Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre o alongamento δ da barra de aço sob a carga axial.

P = 55 kNd = 20 mmL = 2 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Tensão e deformação axialDifícil

Um trecho de aço (diâmetro 25 mm, comprimento 500 mm, E = 200 GPa) e um trecho de bronze (diâmetro 30 mm, comprimento 400 mm, E = 110 GPa) são unidos topo a topo e fixados entre duas paredes rígidas. Uma carga axial de 50 kN atua na junção, no sentido do trecho 2. Encontre o valor da tensão σ₂ no trecho 2.

trecho 1: aço, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPatrecho 2: bronze, Ø30 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de aço está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 500 N·md = 30 mmL = 3 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço deve transmitir 100 kW a 500 rpm sem que a tensão de cisalhamento passe de 50 MPa. Encontre o menor diâmetro d que funciona.

P = 100 kWN = 500 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

35 kN @ 6 m8 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída sobre parte do vão. Encontre a distância x₀ de A até a seção onde o momento fletor é máximo.

L = 6 mw = 12 kN/m de 1 a 3 m

x₀ = m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Encontre o momento de inércia I_x da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

b_f = 280 mmt_f = 20 mmt_w = 18 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 40 kN·m. Encontre a tensão de flexão σ_base na borda inferior.

b_f = 140 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmh_w = 200 mmM = 40 kN·m

σ_base = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = −60 MPa, σᵧ = 70 MPa e τₓᵧ = −60 MPa (tração positiva). Calcule o ângulo θ_p do eixo x até a direção da maior tensão principal, entre −90° e 90°.

σ_x = −60 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_p = °

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = −50 MPa, σᵧ = 110 MPa e τₓᵧ = 40 MPa (tração positiva). Calcule a tensão normal σ_θ em um plano cuja normal está girada 50° no sentido anti-horário a partir do eixo x.

σ_x = −50 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento. Encontre a deflexão δ na extremidade livre.

w = 4 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (alumínio)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta duas cargas concentradas iguais P nos terços do vão (a L/3 de cada apoio). Usando superposição, encontre a deflexão no meio do vão δ_max.

P = 18 kNL = 4 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e livre no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (aço)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de aço está articulado nas duas extremidades. Ele deve suportar 75 kN com um fator de segurança de 2 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 75 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (aço)

d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 1,751 mm

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 55·1000/314,2 = 175,1 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for aço = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 175,1/200000 = 0,0008754 = 875,4 µε

Alongamento

δ = ε·L = 0,0008754·2000 mm = 1,751 mm

Resposta

δ = 1,751 mm

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ₂ = 35,19 MPa

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Rigidezes

k₁ = 200000·490,9/500 = 196350 N/mm

k₂ = 110000·706,9/400 = 194386 N/mm

Fatia do trecho 2

F₂ = 50000·194386/390736 = 24874 N

Tensão

σ₂ = 24874/706,9 = 35,19 MPa (compressão)

Resposta

σ₂ = 35,19 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 13,51 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 500·1000·3000/(80000·79522) = 0,2358 rad

φ = 0,2358·180/π = 13,51°

Resposta

φ = 13,51°

4.Torção de eixos

Resposta: d = 57,94 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 100000/52,36 = 1910 N·m

Diâmetro a partir da tensão admissível

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·1,91 × 10⁶/(π·50)) = 57,94 mm

Resposta

d = 57,94 mm

Na prática você arredondaria para o próximo tamanho padrão.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: D (x = 6 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 65,5 kN, R₂ = 65,5 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 115, M_C = 198, M_D = 249 kN·m, M_E = 198, M_F = 115, M_G = 0

Resposta

Marca D: M_D = 249 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: x₀ = 2,333 m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 12·2 = 24 kN, atuando em x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 12·2·2

R_B = 48/6 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 8 = 16 kN

Cortante nulo

O esforço cortante começa em R_A, fica constante em qualquer trecho descarregado e cai com inclinação w dentro da carga.

R_A − w·(x₀ − 1) = 0

x₀ = 1 + 16/12 = 2,333 m

Resposta

x₀ = 2,333 m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 29,46 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 280·20 = 5600 mm², y_f = 180 + 20/2 = 190 mm

alma: A_w = 18·180 = 3240 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5600·190 + 3240·90)/8840 = 153,3 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 280·20³/12 + 5600·(190 − 153,3)² = 7,709 × 10⁶ mm⁴

alma: 18·180³/12 + 3240·(90 − 153,3)² = 2,175 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,709 × 10⁶ + 2,175 × 10⁷ = 2,946 × 10⁷ mm⁴ = 29,46 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 29,46 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_base = 235,1 MPa

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 140·20 = 2800 mm², y_f = 200 + 20/2 = 210 mm

alma: A_w = 14·200 = 2800 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·210 + 2800·100)/5600 = 155 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 140·20³/12 + 2800·(210 − 155)² = 8,563 × 10⁶ mm⁴

alma: 14·200³/12 + 2800·(100 − 155)² = 1,78 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,563 × 10⁶ + 1,78 × 10⁷ = 2,637 × 10⁷ mm⁴

Tensão de flexão

A borda inferior está a ȳ do eixo.

y = 155 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·155/2,637 × 10⁷ = 235,1 MPa

Resposta

σ_base = 235,1 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: θ_p = −68,65 °

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Ângulo no círculo

No círculo de Mohr, o ponto x fica a um ângulo 2θp do eixo σ; o quadrante decorre dos sinais de σₓ − σᵧ e τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−60, −60 − 70) = −137,3°

Ângulo no elemento

θ_p = −68,65°

Resposta

θ_p = −68,65°

Ângulos positivos são no sentido anti-horário.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_θ = 83,28 MPa

Equação de transformação

σ_θ = 30 + −80·−0,1736 + 40·0,9848 = 83,28 MPa

Resposta

σ_θ = 83,28 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ = 1,361 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 2000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Deflexão

δ = wL⁴/(8EI) = 4·2000⁴/(8·5,88 × 10¹²) = 1,361 mm

Resposta

δ = 1,361 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 65,21 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 18000 N, L = 4000 mm

EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Uma carga em L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1333 mm

δ₁ = 32,61 mm

Some as duas cargas

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 65,21 mm

Resposta

δ_max = 65,21 mm

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 992,2 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 2·1000 = 2000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/2000² = 992201 N = 992,2 kN

Resposta

P_cr = 992,2 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 70,55 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 2·75000 = 150000 N

KL = 1·4000 = 4000 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 70,55 mm

Resposta

d = 70,55 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 226,8, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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