na extremidade livre C. Encontre o ângulo de torção φC da extremidade C, em graus.

T = 400 N·md1 = 60 mm, L1 = 0,5 md2 = 50 mm, L2 = 1,2 mG = 39 GPa
φC = °
4.Torção de eixosDifícil
d = 50 mmTB​ = 2000 N·mTC​ = 250 N·mABC0,5 m0,5 m

Um eixo maciço de aço com diâmetro 50 mm está fixo em A. Um torque de 2000 N·m atua em B, a 0,5 m de A, e um torque de 250 N·m no mesmo sentido atua na extremidade livre C, 0,5 m adiante. Encontre a tensão de cisalhamento máxima τmax no eixo.

d = 50 mmTB = 2000 N·mTC = 250 N·mAB = 0,5 mBC = 0,5 m
τmax = MPa
5.Esforço cortante e momento fletorMédia
P1​ = 80 kNP2​ = 40 kNABC2,5 m1,5 m2 m

A viga se apoia em um apoio fixo em A e em um apoio móvel em B e se estende 2 m além de B, em balanço, até a extremidade livre C. Ela suporta uma carga concentrada P1 entre os apoios e uma carga concentrada P2 em C. Encontre o esforço cortante Vx logo à esquerda do apoio B. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 6 mP1 = 80 kN em 2,5 mP2 = 40 kN em 6 mapoios em x = 0 e x = 4 m
Vx = kN
6.Esforço cortante e momento fletorDifícil
12 kN/m30 kN60 kN15 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

30 kN @ 0 m60 kN @ 6 m15 kN @ 2 m12 kN/m, 1–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Centroide e momento de inérciaMédia
210260228xdimensões em mm

Um perfil I simétrico tem mesas de 210 mm de largura e 22 mm de espessura, altura total de 260 mm e alma de 8 mm de espessura. Encontre seu momento de inércia Ix em relação ao eixo centroidal horizontal x.

B = 210 mmH = 260 mmtf = 22 mmtw = 8 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Centroide e momento de inérciaDifícil
1404001414xM = 150 kN·mdimensões em mm

Um perfil I simétrico tem mesas de 140 mm de largura e 14 mm de espessura, altura total de 400 mm e alma de 14 mm de espessura. Ela suporta um momento fletor de 150 kN·m em relação ao eixo x. Encontre o módulo da tensão de flexão σj na junção da alma com a mesa superior.

B = 140 mmH = 400 mmtf = 14 mmtw = 14 mmM = 150 kN·m
σj = MPa
9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia
σx​ = 160σy​ = 40τxy​ = 30MPa

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 160 MPa, σᵧ = 40 MPa e τₓᵧ = 30 MPa (tração positiva). Calcule a tensão de cisalhamento máxima no plano τmax.

σx = 160 MPaσy = 40 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil
30°D = 400 mm, t = 6 mm, p = 3 MPap

Um tanque cilíndrico de parede fina com diâmetro interno de 400 mm e espessura de parede de 6 mm contém gás a uma pressão manométrica de 3 MPa. Ele é feito de chapa soldada ao longo de uma costura helicoidal a 30° do eixo do cilindro. Encontre o módulo da tensão de cisalhamento |τn| que atua ao longo da costura de solda.

D = 400 mmt = 6 mmp = 3 MPaα = 30°
|τn| = MPa
11.Deflexão da vigaMédia
P = 20 kNABδ0,5 m1,5 m

Uma viga em balanço de comprimento L está engastada em A e suporta uma carga concentrada P a uma distância a = 0,5 m de A. Encontre a deflexão δB na extremidade livre B.

P = 20 kNa = 0,5 mL = 2 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.Deflexão da vigaDifícil
w = 2 kN/mP = 23 kNδL = 1,5 m

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w e uma carga concentrada P no meio do vão. Usando superposição, encontre a deflexão no meio do vão δmax.

P = 23 kNw = 2 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (alumínio)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Flambagem de pilaresMédia
PL = 3 m30 × 60 mmseção transversal

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem Pcr.

L = 3 mE = 200 GPa (aço)b × h = 30 × 60 mm
Pcr = kN
14.Flambagem de pilaresDifícil
P = 25 kNL = 5 md = ?seção transversal

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de aço está articulado nas duas extremidades. Ele deve suportar 25 kN com um fator de segurança de 2 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 25 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (aço)
d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 3,656 mm

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·25²/4 = 490,9 mm²
σ = P/A = 70·1000/490,9 = 142,6 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for cobre = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 142,6/117000 = 0,001219 = 1219 µε

Alongamento

δ = ε·L = 0,001219·3000 mm = 3,656 mm

Resposta

δ = 3,656 mm
2.Tensão e deformação axial

Resposta: Pmax = 322 kN

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, Pi = P·EiAi/ΣEA, e σi = Ei·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·5027 = 6,44 × 10⁸ N

Deformação governante

ε = min(0,0008, 0,0005) = 0,0005 (latão)

Maior carga

Pmax = 0,0005·6,44 × 10⁸ = 322013 N = 322 kN

Resposta

Pmax = 322 kN
3.Torção de eixos

Resposta: φC = 1,38 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τmax = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(do⁴ − di⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momentos polares

J1 = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴
J2 = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Torção de cada trecho

T = 400 N·m = 400000 N·mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φAB = 400000·500/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,004031 rad
φBC = 400000·1200/(39000·613592) = 0,02006 rad

Torção total

φC = 0,004031 + 0,02006 = 0,02409 rad = 1,38°

Resposta

φC = 1,38°
4.Torção de eixos

Resposta: τmax = 91,67 MPa

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τmax = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(do⁴ − di⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Torques internos

Sentido de TC tomado como positivo.

TBC = TC = 250 N·m
TAB = TC + TB = 250 + 2000 = 2250 N·m

Tensão de cisalhamento máxima

O trecho com o maior torque interno tem a maior tensão (mesmo diâmetro).

|T|max = 2250 N·m
τmax = 16·2,25 × 10⁶/(π·50³) = 91,67 MPa

Resposta

τmax = 91,67 MPa
5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: Vx = −70 kN

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira. A carga do balanço também gera momento em relação a A.

ΣMA = 0: RB·4 = 80·2,5 + 40·6
RB = 440/4 = 110 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 110 = 10 kN

Corte logo à esquerda de B e fique com a parte esquerda

Vx = RA − P1 = 10 − 80 = −70 kN

Resposta

Vx = −70 kN
6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: E (x = 4 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R1 = 28 kN, R2 = 113 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

MA = 0, MB = −30, MC = −38, MD = −73, ME = −120 kN·m, MF = −60, MG = 0

Resposta

Marca E: ME = −120 kN·m
7.Centroide e momento de inércia

Resposta: Ix = 137,9 × 10⁶ mm⁴

Momento de inércia de área: para um retângulo em relação ao seu próprio eixo centroidal I = bh³/12, e em relação à sua base bh³/3 (teorema dos eixos paralelos I = Ic + A·d²). Um furo é tratado subtraindo seu I, desde que as duas partes usem o mesmo eixo. O módulo de resistência elástico é S = I/c, onde c é a distância até a fibra mais afastada.

Retângulo externo menos os dois recortes laterais

Os dois recortes juntos têm (B − tw) de largura e hw = H − 2tf de altura, e compartilham o eixo x.

hw = 260 − 2·22 = 216 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (210·260³ − 202·216³)/12
Ix = 1,379 × 10⁸ mm⁴ = 137,9 × 10⁶ mm⁴

Resposta

Ix = 137,9 × 10⁶ mm⁴
8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σj = 135,3 MPa

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Retângulo externo menos os dois recortes laterais

Os dois recortes juntos têm (B − tw) de largura e hw = H − 2tf de altura, e compartilham o eixo x.

hw = 400 − 2·14 = 372 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (140·400³ − 126·372³)/12
Ix = 2,061 × 10⁸ mm⁴

Tensão de flexão

y = 200 − 14 = 186 mm
σ = M·y/I = 1,5 × 10⁸·186/2,061 × 10⁸ = 135,3 MPa

Resposta

σj = 135,3 MPa
9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τmax = 67,08 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

στxyCτmax​

Raio do círculo de Mohr

τmax = R = √(((160 − 40)/2)² + 30²) = 67,08 MPa

Resposta

τmax = 67,08 MPa
10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: |τn| = 21,65 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R. Cilindro de parede fina: tensão circunferencial σh = pr/t e tensão axial σa = pr/(2t); essas são as tensões principais na parede.

Tensões na parede

r = 400/2 = 200 mm
σh = pr/t = 3·200/6 = 100 MPa
σa = pr/(2t) = 50 MPa

Transforme para a costura

Tome x ao longo do eixo (σa) e y na direção circunferencial (σh). A normal da costura forma 90° − α com o eixo.

|τn| = (100 − 50)·sin 30°·cos 30° = 21,65 MPa

Resposta

|τn| = 21,65 MPa
11.Deflexão da viga

Resposta: δB = 7,31 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 20000 N, a = 500 mm, L = 2000 mm
EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Deflexão na extremidade livre

Deflexão na carga mais a rotação na carga vezes o comprimento restante.

δP = Pa³/(3EI) = 1,329 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,003987 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 7,31 mm

Resposta

δB = 7,31 mm
12.Deflexão da viga

Resposta: δmax = 1,086 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 23000 N, w = 2 N/mm, L = 1500 mm, EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Cada carga sozinha

δP = PL³/(48EI) = 23000·1500³/(48·1,61 × 10¹²) = 1,004 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·1500⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 0,08189 mm

Some

δmax = 1,004 + 0,08189 = 1,086 mm

Resposta

δmax = 1,086 mm
13.Flambagem de pilares

Resposta: Pcr = 118,4 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

Imin = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/1500² = 118435 N = 118,4 kN

Resposta

Pcr = 118,4 kN
14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 59,93 mm

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Carga crítica necessária

Pcr = n·P = 2·25000 = 50000 N
KL = 1·5000 = 5000 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 59,93 mm

Resposta

d = 59,93 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 333,7, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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