Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercícios Voltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Uma haste de aço (diâmetro 40 mm, E = 200 GPa) está dentro de um tubo de latão (diâmetro externo 100 mm, diâmetro interno 60 mm, E = 100 GPa). Ambos têm 400 mm de comprimento e são comprimidos juntos entre placas rígidas por 250 kN. Encontre o encurtamento δ.

P = 250 kNbarra: Ø40 mm, E = 200 GPatubo: Ø100/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 400 mm

δ = mm

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre o alongamento total δ.

P = 85 kNtrecho 1: Ø35 mm, 0,5 m, cobre (E = 117 GPa)trecho 2: Ø16 mm, 1,5 m, cobre (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Torção de eixosMédia

Em um ensaio de torção, um corpo de prova maciço de diâmetro 12 mm é torcido por um torque de 30 N·m. As duas extremidades de um comprimento de referência de 250 mm giram 2,64° uma em relação à outra (o material ainda está no regime elástico). Encontre o módulo de elasticidade transversal G do material.

T = 30 N·md = 12 mmL = 250 mmφ = 2,64°

G = GPa

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço deve transmitir 10 kW a 1450 rpm sem que a tensão de cisalhamento passe de 60 MPa. Encontre o menor diâmetro d que funciona.

P = 10 kWN = 1450 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

A viga simplesmente apoiada suporta um binário no sentido horário M₀ = 55 kN·m em x = 4 m a partir de A, e nenhuma outra carga. Encontre o momento fletor M_x logo à direita do binário. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 5 mM₀ = 55 kN·m no sentido horário, em 4 m

M_x = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

25 kN @ 12 m55 kN @ 2 m10 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Encontre o momento de inércia I_x da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

b_f = 140 mmt_f = 15 mmt_w = 10 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 25 kN·m. Encontre o valor da tensão de flexão σ_topo na borda superior.

b_f = 280 mmt_f = 30 mmt_w = 8 mmh_w = 160 mmM = 25 kN·m

σ_topo = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 10 MPa, σᵧ = −70 MPa e τₓᵧ = −60 MPa (tração positiva). Calcule o ângulo θ_p do eixo x até a direção da maior tensão principal, entre −90° e 90°.

σ_x = 10 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_p = °

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 140 MPa, σᵧ = 50 MPa e τₓᵧ = −60 MPa (tração positiva). Calcule a tensão normal σ_θ em um plano cuja normal está girada 20° no sentido horário a partir do eixo x.

σ_x = 140 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −60 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a deflexão máxima δ_max, no meio do vão.

w = 15 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (alumínio)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga concentrada P a b = 1,5 m do apoio B. Encontre a deflexão máxima δ_max da viga.

P = 12 kNb = 1,5 mL = 5 mE = 70 GPa (alumínio)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e articulado no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (alumínio)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e articulado no topo. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 5 mE = 70 GPa (alumínio)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 0,1326 mm

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·5027 = 7,54 × 10⁸ N

Encurtamento

δ = 250000·400/7,54 × 10⁸ = 0,1326 mm

Resposta

δ = 0,1326 mm

2.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 5,797 mm

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 88,35 MPa

σ₂ = 422,8 MPa

Some os alongamentos dos trechos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 88,35·500/117000 = 0,3776 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 422,8·1500/117000 = 5,42 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5,797 mm

Resposta

δ = 5,797 mm

3.Torção de eixos

Resposta: G = 79,96 GPa

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar e ângulo

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 2,64·π/180 = 0,04608 rad

Módulo de cisalhamento

T = 30 N·m = 30000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 30000·250/(2036·0,04608) = 79957 MPa

G = 79,96 GPa

Resposta

G = 79,96 GPa

Compare: aço ≈ 80 GPa, latão ≈ 39 GPa, alumínio ≈ 26 GPa.

4.Torção de eixos

Resposta: d = 17,75 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 10000/151,8 = 65,86 N·m

Diâmetro a partir da tensão admissível

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·65857/(π·60)) = 17,75 mm

Resposta

d = 17,75 mm

Na prática você arredondaria para o próximo tamanho padrão.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 11 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Um binário aplicado faz o diagrama de momento fletor saltar do valor do binário.

Reações de apoio

Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário: R_B·L − M₀ = 0. Equilíbrio vertical: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 55/5 = 11 kN (para cima)

R_A = −R_B = −11 kN (para baixo)

Corte logo à direita do binário

A parte esquerda agora contém R_A e o binário.

M_x = R_A·a + M₀ = −11·4 + 55 = 11 kN·m

Resposta

M_x = 11 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: B (x = 2 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 68,75 kN, R₂ = 91,25 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 117,5 kN·m, M_C = 85, M_D = 12,5, M_E = −100, M_F = −50, M_G = 0

Resposta

Marca B: M_B = 117,5 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 23,75 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 140·15 = 2100 mm², y_f = 220 + 15/2 = 227,5 mm

alma: A_w = 10·220 = 2200 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2100·227,5 + 2200·110)/4300 = 167,4 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 140·15³/12 + 2100·(227,5 − 167,4)² = 7,629 × 10⁶ mm⁴

alma: 10·220³/12 + 2200·(110 − 167,4)² = 1,612 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,629 × 10⁶ + 1,612 × 10⁷ = 2,375 × 10⁷ mm⁴ = 23,75 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 23,75 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_topo = 51,48 MPa

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 280·30 = 8400 mm², y_f = 160 + 30/2 = 175 mm

alma: A_w = 8·160 = 1280 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (8400·175 + 1280·80)/9680 = 162,4 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 280·30³/12 + 8400·(175 − 162,4)² = 1,956 × 10⁶ mm⁴

alma: 8·160³/12 + 1280·(80 − 162,4)² = 1,143 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,956 × 10⁶ + 1,143 × 10⁷ = 1,339 × 10⁷ mm⁴

Tensão de flexão

A borda superior está a h − ȳ do eixo.

y = 190 − 162,4 = 27,56 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·27,56/1,339 × 10⁷ = 51,48 MPa

Resposta

σ_topo = 51,48 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: θ_p = −28,15 °

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Ângulo no círculo

No círculo de Mohr, o ponto x fica a um ângulo 2θp do eixo σ; o quadrante decorre dos sinais de σₓ − σᵧ e τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−60, 10 − −70) = −56,31°

Ângulo no elemento

θ_p = −28,15°

Resposta

θ_p = −28,15°

Ângulos positivos são no sentido anti-horário.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_θ = 168 MPa

Equação de transformação

σ_θ = 95 + 45·0,766 + −60·−0,6428 = 168 MPa

Resposta

σ_θ = 168 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 6,278 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 3000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Deflexão

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·3000⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 6,278 mm

Resposta

δ_max = 6,278 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 6,281 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 12000 N, b = 1500 mm, L = 5000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Posição do máximo

Igualar a zero a rotação no trecho mais longo dá a posição.

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 1500²)/3) = 2754 mm

Deflexão máxima

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 6,281 mm

Resposta

δ_max = 6,281 mm

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 14,02 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/1400² = 14015 N = 14,02 kN

Resposta

P_cr = 14,02 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 8,812 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

KL/r = 3500/12,5 = 280

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/280² = 8,812 MPa

Resposta

σ_cr = 8,812 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials