Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre a deformação axial ε na barra de cobre, em microdeformação (µε = 10⁻⁶).

P = 45 kNd = 25 mmL = 0,5 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre o alongamento total δ.

P = 30 kNtrecho 1: Ø30 mm, 2 m, latão (E = 100 GPa)trecho 2: Ø12 mm, 1 m, cobre (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço escalonado de alumínio está fixo em A. O trecho AB tem diâmetro 60 mm e comprimento 0,8 m; o trecho BC tem diâmetro 25 mm e comprimento 1,2 m. Um torque de 200 N·m atua na extremidade livre C. Encontre a tensão de cisalhamento máxima τ_max no eixo.

T = 200 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 0,8 md₂ = 25 mm, L₂ = 1,2 m

τ_max = MPa

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo vazado deve transmitir 100 kW a 1500 rpm. Seu diâmetro interno deve ser 0,7 vezes o diâmetro externo, e a tensão de cisalhamento não pode passar de 80 MPa. Encontre o menor diâmetro externo d_o.

P = 100 kWN = 1500 rpmd_i/d_o = 0,7τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 2 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 5 mw = 10 kN/m de 0 a 5 mx = 2 m

M_x = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão e uma carga concentrada P. Encontre o momento fletor máximo M_max na viga.

L = 6 mP = 60 kN em 5 mw = 5 kN/m de 0 a 6 m

M_max = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Uma placa de 150 mm × 300 mm tem um furo circular de diâmetro 40 mm na sua linha de centro vertical, com o centro a 180 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 150 mmh = 300 mmd = 40 mmcentro do furo: y = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 25 kN·m. Encontre a tensão de flexão σ_base na borda inferior.

b_f = 280 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 100 mmM = 25 kN·m

σ_base = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto tem σₓ = 30 MPa, σᵧ = 90 MPa e τₓᵧ = −10 MPa (tração positiva). Encontre o ângulo θ_s, entre −90° e 90°, do eixo x até a normal do plano em que a tensão de cisalhamento tem seu valor máximo positivo +R (cisalhamento positivo no mesmo sentido de τₓᵧ).

σ_x = 30 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_s = °

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma placa fina está em estado plano de tensão: σₓ = 10 MPa, σᵧ = 40 MPa e τₓᵧ = 10 MPa (σ_z = 0). O material tem tensão de escoamento de 350 MPa. Encontre o fator de segurança n contra o escoamento pelo critério de von Mises (energia de distorção).

σ_x = 10 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 10 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço de comprimento L está engastada em A e suporta uma carga concentrada P a uma distância a = 2,5 m de A. Encontre a deflexão δ_P sob a carga.

P = 10 kNa = 2,5 mL = 4 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga engastada e apoiada está engastada em A e simplesmente apoiada em B. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento. EI é constante. Encontre a reação R_B no apoio B.

L = 8 mw = 4 kN/m

R_B = kN

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (aço)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está articulado nas duas extremidades. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alumínio)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: ε = 783,5 µε

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 45·1000/490,9 = 91,67 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for cobre = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 91,67/117000 = 0,0007835 = 783,5 µε

Resposta

ε = 783,5 µε

2.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 3,116 mm

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 42,44 MPa

σ₂ = 265,3 MPa

Some os alongamentos dos trechos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 42,44·2000/100000 = 0,8488 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 265,3·1000/117000 = 2,267 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,116 mm

Resposta

δ = 3,116 mm

3.Torção de eixos

Resposta: τ_max = 65,19 MPa

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Tensão em cada trecho

T = 200 N·m = 200000 N·mm

τ_AB = 16·200000/(π·60³) = 4,716 MPa

τ_BC = 16·200000/(π·25³) = 65,19 MPa

Resposta

τ_max = 65,19 MPa

4.Torção de eixos

Resposta: d_o = 37,64 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 100000/157,1 = 636,6 N·m

Diâmetro externo pela tensão admissível

T = 636,6 N·m = 636620 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·636620/(π·80·0,7599)) = 37,64 mm

d_i = 0,7·37,64 = 26,35 mm

Resposta

d_o = 37,64 mm

Um eixo maciço precisaria de d = 34,35 mm; o vazado é um pouco maior, mas muito mais leve.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 30 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, atuando em x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·5·2,5

R_B = 125/5 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 25 = 25 kN

Corte em x = 2 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 25·2 − 10·2·1 = 30 kN·m

Resposta

M_x = 30 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 62,5 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, atuando em x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·5 + 5·6·3

R_B = 390/6 = 65 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 65 = 25 kN

Onde V = 0?

V(5⁻) = R_A − w·5 = 0 kN

V(5⁺) = 0 − 60 = −60 kN

O cortante muda de sinal na carga, então o máximo fica sob a carga.

Momento máximo

M_max = R_A·5 − w·5²/2 = 25·5 − 5·5²/2 = 62,5 kN·m

Resposta

M_max = 62,5 kN·m

Ele ocorre em x = 5 m a partir de A.

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 336,2 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (45000·150 − 1257·180)/(45000 − 1257) = 149,1 mm

Placa inteira em torno de ȳ

150·300³/12 + 45000·0,8618² = 337,5 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

π·40⁴/64 + 1257·30,86² = 1,323 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 336,2 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 336,2 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_base = 329 MPa

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 280·20 = 5600 mm², y_f = 100 + 20/2 = 110 mm

alma: A_w = 20·100 = 2000 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5600·110 + 2000·50)/7600 = 94,21 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 280·20³/12 + 5600·(110 − 94,21)² = 1,583 × 10⁶ mm⁴

alma: 20·100³/12 + 2000·(50 − 94,21)² = 5,576 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,583 × 10⁶ + 5,576 × 10⁶ = 7,159 × 10⁶ mm⁴

Tensão de flexão

A borda inferior está a ȳ do eixo.

y = 94,21 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·94,21/7,159 × 10⁶ = 329 MPa

Resposta

σ_base = 329 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: θ_s = 54,22 °

Ângulo no círculo

No círculo de Mohr o ponto do topo (+R) está a 90° do ponto principal σ₁; no elemento isso corresponde a 45°.

cos 2θ_s = −10/31,62 = −0,3162, sin 2θ_s = −(−30)/31,62 = 0,9487

2θ_s = atan2(30, −10) = 108,4°

Ângulo no elemento

θ_s = 54,22°

verificação: θ_s − θ_p = 54,22 − (−80,78) = 135°

Resposta

θ_s = 54,22°

Ângulos positivos são no sentido anti-horário.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: n = 8,75

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R. Critérios de escoamento: von Mises prevê escoamento quando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) atinge σ_Y; Tresca quando a tensão de cisalhamento máxima absoluta atinge σ_Y/2.

Tensões principais

C = 25 MPa, R = 18,03 MPa

σ₁ = 43,03 MPa, σ₂ = 6,972 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(43,03² − 43,03·6,972 + 6,972²) = 40 MPa

n = 350/40 = 8,75

Resposta

n = 8,75

n > 1 significa que o ponto não escoa; Tresca é um pouco mais conservador que von Mises.

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_P = 29,59 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 10000 N, a = 2500 mm, L = 4000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Deflexão sob a carga

δ_P = Pa³/(3EI) = 10000·2500³/(3·1,76 × 10¹²) = 29,59 mm

Resposta

δ_P = 29,59 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: R_B = 12 kN

Retire o apoio

Sem o apoio a viga é um balanço. Sua extremidade livre defletiria sob a carga.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Compatibilidade no apoio

A força do apoio R_B sozinha levanta a extremidade livre em R_BL³/(3EI). O apoio mantém B com deflexão zero, então as duas devem se anular. EI se cancela.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·4·8/8 = 12 kN

Resposta

R_B = 12 kN

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 78,48 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1000² = 78485 N = 78,48 kN

Resposta

P_cr = 78,48 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 44,22 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/20 = 125

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/125² = 44,22 MPa

Resposta

σ_cr = 44,22 MPa

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