Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Uma barra é feita de um trecho de aço (diâmetro 30 mm, comprimento 400 mm, E = 200 GPa) unido topo a topo a um trecho de alumínio (diâmetro 40 mm, comprimento 200 mm, E = 70 GPa). Ela é fixa em uma extremidade e puxada na outra. Encontre a carga axial P que a alonga 0,2 mm no total.

trecho 1: aço, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPatrecho 2: alumínio, Ø40 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

2.Tensão e deformação axialDifícil

Um trecho de aço (diâmetro 25 mm, comprimento 600 mm, E = 200 GPa) e um trecho de cobre (diâmetro 30 mm, comprimento 400 mm, E = 120 GPa) são unidos topo a topo e fixados entre duas paredes rígidas. Uma carga axial de 40 kN atua na junção, no sentido do trecho 2. Encontre o valor da tensão σ₂ no trecho 2.

trecho 1: aço, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPatrecho 2: cobre, Ø30 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de alumínio está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 100 N·md = 40 mmL = 3 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço de aço com diâmetro 30 mm está fixo em A. Um torque de 100 N·m atua em B, a 0,5 m de A, e um torque de 500 N·m no sentido oposto atua na extremidade livre C, 0,8 m adiante. Encontre a tensão de cisalhamento máxima τ_max no eixo.

d = 30 mmT_B = 100 N·mT_C = 500 N·mAB = 0,5 mBC = 0,8 m

τ_max = MPa

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

55 kN @ 6 m15 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão e uma carga concentrada P. Encontre o momento fletor máximo M_max na viga.

L = 8 mP = 55 kN em 7 mw = 5 kN/m de 0 a 8 m

M_max = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Encontre o momento de inércia I_x da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

b_f = 280 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Uma viga de ferro fundido tem a seção T mostrada, com a mesa em cima. As tensões admissíveis são 40 MPa na tração e 120 MPa na compressão. Encontre o maior momento fletor positivo M_allow que a viga pode suportar.

b_f = 120 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 260 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto tem σₓ = −20 MPa e σᵧ = −20 MPa. Até que valor a tensão de cisalhamento τ_xy (em módulo) pode chegar antes que a maior tensão principal atinja 25 MPa?

σ_x = −20 MPaσ_y = −20 MPaσ₁ = 25 MPa

τ_xy = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 80 MPa, σᵧ = −60 MPa e τₓᵧ = −40 MPa (tração positiva). Calcule a tensão de cisalhamento τ_θ em um plano cuja normal está girada 60° no sentido anti-horário a partir do eixo x (positiva no mesmo sentido de τₓᵧ).

σ_x = 80 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 60°

τ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga concentrada P a a = 1,5 m do apoio A. Encontre a deflexão δ_P sob a carga.

P = 19 kNa = 1,5 mL = 4 mE = 70 GPa (alumínio)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w. Sua deflexão não pode passar de vão/360. Encontre o menor momento de inércia I_req que atende a esse limite.

w = 15 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (alumínio)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está articulado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alumínio)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de aço está articulado nas duas extremidades. Ele deve suportar 40 kN com um fator de segurança de 3 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 40 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (aço)

d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: P = 39,19 kN

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1257 mm²

Flexibilidades

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706,9) = 2,829 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·1257) = 2,274 × 10⁻⁶ mm/N

Carga

P = 0,2/5,103 × 10⁻⁶ = 39192 N = 39,19 kN

Resposta

P = 39,19 kN

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ₂ = 31,94 MPa

Rigidezes

k₁ = 200000·490,9/600 = 163625 N/mm

k₂ = 120000·706,9/400 = 212058 N/mm

Fatia do trecho 2

F₂ = 40000·212058/375682 = 22578 N

Tensão

σ₂ = 22578/706,9 = 31,94 MPa (compressão)

Resposta

σ₂ = 31,94 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 2,63 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 100·1000·3000/(26000·251327) = 0,04591 rad

φ = 0,04591·180/π = 2,63°

Resposta

φ = 2,63°

4.Torção de eixos

Resposta: τ_max = 94,31 MPa

Torques internos

Sentido de T_C tomado como positivo.

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C − T_B = 500 − 100 = 400 N·m

Tensão de cisalhamento máxima

O trecho com o maior torque interno tem a maior tensão (mesmo diâmetro).

|T|_max = 500 N·m

τ_max = 16·500000/(π·30³) = 94,31 MPa

Resposta

τ_max = 94,31 MPa

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: D (x = 6 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 117,5 kN, R₂ = 117,5 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 205, M_C = 350, M_D = 435 kN·m, M_E = 350, M_F = 205, M_G = 0

Resposta

Marca D: M_D = 435 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 72,23 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, atuando em x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 55·7 + 5·8·4

R_B = 545/8 = 68,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 68,13 = 26,88 kN

Onde V = 0?

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 26,88/5 = 5,375 m

Momento máximo

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = 26,88·5,375 − 5·5,375²/2 = 72,23 kN·m

Resposta

M_max = 72,23 kN·m

Ele ocorre em x = 5,375 m a partir de A.

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 76,51 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 280·15 = 4200 mm², y_f = 280 + 15/2 = 287,5 mm

alma: A_w = 16·280 = 4480 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·287,5 + 4480·140)/8680 = 211,4 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 280·15³/12 + 4200·(287,5 − 211,4)² = 2,442 × 10⁷ mm⁴

alma: 16·280³/12 + 4480·(140 − 211,4)² = 5,209 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,442 × 10⁷ + 5,209 × 10⁷ = 7,651 × 10⁷ mm⁴ = 76,51 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 76,51 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: M_allow = 10,21 kN·m

Centroide

ȳ = (3600·275 + 3120·130)/6720 = 207,7 mm

borda superior: c = 290 − 207,7 = 82,32 mm

Momento de inércia de área

I = 120·30³/12 + 3600·67,32² + 12·260³/12 + 3120·77,68² = 5,299 × 10⁷ mm⁴

Momento admitido por cada borda

Momento positivo: a face superior fica comprimida, a inferior tracionada.

borda superior: M = 120·5,299 × 10⁷/82,32 = 77,24 kN·m

borda inferior: M = 40·5,299 × 10⁷/207,7 = 10,21 kN·m

Valor determinante

M_allow = min = 10,21 kN·m (borda inferior)

Resposta

M_allow = 10,21 kN·m

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_xy = 45 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Raio necessário

C = (−20 + (−20))/2 = −20 MPa

R = σ₁ − C = 25 − (−20) = 45 MPa

Tensão de cisalhamento

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(45² − 0²) = 45 MPa

Resposta

τ_xy = 45 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_θ = −40,62 MPa

Equação de transformação

τ_θ = −70·0,866 + −40·−0,5 = −40,62 MPa

Resposta

τ_θ = −40,62 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_P = 3,787 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 19000 N, a = 1500 mm, b = 2500 mm, L = 4000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Deflexão sob a carga

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 19000·1500²·2500²/(3·5,88 × 10¹²·4000) = 3,787 mm

Resposta

δ_P = 3,787 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: I_req = 27,12 × 10⁶ mm⁴

Limite de deflexão

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Momento de inércia necessário

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·3000⁴/(384·70000·8,333) = 2,712 × 10⁷ mm⁴

I_req = 27,12 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_req = 27,12 × 10⁶ mm⁴

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 47,16 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 1·2500 = 2500 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·426667/2500² = 47164 N = 47,16 kN

Resposta

P_cr = 47,16 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 81,71 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 3·40000 = 120000 N

KL = 1·6000 = 6000 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 81,71 mm

Resposta

d = 81,71 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 293,7, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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