Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Uma barra é feita de um trecho de aço (diâmetro 30 mm, comprimento 400 mm, E = 200 GPa) unido topo a topo a um trecho de cobre (diâmetro 30 mm, comprimento 300 mm, E = 120 GPa). Ela é fixa em uma extremidade e puxada na outra. Encontre a carga axial P que a alonga 0,3 mm no total.

trecho 1: aço, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPatrecho 2: cobre, Ø30 mm, 300 mm, E = 120 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre o alongamento total δ.

P = 100 kNtrecho 1: Ø25 mm, 1,5 m, cobre (E = 117 GPa)trecho 2: Ø20 mm, 0,5 m, latão (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de latão está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 250 N·md = 25 mmL = 2,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço de aço com diâmetro 40 mm está fixo em A. Um torque de 2000 N·m atua em B, a 2,5 m de A, e um torque de 200 N·m no sentido oposto atua na extremidade livre C, 1,2 m adiante. Encontre o módulo do ângulo de torção φ_C da extremidade C, em graus.

d = 40 mmT_B = 2000 N·mT_C = 200 N·mAB = 2,5 mBC = 1,2 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 1 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 10 mw = 2 kN/m de 0 a 10 mx = 1 m

M_x = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída sobre parte do vão. Encontre o momento fletor máximo M_max na viga.

L = 6 mw = 20 kN/m de 3 a 6 m

M_max = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Encontre o momento de inércia I_x da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

b_f = 100 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Um perfil I simétrico tem mesas de 160 mm de largura e 10 mm de espessura, altura total de 380 mm e alma de 10 mm de espessura. Ela suporta um momento fletor de 120 kN·m em relação ao eixo x. Encontre o módulo da tensão de flexão σ_j na junção da alma com a mesa superior.

B = 160 mmH = 380 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmM = 120 kN·m

σ_j = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto tem σₓ = 140 MPa, σᵧ = 30 MPa e τₓᵧ = 60 MPa (tração positiva). Encontre o ângulo θ_s, entre −90° e 90°, do eixo x até a normal do plano em que a tensão de cisalhamento tem seu valor máximo positivo +R (cisalhamento positivo no mesmo sentido de τₓᵧ).

σ_x = 140 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_s = °

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma placa fina está em estado plano de tensão: σₓ = −60 MPa, σᵧ = 110 MPa e τₓᵧ = 20 MPa (σ_z = 0). O material tem tensão de escoamento de 300 MPa. Encontre o fator de segurança n contra o escoamento pelo critério de Tresca (tensão de cisalhamento máxima).

σ_x = −60 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 20 MPaσ_Y = 300 MPa

n =

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a deflexão máxima δ_max, no meio do vão.

w = 10 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (alumínio)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w. Sua deflexão não pode passar de vão/360. Encontre o menor momento de inércia I_req que atende a esse limite.

w = 6 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (alumínio)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e articulado no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (alumínio)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado nas duas extremidades. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alumínio)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: P = 47,12 kN

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Flexibilidades

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706,9) = 2,829 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(120000·706,9) = 3,537 × 10⁻⁶ mm/N

Carga

P = 0,3/6,366 × 10⁻⁶ = 47124 N = 47,12 kN

Resposta

P = 47,12 kN

2.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 4,203 mm

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 203,7 MPa

σ₂ = 318,3 MPa

Some os alongamentos dos trechos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 203,7·1500/117000 = 2,612 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 318,3·500/100000 = 1,592 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,203 mm

Resposta

δ = 4,203 mm

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 23,94 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 250·1000·2500/(39000·38350) = 0,4179 rad

φ = 0,4179·180/π = 23,94°

Resposta

φ = 23,94°

4.Torção de eixos

Resposta: φ_C = 12,14 °

Torques internos

Sentido de T_C tomado como positivo.

T_BC = T_C = 200 N·m

T_AB = T_C − T_B = 200 − 2000 = −1800 N·m

Torção de cada trecho

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = −1,8 × 10⁶·2500/(80000·251327) = −0,2238 rad

φ_BC = 200000·1200/(80000·251327) = 0,01194 rad

Torção da extremidade C

φ_C = −0,2238 + 0,01194 = −0,2119 rad → |φ_C| = 12,14°

Resposta

φ_C = 12,14°

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 9 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, atuando em x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 2·10·5

R_B = 100/10 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 10 = 10 kN

Corte em x = 1 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 10·1 − 2·1·0,5 = 9 kN·m

Resposta

M_x = 9 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 50,63 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 20·3 = 60 kN, atuando em x̄ = 4,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 20·3·4,5

R_B = 270/6 = 45 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 45 = 15 kN

Cortante nulo

O esforço cortante começa em R_A, fica constante em qualquer trecho descarregado e cai com inclinação w dentro da carga.

R_A − w·(x₀ − 3) = 0

x₀ = 3 + 15/20 = 3,75 m

Momento máximo

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 3)²/2 = 15·3,75 − 20·0,75²/2 = 50,63 kN·m

Resposta

M_max = 50,63 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 10,61 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 100·30 = 3000 mm², y_f = 120 + 30/2 = 135 mm

alma: A_w = 20·120 = 2400 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·135 + 2400·60)/5400 = 101,7 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 100·30³/12 + 3000·(135 − 101,7)² = 3,558 × 10⁶ mm⁴

alma: 20·120³/12 + 2400·(60 − 101,7)² = 7,047 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,558 × 10⁶ + 7,047 × 10⁶ = 1,06 × 10⁷ mm⁴ = 10,61 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 10,61 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_j = 145,5 MPa

Retângulo externo menos os dois recortes laterais

Os dois recortes juntos têm (B − t_w) de largura e h_w = H − 2t_f de altura, e compartilham o eixo x.

h_w = 380 − 2·10 = 360 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (160·380³ − 150·360³)/12

I_x = 1,484 × 10⁸ mm⁴

Tensão de flexão

y = 190 − 10 = 180 mm

σ = M·y/I = 1,2 × 10⁸·180/1,484 × 10⁸ = 145,5 MPa

Resposta

σ_j = 145,5 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: θ_s = −21,26 °

Ângulo no círculo

No círculo de Mohr o ponto do topo (+R) está a 90° do ponto principal σ₁; no elemento isso corresponde a 45°.

cos 2θ_s = 60/81,39 = 0,7372, sin 2θ_s = −55/81,39 = −0,6757

2θ_s = atan2(−55, 60) = −42,51°

Ângulo no elemento

θ_s = −21,26°

verificação: θ_s − θ_p = −21,26 − 23,74 = −45°

Resposta

θ_s = −21,26°

Ângulos positivos são no sentido anti-horário.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: n = 1,718

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R. Critérios de escoamento: von Mises prevê escoamento quando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) atinge σ_Y; Tresca quando a tensão de cisalhamento máxima absoluta atinge σ_Y/2.

Tensões principais

C = 25 MPa, R = 87,32 MPa

σ₁ = 112,3 MPa, σ₂ = −62,32 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 174,6 MPa

n = 300/174,6 = 1,718

Resposta

n = 1,718

n > 1 significa que o ponto não escoa; Tresca é um pouco mais conservador que von Mises.

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 42,29 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 6000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Deflexão

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·6000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 42,29 mm

Resposta

δ_max = 42,29 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: I_req = 50,22 × 10⁶ mm⁴

Limite de deflexão

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Momento de inércia necessário

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·5000⁴/(384·70000·13,89) = 5,022 × 10⁷ mm⁴

I_req = 50,22 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_req = 50,22 × 10⁶ mm⁴

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 17,3 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/3500² = 17303 N = 17,3 kN

Resposta

P_cr = 17,3 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 17,27 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

KL/r = 1250/6,25 = 200

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Resposta

σ_cr = 17,27 MPa

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