Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre a deformação axial ε na barra de aço, em microdeformação (µε = 10⁻⁶).

P = 80 kNd = 10 mmL = 3 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre o alongamento total δ.

P = 95 kNtrecho 1: Ø35 mm, 2 m, latão (E = 100 GPa)trecho 2: Ø12 mm, 0,5 m, latão (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Torção de eixosMédia

Em um ensaio de torção, um corpo de prova maciço de diâmetro 15 mm é torcido por um torque de 40 N·m. As duas extremidades de um comprimento de referência de 200 mm giram 3,55° uma em relação à outra (o material ainda está no regime elástico). Encontre o módulo de elasticidade transversal G do material.

T = 40 N·md = 15 mmL = 200 mmφ = 3,55°

G = GPa

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço de alumínio transmite 30 kW a 1500 rpm. A tensão de cisalhamento não pode passar de 80 MPa e a torção não pode passar de 0,5° por m de comprimento. Encontre o menor diâmetro d que atende aos dois limites.

P = 30 kWN = 1500 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

A viga simplesmente apoiada suporta um binário no sentido horário M₀ = 25 kN·m em x = 4,5 m a partir de A, e nenhuma outra carga. Encontre o momento fletor M_x logo à esquerda do binário. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 6 mM₀ = 25 kN·m no sentido horário, em 4,5 m

M_x = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

15 kN @ 12 m55 kN @ 4 m15 kN/m, 0–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Um perfil I simétrico tem mesas de 130 mm de largura e 12 mm de espessura, altura total de 280 mm e alma de 8 mm de espessura. Encontre seu módulo de resistência elástico S_x para flexão em relação ao eixo centroidal horizontal x.

B = 130 mmH = 280 mmt_f = 12 mmt_w = 8 mm

S_x = × 10³ mm³

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Um perfil I soldado tem mesa superior de 200 × 16 mm, alma de 200 mm de altura e 8 mm de espessura, e mesa inferior de 160 × 20 mm (largura × espessura). Encontre seu momento de inércia I_x em relação ao eixo horizontal x que passa pelo centroide.

mesa superior: 200 × 16 mmalma: 8 × 200 mmmesa inferior: 160 × 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = −80 MPa, σᵧ = 0 MPa e τₓᵧ = −20 MPa (tração positiva). Calcule a tensão de cisalhamento máxima no plano τ_max.

σ_x = −80 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −20 MPa

τ_max = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 70 MPa, σᵧ = 0 MPa e τₓᵧ = −30 MPa (tração positiva). Calcule a tensão normal σ_θ em um plano cuja normal está girada 30° no sentido anti-horário a partir do eixo x.

σ_x = 70 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento e uma carga concentrada P na extremidade livre. Usando superposição, encontre a deflexão δ na extremidade livre.

P = 13 kNw = 2 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (aço)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga de madeira simplesmente apoiada, de seção retangular com 100 mm de largura, suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Sua deflexão no meio do vão não pode passar de vão/360. Encontre a menor altura h_req da seção.

w = 4 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (madeira estrutural)b = 100 mm

h_req = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está articulado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (aço)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de alumínio está articulado nas duas extremidades. Ele deve suportar 85 kN com um fator de segurança de 2,5 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 85 kNn = 2,5L = 3 mE = 70 GPa (alumínio)

d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: ε = 5093 µε

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 80·1000/78,54 = 1019 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for aço = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 1019/200000 = 0,005093 = 5093 µε

Resposta

ε = 5093 µε

2.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 6,175 mm

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 98,74 MPa

σ₂ = 840 MPa

Some os alongamentos dos trechos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 98,74·2000/100000 = 1,975 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 840·500/100000 = 4,2 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 6,175 mm

Resposta

δ = 6,175 mm

3.Torção de eixos

Resposta: G = 25,98 GPa

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar e ângulo

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 3,55·π/180 = 0,06196 rad

Módulo de cisalhamento

T = 40 N·m = 40000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 40000·200/(4970·0,06196) = 25979 MPa

G = 25,98 GPa

Resposta

G = 25,98 GPa

Compare: aço ≈ 80 GPa, latão ≈ 39 GPa, alumínio ≈ 26 GPa.

4.Torção de eixos

Resposta: d = 54,11 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 30000/157,1 = 191 N·m

Diâmetro pela resistência

T = 191 N·m = 190986 N·mm

d_τ = ∛(16·190986/(π·80)) = 22,99 mm

Diâmetro pela rigidez

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·190986/(π·26000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 54,11 mm

Diâmetro determinante

Os dois limites devem ser atendidos, então o maior diâmetro governa.

d = max(22,99, 54,11) = 54,11 mm

Resposta

d = 54,11 mm

Aqui a rigidez governa.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = −18,75 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Um binário aplicado faz o diagrama de momento fletor saltar do valor do binário.

Reações de apoio

Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário: R_B·L − M₀ = 0. Equilíbrio vertical: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 25/6 = 4,167 kN (para cima)

R_A = −R_B = −4,167 kN (para baixo)

Corte logo à esquerda do binário

A parte esquerda contém apenas R_A.

M_x = R_A·a = −4,167·4,5 = −18,75 kN·m

Resposta

M_x = −18,75 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: C (x = 4 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 105 kN, R₂ = 115 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 180, M_C = 300 kN·m, M_D = 250, M_E = 140, M_F = −30, M_G = 0

Resposta

Marca C: M_C = 300 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: S_x = 480,3 × 10³ mm³

Momento de inércia de área: para um retângulo em relação ao seu próprio eixo centroidal I = bh³/12, e em relação à sua base bh³/3 (teorema dos eixos paralelos I = I_c + A·d²). Um furo é tratado subtraindo seu I, desde que as duas partes usem o mesmo eixo. O módulo de resistência elástico é S = I/c, onde c é a distância até a fibra mais afastada.

Retângulo externo menos os dois recortes laterais

Os dois recortes juntos têm (B − t_w) de largura e h_w = H − 2t_f de altura, e compartilham o eixo x.

h_w = 280 − 2·12 = 256 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (130·280³ − 122·256³)/12

I_x = 6,724 × 10⁷ mm⁴

Módulo de resistência

c = H/2 = 140 mm

S_x = I/c = 6,724 × 10⁷/140

S_x = 480321 mm³ = 480,3 × 10³ mm³

Resposta

S_x = 480,3 × 10³ mm³

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 81,55 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em três retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa superior: A = 3200 mm², y = 228 mm

alma: A = 1600 mm², y = 120 mm

mesa inferior: A = 3200 mm², y = 10 mm

Centroide

ȳ = (3200·228 + 1600·120 + 3200·10)/8000 = 119,2 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa superior: 200·16³/12 + 3200·108,8² = 3,795 × 10⁷ mm⁴

alma: 8·200³/12 + 1600·0,8² = 5,334 × 10⁶ mm⁴

mesa inferior: 160·20³/12 + 3200·109,2² = 3,827 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,795 × 10⁷ + 5,334 × 10⁶ + 3,827 × 10⁷

I_x = 8,155 × 10⁷ mm⁴ = 81,55 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 81,55 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_max = 44,72 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Raio do círculo de Mohr

τ_max = R = √(((−80 − 0)/2)² + −20²) = 44,72 MPa

Resposta

τ_max = 44,72 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_θ = 26,52 MPa

Equação de transformação

σ_θ = 35 + 35·0,5 + −30·0,866 = 26,52 MPa

Resposta

σ_θ = 26,52 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ = 10,67 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 13000 N, w = 2 N/mm, L = 4000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Cada carga sozinha

δ_P = PL³/(3EI) = 13000·4000³/(3·3,2 × 10¹³) = 8,667 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 2·4000⁴/(8·3,2 × 10¹³) = 2 mm

Some

δ = 8,667 + 2 = 10,67 mm

Resposta

δ = 10,67 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: h_req = 353,5 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

Limite de deflexão

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Momento de inércia necessário

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·6000⁴/(384·11000·16,67) = 3,682 × 10⁸ mm⁴

Altura necessária

bh³/12 = I_req → h = (12·3,682 × 10⁸/100)^1/3 = 353,5 mm

Resposta

h_req = 353,5 mm

Na prática, escolha a próxima altura padronizada acima desse valor.

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 98,7 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 1·1500 = 1500 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·112500/1500² = 98696 N = 98,7 kN

Resposta

P_cr = 98,7 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 86,66 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 2,5·85000 = 212500 N

KL = 1·3000 = 3000 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·212500·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 86,66 mm

Resposta

d = 86,66 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 138,5, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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